![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
§ 5. Вычисление моментов инерции.
Вычисление моментов инерции тел производится методами интегрального исчисления (по формулам 33а, 34а). Однако можно в некоторых случаях сосчитать моменты инерции простых тел, без вычислений тройных интегралов.
Момент инерции тонкого однородного стержня (рис. 54).
Н
аправим
ось ОХ
по стержню, а ось ОY
перпендикулярно, через центр стержня.
,
здесь δ -плотность стержня, S - площадь поперечного сечения. Тогда, вместо тройного интеграла можно написать
,
но
,
откуда
.
Ось ОZ
–главная ось инерции ( ось симметрии),
следовательно,
.
Момент инерции однородного круглого цилиндра относительно его оси. З
а элемент объема примем цилиндрический слой, образуемый двумя коаксиальными цилиндрами радиусов h и h+dh. Получим:
С
другой стороны,
,
где R
— радиус цилиндра, следовательно
и
окончательно
Момент инерции полого цилиндра с внешним радиусом R и внутренним Ro найдем как разность моментов инерции сплошных цилиндров этих же радиусов:
Итак, момент инерции полого цилиндра равен
,
где
М
- масса полого цилиндра. Моменты инерции
некоторых однородных тел приведены в
таблице. Момент инерции имеет размерность
массы, умноженной на квадрат длины.
Отношение
имеет размерность квадрата длины и
обозначается через
.
Величина
ρ-называется
радиусом инерции и
.
(3.48)
Таблица моментов инерции однородных тел представлена ниже.
§ 6. Преобразование моментов инерции.
1. Рассмотрим задачу об изменении моментов инерции относительно параллельных осей. Введём две системы координат: Оxyz и O'x'y'z' (рис 55). Связь между координатами в обеих системах запишется в виде:
По определению моментов инерции имеем
.
П
ервое
слагаемое – это момент инерции
относительно оси O'Z',
а по определению центра масс последние
два слагаемые есть
Окончательно
получаем
Если
начало координат О'
является центром масс тела, то
(ось O'Z' в этом случае является центральной) и получаем известную формулу Гюйгенса
(3.49)
Момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями. Следствием формулы (62) является утверждение, что момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции, меньше момента инерции относительно другой параллельной оси. Аналогично получаются формулы для осевых моментов инерции для двух других осей. Но остаётся вопрос: а как изменяются центробежные моменты, остаются ли главными новые оси инерции? В новых осях центробежные моменты имеют вид :
Если
все три оси системы O'x'y'z'
являлись главными и центральными, то и
новые оси также будут главными и
центральными ( начало О'
находилось
в центре масс). Если все три оси главные,
но при этом, например, только ось O'Z'
- центральная (
,
а
),
то ось O'Z'
перестаёт быть главной, она будет главной
только в точке, где
.
Р
ассмотрим
теперь, как изменяются моменты инерции
при повороте системы координат (рис.56).
В этом случае
Преобразуем интеграл
тогда окончательно получим
Для двух остальных центробежных моментов инерции имеем
Из приведённых формул видно, что при повороте вокруг главной оси O'Z' оси OX и OY перестают быть главными. Но из формулы (65) следует интересный вывод: если оси OX' и OY' не главные, то поворотом на угол
оси OX и OY становятся главными.
Осевой
момент инерции
при
повороте, очевидно, не меняется, а два
остальных изменятся. Действительно (в
дальнейшем будем осуществлять переход
от осей Оxyz
к
осям O'x'y'z',
при
этом
)
для
получим
=
Проведя
те же выкладки для
,
имеем
Анализируя полученные результаты для осевых моментов инерции, можно записать
Мы получили первый инвариант тензора инерции.
Рассмотрим
пример. Найти соотношение между
радиусами цилиндра
и его длиной l,
при котором тензор инерции полого
цилиндра в его центре инерции является
шаровым тензором.
Вводя систему
осей х,у,z
с началом в точке
С правим ось
z
вдоль
геометрической оси цилиндра.
Формулы
для моментов инерции в данном случае
преобразуются к виду
(3.50)
Применяя
цилиндрические координаты, имеем
где
объем V
полого цилиндра дается формулой
.
Тогда интегралы, входящие в формулы (3.50), вычисляются так:
(3.51)
.
Шаровой
тензор имеет равные осевые моменты
инерции, т.е.
,
согласно результатам (3.51) это будет
иметь место при
.