- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
В случае одночленной степенной зависимости сил сопротивления от скорости диссипативная функция
будет однородной функцией (m+1) степени от обобщенных скоростей. Отметим, что m = 0 соответствует кулонову (сухому) трению, m=1—силам вязкого трения, пропорциональным первой степени скорости (случай Релея), m = 2 — силам квадратичного сопротивления. В случае малых колебаний системы, в принятом в предыдущем параграфе приближении, следует принять m=1. Тогда имеем
. (5.6)
Сравнивая (5.6) с формулой для кинетической энергии , заметим, что они отличаются лишь коэффициентами и , следовательно, для малых колебаний системы с одной степенью свободы получаем (по аналогии с (5.3), заменяя А(0) соответствующим коэффициентом В(0))
В принятом приближении диссипативная функция имеет вид
(5.7)
(здесь b=В(0)). Уравнение Лагранжа 2-го рода имеет вид
.
Подставляя в него ранее полученные выражения для потенциальной и кинетической энергий, а также для диссипативной функции, получаем дифференциальное уравнение колебаний
,
которое в обычном виде записывается так
, . (5.8)
Это линейное, однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, для решения которого необходимо получить характеристическое уравнение . Корнями уравнения будут служить величины
Естественно рассмотреть отдельно следующие три случая движения.
1. Затухающее колебательное движение (n<k). Если n<k, то корни характеристического уравнения представятся так:
и
и, следовательно, общий интеграл уравнения (5.8) будет:
(5.9)
Составим первую производную по времени
(5.10)
Используем для определения постоянных интегрирования начальные условия: при t=0. Подставляя эти значения координаты и скорости в (5.9) и (5.10), найдем:
(5.11)
или , где для краткости положено
Из уравнения движения следует, что периодически меняет знак, так что движение точки имеет колебательный характер. Период колебания равен
г де представляет период свободных колебаний точки при отсутствии сил сопротивления. График затухающих колебаний представлен на рисунке , на рис.59- τ есть период колебаний. Пунктирная линия, огибающая график
.
Абсолютные величины максимальных отклонений образуют,
Рис 59 геометрическую прогрессию со знаменателем . Действительно
Натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд носит наименование логарифмического декремента; он равен
2. Апериодическое движение (n>k). При достаточно большом сопротивлении, когда , общий интеграл уравнения (5.8) будет:
Движение не будет носить колебательного характера (оно называется поэтому апериодическим). Полученному решению можно придать другой вид, если воспользоваться гиперболическими функциями .
Пусть
.
Тогда
Составим первую производную по времени
и используем для определения постоянных интегрирования начальные условия: при t=0. Подставляя эти значения координаты и скорости найдем
(5.12)
Вследствие быстрого убывания показательной функции величина будет весьма мала уже при небольших t, и систему можно практически считать вернувшейся
в положение равновесия. Характер
Рис 60 движения зависит от начальных условий. Графики движения системы представлены на рисунке. В случае а) , в случае б) и в) . Случаи а) и б) соответствуют апериодическому движению первого рода, случай в) — апериодическому движению второго рода.
3.Предельное апериодическое движение ( ).
Общий интеграл уравнения (5.8) в данном случае будет иметь вид
Начальные условия: при t=0. Получим
(5.13)
График изменения такой же, как и для апериодического движения ( ) .
Рассмотрим пример, разобранный в предыдущем параграфе, но добавим силу сопротивления , действующую на груз m. Функцию Рэлея запишем в виде или, подставляя значение для скорости , получим
В положении равновесия и дифференциальное уравнение будет иметь вид или
Здесь .
Если , т.е. , имеем затухающие колебания и решение записывается в форме (5.11), если , то апериодическое движение (5.12),(5.13).