![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
Рассмотрим
некоторую вектор-функцию
,
проекции которой в относительной системе
координат
,
являются заданными функциями времени,
и сравним между собой векторные
производные от этой функции, вычисленные
наблюдателями в абсолютной и относительной
системах координат. Для этого, замечая,
что
,
составим
производную по времени от вектора
в
абсолютной системе координат
(2.33)
Первые три слагаемые в выражении (2.33), являются производной от вектора , вычисленной в предположении неизменности направления единичных векторов осей относительной системы координат.
Такое
выражение естественно назвать
относительной производной. Для
преобразования остальных слагаемых
векторного выражения, вспомним формулу
(2.24)-скорость вектора постоянного по
модулю есть
,
откуда следует
, где
-
вектор угловой скорости вращения
относительной системы координат
.
Таким образом, равенство (2.23) приобретает
вид
(2.34)
и мы приходим к следующей весьма важной для дальнейшего лемме: абсолютная производная по времени от вектора равна геометрической сумме относительной производной того же вектора и векторного произведения вектора угловой скорости вращения относительной системы координат на дифференцируемый вектор.
Применим доказанную лемму для вывода теоремы о сложении скоростей. С этой целью вычислим абсолютную производную по времени от обеих частей равенства (2.32) будем иметь:
или
.
(2.35)
Но
сумма первых двух слагаемых справа по
известной формуле для скоростей точек
твердого тела (формула 2.30) есть переносная
скорость
.
Итак, окончательно получим
.
(2.36)
Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скорости.
§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
Чтобы перейти к ускорениям, вычислим абсолютную производную по времени от обеих частей соотношения (54), выражающего теорему сложения скоростей. Получим:
Преобразуем
это равенство так, чтобы производные
от векторов брались в той системе
координат, к которой дифференцируемый
вектор отнесен; так, производные от
-
берутся в абсолютной системе Oxyz,
тогда как производные от
берутся в подвижной системе
.
Поэтому
Подставляя полученные формулы в предыдущее выражение и произведя перегруппировку слагаемых, получим
,
(2.37)
Здесь
,
,
.
В ускорении
первое
слагаемое
определяет ускорение поступательного
движения, равное ускорению точки О',
а второе и третье:
и
-
вращательную и центростремительную
составляющие ускорения вращения
тела вокруг этой точки, а в целом, это
переносное ускорение точки М.
Здесь
абсолютное
ускорение точки,
-
ее относительное ускорение. Последнее
слагаемое
(2.38)
называют поворотным ускорением или
(по имени французского ученого XIX
столетия Кориолиса) кориолисовым
ускорением.
Как
видно из хода вывода, ускорение Кориол'иса
составилось из двух одинаковых слагаемых
.
Первое из них появилось при вычислении
абсолютной производной от вектора
относительной скорости и выражает
изменение вектора относительной
скорости, обусловленное поворотом этого
вектора вместе с относительной системой
координат. Второе возникло при вычислении
абсолютной производной от переносной
скорости за счет изменения во времени
относительного вектор-радиуса точки.
Итак, имеем:
(2.39)
Формула (2.39) представляет теорему сложения ускорений: абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений.
Относительное
ускорение
определяется в относительной системе
координат по правилам кинематики точки.
Переносное ускорение вычисляется
методами кинематики твердого тела,
в зависимости от того, какое движение
совершает относительная система
.
Остановимся специально на определении
третьего слагаемого в формуле сложения
ускорений — поворотного (кориолисова)
ускорения. Как непосредственно
следует из (2.38), величина этого ускорения
находится по формуле
,
а направление — по общему правилу
векторного умножения. Укажем другой
часто употребляемый способ (правило
Н.Е.Жуковского): проекцию вектора
относительной скорости
перпендикулярную
вектору
повернуть
в сторону вращения
на угол
.
Отметим некоторые частные случаи
определения поворотного ускорения:
1. Поворотное ускорение равно нулю, если:
а) = 0, т. е. в случае поступательного движения подвижной системы кординат
б) вектор параллелен , т. е. если точка в относительном ее движении перемещается параллельно оси вращения системы.
Н
аличием
кориолисового ускорения объясняются
многочисленные явления, происходящие
на поверхности Земли вследствие ее
вращения: это конфигурация русла
рек, образование и движение циклонов,
определяющих погоду на Земле и т.д. Более
подробно эти явления будут рассмотрены
в разделе динамики относительного
движения точки. В качестве иллюстрации
рассмотрим движение точки в полярной
системе координат - движение точки по
стержню, который вращается в плоскости
чертежа по закону
.
Разложим эти два движения как относительное
движение точки по стержню и переносное
движение – вращение стержня относительно
неподвижной оси (рис. 42). Тогда относительная
скорость равна
и направлена вдоль стержня, переносная
скорость направлена перпендикулярно
стержню в сторону возрастания угла
.
Очевидно
.
Величина абсолютной скорости будет
равна
П
ерейдём
к определению абсолютного ускорения
(рис. 43). С этой целью остановим переносное
движение “e”-stop,
тогда
.
Теперь пусть “r”-stop,
надо определить ускорение того места
стержня, где «остановлено» относительное
движение. Будем иметь
и
.
Ускорение Кориолиса равно
,
так как вектор угловой скорости
перпендикулярен вектору относительной
скорости. Спроектируем абсолютное
ускорение на две оси: вдоль стержня
(радиальное) и перпендикулярно
(трансверсальное) стержню:
,
(2.40)