- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
Рассмотрим ещё одну задачу на применение общих теорем динамики твёрдого тела: на вопросе об определении реакций в точках закрепления оси вращающегося твердого тела. Примем ось вращения за ось Oz, поместив начало системы осей , связанных с телом, в закрепленной точке (подпятник); в точке на расстоянии помещен подшипник оси вращения. Применим обе теоремы: освободив мысленно тело от опорных закреплений ,и введём в рассмотрение искомые реакции и . Запишем теорему о движении центра масс
где - вектор угловой скорости тела, - скорость центра инерции, - его вектор-радиус. Вычислим кинетический момент (по второй формуле (3.78)
.
Спроектируем полученные уравнения на оси координат жестко связанные с Рис 59
телом, заметим, что . Тогда первая группа уравнений имеет вид
, , .
Перейдём ко второй группе и рассмотрим сначала второе слагаемое
,
после чего можем записать три уравнения
, ,
Рассматриваемую задачу можно решать и методом кинетостатики, для чего надо ввести силы инерции и моменты сил инерции ( на рисунке и ). Будем считать, что тело вращается под действием крутящего момента , тогда проектируя и на оси координат получаем шесть уравнений
,
,
, (3.81)
,
,
.
Первые пять уравнений служат для определения пяти реакций , а последнее для определения угловой скорости. Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Если тело не вращается, то мы имеем 5 уравнений статики, из которых определяем 5 статических реакций.
2. Интегрируя последнее уравнение (3.81), получаем . Тогда можно определить те динамические добавки к статическим реакциям, возникающие от вращения тела. Всегда можно выбрать оси таким образом, чтобы центр масс находился, к примеру, в плоскости Oyz, тогда и имеем
,
,
, (3.82)
.
3.Пусть ось вращения – центральная ось, тогда и , т.е. и или . Дополнительное воздействие вращающегося тела на ось вращения приводится к паре сил и величина момента этой пары равна . В этом случае говорят, что тело статически уравновешено.
4.Пусть ось вращения главная ось инерции в точке пересечения оси вращения и плоскости перпендикулярной оси вращения и проходящей через центр масс ( нецентральная ось не может быть главной во всех своих точках), тогда и пусть расстояние от выбранной точки пересечения до подшипников равно а и в ( ). Тогда уравнения (109) следует переписать так
,
,
, .
Из последних двух формул следует и
, , , .
Динамические реакции представляют параллельные силы, и в этом случае говорят, что тело динамически уравновешено.
§ 5. Задача о физическом маятнике.
К ак частный случай вращения тела вокруг неподвижной оси можно рассмотреть задачу о физическом маятнике. Физическим маятником называется твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси под действием силы тяжести. Рассмотрим случай, когда ось вращения горизонтальна. Проведем через центр тяжести С тела плоскость, перпендикулярную к оси вращения. Точка пересечения О этой плоскости с осью вращения называется точкой подвеса. Примем эту точку за начало координат. Ось z направим по оси вращения, оси х
Рис 60 и у расположим в плоскости, проходящей через центр тяжести и точку подвеса, перпендикулярно к оси вращения (рис. 60 ). Дифференциальные уравнения вращения тела вокруг оси z ( если ось z главная) согласно предыдущего параграфа запишутся следующим образом:
Так как в этом случае , где М — масса тела, а — расстояние от точки до центра тяжести (а = ОС), то дифференциальное уравнение движения тела примет вид
или
Рассмотрим случай малых колебаний, для которых можно принять . Тогда уравнение движения можно записать в следующей форме:
а его общее решение имеет вид
Отсюда следует, что угол φ изменяется по гармоническому закону с периодом колебаний, равным
Сравнивая дифференциальное уравнение движения математического маятника с уравнением движения физического маятника, можно утверждать, что математический маятник, имеющий длину
l= , (3.83)
будет двигаться так же, как и физический маятник. Величина l, определяемая формулой (3.83), называется приведенной длиной физического маятника. Представляя по формуле Гюйгенса момент инерции тела относительно оси z в виде
где — радиус инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно оси z, получим или
Полученное квадратное уравнение имеет два корня: и причём (по теореме Виетта) и . Откладывая l от точки подвеса в направлении центра тяжести, получим точку О (см. рис 60), которая называется центром качания. Таким образом, если старый центр качания сделать новой точкой подвеса, то старая точка подвеса станет новым центром качания. Способ качания с использованием теории физического маятника используется для экспериментального определения момента инерции неоднородных твердых тел или тел сложной конфигурации.
Вопросы для самопроверки.
1. Напишите дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси (ось вращения главная).
2. Что такое статическая и динамическая уравновешенность тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?
3. Напишите дифференциальные уравнения плоского движения тела.
4. Напишите уравнения кинетостатики. Прокомментируйте введённые обозначения.
5 Чему равна сила трения цилиндра, катящегося по шероховатой поверхности (разберите два случая).
6. Сколько степеней свободы имеет свободное тело, какими обобщенными координатами можно описать его движение?
7. Чему равна приведённая длина однородного стержня длины l, колеблющегося вокруг горизонтальной оси ( разберите разные случаи крепления оси: в конце стержня, на расстоянии 1/4l от конца стержня и т.д.)