![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
Статический принцип возможных перемещений формулируется так: необходимое и достаточное условие равновесия системы, подчиненной стационарным, идеальным, двухсторонним, голономным связям,- заключается в равенстве нулю суммы элементарных работ задаваемых сил на любом возможном перемещении системы из рассматриваемого положения равновесия.
Обозначим
через
равнодействующую задаваемых сил,
приложенных к какой-нибудь точке
системы, через
возможное перемещение этой точки и
через
сумму элементарных работ задаваемых
сил на возможном перемещении системы.
Тогда аналитическое выражение
принципа возможных перемещений будет
иметь вид:
(4.7)
Чтобы доказать необходимость принципа, предположим что несвободная система, подчиненная стационарным связям, находится в положении равновесия. Тогда каждая ее точка находится в равновесии и, по принципу освобождаемости, равнодействующая заданных сил и реакций связи , приложенная к какой-либо точке должна быть равна нулю. Равна нулю будет и работа этой равнодействующей, так что
или
но вторая сумма равна нулю по условию идеальности связей; следовательно, необходимость принципа доказана.
Для
доказательства достаточности принципа,
т. е. существования равновесия при
выполнении условия (4.7), рассуждение
ведется от обратного. Предположим, что
условие (4.7) выполнено, а система в
рассматриваемом положении все же не
находится в равновесии. Тогда система,
если в начальный момент представить
себе ее покоящейся, под действием
задаваемых сил и реакций связи придет
в движение и за малый промежуток
времени совершит некоторое действительное
перемещение, входящее в случае стационарных
связей в число возможных. Тогда возможная
кинетическая энергия
и при этом будет совершена положительная
работа
.
Разбивая на две суммы, получим:
но вторая сумма по условию идеальности связей равна нулю, следовательно,
что противоречит принятому предположению (3.7), что и требовалось доказать. Можно показать, что необходимым и достаточным условием равновесия системы сил являются хорошо известные из статики соотношения. Действительно
Тогда
среди возможных конфигураций системы
можно всегда выбрать такие, что
,
тогда должно быть
,
а если
то
:
необходимым и достаточным условием
равновесия является равенство нулю
главного вектора и главного момента
системы сил
(4.8)
Если
задаваемые силы
консервативны, т. е. существует
потенциальная энергия П = П
,
то
при этом выражение принципа возможных перемещений (3.7) приведется к равенству
=0,
выражающему необходимое условие экстремальности потенциальной энергии в положении равновесия системы. Следовательно, из принципа возможных перемещений вытекает, что необходимые и достаточные условия равновесия несвободной системы с идеальными связями под действием консервативных задаваемых сил совпадают с необходимым (но не достаточным) условием экстремума потенциальной энергии.
Составим
выражение статического принципа
возможных перемещений в обобщённых
координатах. Вектор-радиус
любой точки системы может быть выражен
через обобщенные координаты по формулам
,
возможные перемещения определятся как
вариации вектор-радиусов
(4.9)
Тогда работа сил на возможных перемещениях запишется в виде
,
(4.10)
где
представляет выражение
(4.11)
называемое
обобщённой силой. Для нахождения
обобщённой силы, надо составить выражение
возможной работы в обобщённых координатах;
полученные коэффициенты при возможных
перемещениях
и есть соответствующие этим координатам
обобщённые силы. Если задаваемые силы
консервативны, то, выразив предварительно
потенциальную энергию через обобщённые
координаты, по (4.9) получим
(4.12)
Если обобщённые координаты выбраны независимыми, то обобщённые возможные перемещения в числе, равном числу степеней свободы, будут произвольны. Тогда из равенства (4.10) следует, что все коэффициенты при произвольных величинах должны по отдельности быть равными нулю:
(4.13)
Итак, необходимое и достаточное условие равновесия несвободной системы с голономными, идеальными, стационарными, двухсторонними связями заключается в равенстве нулю всех соответствующих независимым обобщённым координатам обобщённых сил в рассматриваемом положении равновесия системы. Полагая в этом случае, что потенциальная энергия П задаваемых сил также выражена через обобщённые координаты, будем иметь по (4.12) и (4.13) условия равновесия системы в виде
.
(4.14)
Эти равенства выражают необходимое условие экстремума потенциальной энергии в положении равновесия системы.
Рассмотрим пример: определить соотношение между моментом М0 и силой Q, если угол ОВА равен α, а угол ВОА - β. ОА=L.
Дадим системе возможное перемещение по направлению момента и против направления силы Q, тогда, согласно статическому принципу возможных перемещений, имеем
.
Ш
атун
АВ
совершает плоско-параллельное движение,
и для получения зависимости между
можно применить два способа: первый-
проекции перемещений концов отрезка
на направление отрезка равны, следовательно
или
Подставляя полученное равенство в основное уравнение, получаем
.
Так
как
любое возможное перемещение, то
.
Второй
способ – использование определении
мгновенного центра скоростей (мцс). В
нашем примере (мцс) находится на
пересечении продолжения отрезка ОА
и перпендикуляра к
ОВ, проведённого
из точки В
(пусть мцс
находится в точке Р).
Если обозначить через
поворот относительно мцс, то можно
записать
и
,
откуда следует
.
По теореме синусов из треугольника ОАВ
имеем
или
.
Получаем тот же результат.