- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
В этом параграфе будут рассмотрены движение тела относительно параллельных, пересекающихся осей.
1. Сложение вращений относительно параллельных осей.
П редположим, что твердое тело вращается вокруг некоторой оси, которая в свою очередь вращается вокруг другой, неподвижной оси, ей параллельной. Зная угловую скорость вращения тела вокруг подвижной оси и угловую скорость вращения самой оси вокруг неподвижной оси, определим абсолютное движение тела. Относительным движением в данном случае является вращение твердого тела вокруг оси по отношению к системе координат в свою очередь вращающейся вокруг оси Oz неподвижной (абсолютной) системы координат Oxyz; вектор угловой скорости вращения тела вокруг оси ', направленный вдоль этой оси, обозначим и назовем относительной угловой скоростью. Вращение самой системы координат по отношению к системе Oxyz будет переносным движением; вектор угловой скорости этого вращения, направленный по оси Oz, обозначим и назовем переносной угловой скоростью. Заметим прежде всего, что по условию параллельности векторов и все точки тела как в относительном, так и в переносном движении остаются в плоскостях, перпендикулярных к этим векторам, следовательно, абсолютное движение тела будет плоским. Точка М этой плоской фигуры, имеющая вектор-радиус по отношению к О' и вектор-радиус по отношению к О, будет двигаться с абсолютной скоростью , равной
или (2.41)
С другой стороны, рассматриваемое плоское движение можно представить как мгновенное вращение около оси, проходящей через мгновенный центр и перпендикулярной к плоскости движения. Чтобы найти положение этой оси, обозначим вектор-радиус мгновенного центра Р через и напишем условие, что абсолютная скорость точки плоской фигуры Р равна нулю. Полагая в равенстве (2.41) и получим
(2.42)
Умножим обе части этого равенства векторно на единичный вектор оси Oz; тогда, раскрывая двойное векторное произведение и так как вектора и перепендикулярны единичному вектору , получим: , г де и согласно принятым обозначениям представляют алгебраические величины угловых
Рис.45. скоростей (знак плюс, если вращение положительно для наблюдателя, смотрящего с оси Oz или знак минус в противоположном случае). Итак, при
(2.43)
Из последнего равенства видно, что при любых зависимостях между и мгновенный центр Р находится на линии 00' .Чтобы найти угловую скорость вращения вокруг мгновенного центра, вычтем (2.42) из (2.41); получим:
Это — формула вращательной скорости вокруг точки Р, с абсолютной угловой скоростью, равной
Итак, рассматриваемое абсолютное движение твердого тела эквивалентно вращению вокруг мгновенной оси, проходящей через мгновенный центр Р, с абсолютной угловой скоростью, равной геометрической сумме переносной и относительной угловых скоростей. Отметим возможные случаи расположения мгновенной оси.
1 . Направление вращений одинаково, т. е. и имеют один и тот же знак, например положительный. В этом случае из уравнений (2.43) видно, что точка лежит между центрами О и на расстояниях, обратно пропорциональных величинам угловых скоростей (рис 46). Абсолютная угловая скорость вращения вокруг оси, проходящей через точку Р, по (63) равна сумме угловых скоростей. Рис.46.
2. Направление вращений различно, т. е. и имеют различные знаки, например > 0, a < 0, причем положим для определенности, что > . В этом случае из формулы (62) следует: .Точка Р, следовательно, лежит за точкой О.
В качестве приложения рассмотрим вопрос об определении угловых скоростей в эпициклическом зацеплении зубчатых колес (рис.47). Обычно эпициклическим или планетарным механизмом называют сцепление двух или нескольких колес, из которых одно вращается около неподвижной оси, другие — около осей, закрепленных
Рис. 47. на подвижной рукоятке, причем зацепление может быть как внешним, так и внутренним. Колеса, соединенные с вращающейся рукояткой, называют сателлитами. Выведем общее соотношение между угловыми скоростями колес и рукоятки по отношению к основанию механизма в случаях внешнего и внутреннего зацепления. На рисунке все угловые скорости показаны в направлении по часовой стрелке; знак в дальнейшем покажет истинное направление вращений. Угловая скорость рукоятки обозначена через .
Придадим механизму в целом вращение с угловой скоростью (- ), равной по величине угловой скорости рукоятки, но противоположной ей по направлению. Тогда по теореме о сложении угловых скоростей основание механизма станет подвижным звеном, имеющим угловую скорость (- ), а рукоятка, наоборот, станет неподвижной и будет играть роль основания механизма. Механизм с перемещающимися осями превратится при этом в систему зубчатых колес с неподвижными осями, но угловые скорости колес будут уже равны соответственно и . Тогда, пользуясь известным соотношением между угловыми скоростями и радиусами, найдем:
здесь знак “-“ для внешнего зацепления и “+“ для внутреннего.
3. Направления вращений различны, но угловые скорости их равны по величине ( =- ).Этот случай представляет некоторую особенность, так как векторы и образуют пару векторов. В этом случае имеет место мгновенно-поступательное движение тела.
Объединяя все три случая, приходим к следующему результату: при сложении вращений вокруг параллельных осей угловые скорости складываются так же, как параллельные силы в статике. При проведении этой аналогии переносная и относительная угловые скорости рассматриваются как слагаемые силы, а абсолютная угловая скорость соответствует равнодействующей силе.
2 . Теорема о сложении вращений вокруг пересекающихся осей.
Пусть относительное вращение тела с относительной угловой скоростью происходит вокруг оси Oz' , а переносным движением является вращение системы Ox'y'z' с переносной угловой скоростью вокруг
Рис.48. неподвижной оси Oz, пересекающейся с осью Oz' в точке О. Абсолютным движением будет движение тела по отношению к системе координат Oxyz. Рассматриваемое абсолютное движение тела является вращением вокруг неподвижного центра О. Всякое вращение тела вокруг неподвижного центра можно представить как вращение вокруг некоторой гновенной оси. Определим направление мгновенной оси и найдем вектор абсолютной угловой скорости вращения тела. Для этого возьмем какую-нибудь точку М тела с вектор-радиусом и напишем по теореме о сложении скоростей: в данном случае
откуда следует, что т.е. абсолютная угловая скорость при вращении тела относительно пересекающихся осей равна геметрической сумме относительной и переносной угловых скоростей. В качестве иллюстрации рассмотрим случай регулярной прецессии твёрдого тела, когда
, и
п ри этом Тогда угловое ускорение тела будет равно (по формуле 2.25)
,
и . При решении этой задачи методом сложения вращений надо рассмотреть отдельно два вращения тела относительно двух неподвижных осей. Первое вращение – это « стоп переносное движение - =0» и рассматривается задача о вращении тела относительно подвижной оси по закону , тогда:
.
В нашем случае последнее слагаемое равно нулю, - кратчайшее расстояние от точки до оси относительного вращения.
Второе вращение – это « стоп относительное движение - =0» и рассматривается задача о вращении тела относительно неподвижной оси по закону . Будем иметь:
И в этом случае последнее слагаемое равно нулю, - кратчайшее расстояние от точки до оси переносного вращения. Третья составляющая ускорения – ускорение Кориолиса, равное
.
Величина этого ускорения равна . Чтобы получить величину абсолютного ускорения, необходимо выбрать оси координат и спроектировать все ускорения на выбранные оси. Получив , получим .