§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.

Для определения ускорения любой точки плоской фигуры найдем производную по времени от вектора скорости этой точки. Имеем согласно (2.17)

и, следовательно,

(2.20)

Первое слагаемое одинаковое для всех точек фигуры полюса О', называется ускорением полюса. Второе слагаемое называется вращательным ускорением. Здесь вектор представляет собой вектор углового ускорения. Вектор перпендикулярен к и направлен в ту же сторону, что и враща­тельная скорость точки плоской фигуры вокруг полюса, или в противоположную, сообразно тому, будет ли вращение фигуры ускоренным или замедленным; величина равна

Третье слагаемое . По известной формуле разложения двойного векторного произведения:

=0, так как в скобках две ортогональных вектора. Эта со

ставляющая ускорения, направленная от рассматриваемой точки к полюсу называется осестремительным ускорением. Итак, имеем

(2.21)

т. е. ускорение любой точки в плоском движении может быть представлено как геометрическая сумма поступательного уско­рения, равного ускорению полюса, вращательного ускорения вокруг полюса и осестремительного ускорения к полюсу. На рис. 34 показан план ускорений плоской фигуры, за полюс выбрана точка О , плоская фигура вращается вокруг полюса с угловым ускорением, направленным по часовой стрелке. Ускорение полюса одинаковое для всех точек фигуры, тогда как ускорение вращения зависит от расстояния до полюса. Складывая для каждой точки отрезка ОМ эти ускорения, можно получить ускорения любой точки плоской фигуры. На рис. 34 показаны ускорения точек, лежащих на отрезке ОМ, точек А,В,С и М, но отрезок ОМ проведён произвольно, следовательно, правило определения ускорений будет аналогично и для точек на любом отрезке, для любой точки плоской фигуры.

Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.

§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.

Обратимся к рассмотрению вращательного движения абсо­лютно твердого тела вокруг неподвижной точки. Вопрос этот имеет большое практическое значение, так как лежит в основе теории гироскопических явлений, ди­намики корабля, самолета, ракеты, а также движений небесных тел. Предположим, что рассматриваемое твердое тело имеет неподвижную точку (центр) О (рис. 35) и может как угодно вращаться вокруг этой точки. Выясним, прежде всего, число величин, которое надо

з адать для определения положения твердого тела в пространстве. Для этого проведем через центр О ось OL, жестко связан­ную с телом; положение этой оси в пространстве определится двумя ве­личинами: углами α и β этой оси с осями Ох и Оу неподвижной системы координат. Но этих двух величин еще недостаточно для определения по

Рис. 35. ложения твердого тела, так как тело может вращаться около взятой оси. Задавая еще одну величину — угол φ поворота тела вокруг оси, - полностью фиксируем поло­жение тела в пространстве.

	x	y	z
x'
y'
z'

Итак, три величины должны быть заданы для определения положения тела, имеющего «неподвижной», системе Oxyz. Запишем таблицу косинусов углов между осями координат подвижной и неподвижной системами координат (буквами обозначены не углы, а их косинусы). Знание коэффициентов этой таблицы позволяет определить положение вращающегося тела относительно неподвижной системы координат. Как известно из аналитической геомерии, декартовы координаты точки в обеих системах связаны равенствами.

^(2.22)

Из девяти косинусов независимыми являются только три, так как они связаны между собой шестью независимыми соотношениями

Выражение через три независимых ко-

синуса всех остальных затруднительно, так как требует решения системы уравнений второй степени.