- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
сил.
1. Потенциальная энергия силы тяжести вблизи поверхности Земли. В большинстве технических задач можно считать поверхность Земли плоской, а силы тяжести, являющиеся результатом притяжения тел Землей, направленными по вертикали вниз и не изменяющимися в различных точках околоземного пространства. Рассмотрим отдельную тяжелую точку; для нее (ось z направлена по вертикали вверх) и элементарная работа определится выражением: , где Р - сила тяжести (вес) рассматриваемой точки. С другой стороны, по уравнению (121), имеем . Таким образом, dП = Pdz = d(Pz) и потенциальная энергия силы тяжести представляется формулой П = Pz + С. Для системы N тяжелых точек элементарная работа найдется суммированием отдельных элементарных работ сил тяжести точек системы
.
И в этом случае П = . Здесь Р - общий вес системы, a - координата ее центра тяжести.
2 . Потенциальная энергия упругой деформации. Здесь будет исследован случай линейной теории упругости, когда материал подчиняется закону Гука. Рассмотрим упругую пружину длины , один конец которой закреплен неподвижно (рис 62), а к другому подвижному концу прикреплена точка массы ; при растяжении (или сжатии) пружины ее длина будет равна , а на массу действует сила, пропорциональная удлинению Рис 62
пружины . Помещая начало координат на конце недеформированной пружины, направим ось х по движению массы ; обозначая через с коэффициент жесткости пружины, имеем
Fx =- сx, Fy = Fz = 0,
но , откуда, интегрируя, получаем
(3.93)
П роизвольная постоянная в выражении (3.93) отброшена, так как потенциальная энергия деформации недеформированной пружины, естественно, принимается равной нулю. В эту же схему укладывается решение задачи о продольной деформации (растяжении или сжатии) призматического стержня. Появляющиеся при нагружении стержня Рис 63
продольными силами N нормальные напряжения пропорциональны относительному удлинению ; здесь Ω - площадь попереч ного сечения, - первоначальная длина стержня. Коэффициентом пропорциональности служит модуль нормальной упругости (модуль Юнга) Е, поэтому , и, таким образом, упругая сила, с которой деформированный стержень действует на прикрепленную к его концу массу, будет определяться формулой
Координатой х здесь является удлинение стержня , и коэффициент жесткости с, входящий в выражение (17) для потенциальной энергии деформации, в этом случае будет равен
П ри изгибе балки за координату х принимается прогиб f в некоторой точке, а жесткость с зависит от размеров пролета, расположения внешней нагрузки Рис 64.
и условий закрепления балки. Так, для балки на двух шарнирных опорах, нагруженной посредине пролета сосредоточенной силой Р, жесткость следует вычислять по формуле , где - длина пролета, а - момент инерции поперечного сечения балки. Для консольной балки будем иметь . Формула (3.93) теперь дает потенциальную энергию деформации изгиба балки.
При кручении круглого цилиндра имеет место аналогичный результат. Пусть к торцам сплошного цилиндра из упругого материала приложены крутящие моменты М; размеры цилиндра: длина и радиус R считаются известными, ось z направлена по оси цилиндра. Угол закручивания на единицу длины цилиндра определяется формулой , где Mz есть упругий момент, создаваемый касательными напряжениями в поперечном сечении цилиндра; G — модуль сдвига; -полярный момент инерции сечения. Таким образом, момент внутренних сил, действующих в сечении цилиндра, пропорционален углу поворота сечения ; элементарная работа этого момента на угле поворота будет полным дифференциалом:
Интегрируя последнее соотношение, получаем потенциальную энергию кручения круглого стержня в виде , аналогичном (3.93), причем жесткость стержня на кручение, как это следует из проделанных вычислений, равна .
В приведенных примерах поведение упругой системы описывалось одной координатой; возможны и более сложные (случаи, например, при одновременном растяжении, изгибе и кручении консольного стержня потенциальная энергия выражается соотношением
.
3. Работа сил, приложенных к твёрдому телу.
Пусть силы ……., приложены к твердому телу в точках ……., . Выбирая произвольную точку тела О за полюс и обозначая вектор-радиус -й точки тела , получим: , т. е. перемещение точки равно геометрической сумме перемещения полюса и перемещения поворота вокруг полюса ( - бесконечно малый вектор поворота). Тогда элементарная работа силы запишется в форме:
.
Второе слагаемое, согласно свойству скалярно-векторного произведения, может быть переписано в виде
.
Элементарная работа всех сил будет
Обозначая через - главный вектор системы сил, через - ее главный момент относительно полюса О, получим
(3.92а)
В частном случае поступательного движения твердого тела , где - элементарное перемещение, одинаковое для всех точек тела. При вращении тела вокруг неподвижной оси (пусть это будет ось Oz), выбирая за полюс точку, лежащую на оси вращения, получим .
В случае плоского движения твердого тела имеем
где через обозначен главный момент системы сил относительно оси Oz, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через полюс О.
4 . Работа внутренних сил, приложенных к твердому телу, выражается через главный вектор и главный момент этих сил. Работа внутренних сил взаимодействия частиц твердого тела равна нулю, так как главный вектор и главный момент этих сил равны нулю.
Рассмотрим задачу о качении цилиндра по шероховатой поверхности. Составим выра-
Рис 65. жение для элементарной работы
В этой формуле - перемещение центра диска, - поворот колеса (здесь по часовой стрелке). Перепишем полученное выражение
.
Если диск катится без скольжения, т.е. мгновенный центр скоростей находится в нижней точке диска, то и работа силы трения скольжения равна нулю и . Если диск катится с проскальзыванием, то , так как в этом случае , где f - коэффициент трения скольжения диска о поверхность.