§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.

Формулу угловой скорости можно получить с помощью матрицы α. Пусть точка М определена в неподвижной системе вектором , а в подвижной вектором , тогда можно записать или

, (2.26)

где . Продифференцируем (2.26) по времени

. (2.27)

Второе слагаемое равно нулю, так как в подвижной системе вектор- столбец постоянен. Перепишем (2.27) в таком виде

Матрицу назовём матрицей угловой скорости. Докажем, что эта матрица кососимметричная. Условие кососимметричности матрицы есть, . Заметим

а также

откуда получаем .

Известно, что для кососимметричной матрицы существует сопряженный вектор

такой что , где - вектор столбец координат точек тела. Мы получили ту же формулу (2.24).

Перейдём к рассмотрению ускорений точек тела вращающегося вокруг неподвижной точки. По определению ускорение точки есть производная от вектора скорости

,

_{Но по (2.25) имеем и, учитывая что} , получим

(2.28)

Первое слагаемое - вращательное ускорение, которое не направлено в общем случае по вектору скорости, второе слагаемое - есть осестремительное ускорение, направленное всегда к мгновенной оси вращения и численно равно .

Глава 6.

§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.

Чтобы определить положение твердого тела в пространстве, зададим прежде всего положение какой-нибудь одной его «ос­новной точки», или полюса О' при помощи вектор-радиуса этой точки (рис.40) или ее координат ( ). Тело мо­жет вращаться около фикси­рованного положения полюса О', поэтому для определения положения тела в простран­стве нужно еще задать три эй­леровых угла тела по отноше­нию к системе , оси кото­рой параллельны неподвижым осям Охуz, а начало на­ходится в полюсе О. Так, твердое тело в про­странстве имеет шесть степе­ней свободы, характеризуемых величинами

Имея заданными эти шесть величин, легко составить и урав­нения движения любой точки М тела. Из основного равенства ^,проектированием его на оси неподвижной системы координат получим

^{(2 .29)}

З десь - направляющие косинусы- (обозначения их приняты со­гласно таблице, помещенной в предыдущем параграфе) могут быть выражены через эйлеровы углы; величины х', у', z' — заданные постоянные, оп­ределяющие выбор точки, движение которой разыскивается, - заданные функции времени. Таким образом, уравнения (2.29) дают уравнения движения точек тела.

Рис 40 Всякое перемещение тела в пространстве может быть, осу­ществлено поступательным перемещением вместе с полюсом и одним поворотом вокруг оси, проходящей через полюс.

В дополнение к вышесказанному добавим, что вектор поворота тела не зависит от выбора полюса, т. е. при перемене по­люса будет меняться только поступательное перемещение, а ось, угол и направление поворота не будут изменяться.