Интернет-ресурсы:

1. http://upereslavl.botik.ru/UP/ECON/econometrics/top1/tsld006.htm

2. http://www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/study.htm

3. http://www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/index.htm

4. http://www.statsoft.ru/home/textbook/glossary/default.htm

5. http://www.dataforce.net/~antl/article/econometric

6. http://www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/study.htm

7. http://www.tvp.ru/vnizd/mathem4.htm

Тема 2. Линейные однофакторные регрессионные модели эконометрики

2.1. Определения. Линейная регрессионная модель для случая одной

факторной переменной 14

2.2. Метод наименьших квадратов 16

2.3. Свойства оценок МНК 17

2.4. Регрессия по эмпирическим (выборочным) данным и теоретическая

регрессия 17

2.5. Экономическая интерпретация параметров линейного уравнения

регрессии 18

2.6. Измерение и интерпретация случайной составляющей 18

2.7. Практический блок 22

2.8. Самостоятельная работа студентов 31

2.1. Определения. Линейная регрессионная модель для случая одной факторной переменной

Рассмотрим сначала однофакторную регрессионную модель.

В этом случае имеется n пар наблюдений (x_i,y_i), i=1,2,…,n, над некоторыми случайными величинами Х={x_i} и Y={y_i}. Эти наблюдения можно представить точками на плоскости с координатами (x_i,y_i), получая так называемую диаграмму рассеяния. Задача построения регрессионной модели заключается в том, что необходимо подобрать некоторую кривую (график соответствующей функции) таким образом, чтобы она располагалась как можно “ближе” к этим точкам. Такого рода кривую называют эмпирической или аппроксимирующей кривой. Весьма часто тип эмпирической кривой определяется экспериментальными или теоретическими соображениями (исходя из законов экономической теории), в противном случае выбор кривой осуществить довольно трудно. Иногда точки на диаграмме рассеяния располагаются таким образом, что не наблюдается никакого их группирования, и, соответственно, нет никаких оснований предполагать наличие в наблюдениях какой-либо взаимозависимости.

Таким образом, результатом исследования статистической взаимозависимости на основе выборочных данных является построение уравнений регрессии вида y=f(x).

В самом простом случае предполагается, что f задает уравнение прямой f(x)= aх+b. Модель в этом случае имеет вид

у_i= aх_i+b +_i (i=1,2,…,n). (2.1)

Здесь _i являются вертикальными уклонениями точек (x_i,y_i) от аппроксимирующей прямой. Вопрос о нахождении формулы зависимости можно ставить после положительного ответа на вопрос о существования такой зависимости, но эти два вопроса можно решать и одновременно.

Для ответа на поставленные вопросы существуют специальные методы и, соответственно, показатели, значения которых определенным образом свидетельствуют о наличии или отсутствии линейной связи между переменными. Такими показателями являются коэффициент корреляции величин Х и Y, а также коэффициенты линейной регрессии ₀ и ₁, их стандартные ошибки и t-статистики, по значениям которых проверяется гипотеза об отсутствии связи величин Х и Y.

Угловой коэффициент a прямой линии регрессии Y на X называют коэффициентом регрессии Y на X и обозначают _yx.

Выражение _х² = –( )² есть выборочная дисперсия Х (или квадрат выборочного среднего квадратического отклонения).

Выборочный коэффициент корреляции определяется равенством

r_yx =(ху – х у )/(_х_y), (2.2)

где _y есть выборочное среднее квадратическое отклонение Y.

(Верхняя черта, как это принято в теории вероятностей и математической статистике, означает среднее значение выборочной совокупности, в данном случае ).

Коэффициент корреляции измеряет силу (тесноту) линейной связи между Y и X. Он является безразмерной величиной, не зависит от выбора единиц измерения обеих переменных. Для него всегда выполняется 0  r_yx  1, и чем ближе его значение к 1, тем сильнее линейная связь. Коэффициент корреляции будет положительным, если зависимость переменных Х и Y прямо пропорциональная, и отрицательным, – если обратно пропорциональная.

При близости к нулю коэффициента корреляции, например, величин уровней инфляции и безработицы (что имело место фактически в экономике США в 1970-х – 1980-х годах) нужно не говорить сразу о независимости этих показателей, а попытаться построить более сложную (не линейную) модель их связи.

Если формула (1) линейна, то речь идет о линейной регрессии. Формула статистической связи двух переменных называется парной регрессией, зависимость от нескольких переменных – множественной регрессией. Например, Кейнсом была предложена линейная модель зависимости частного потребления С от располагаемого дохода Х: С=С₀+ С₁Х, где С₀ >0 – величина автономного потребления (при уровне дохода Х=0), 1>C₁>0 – предельная склонность к потреблению (C₁ показывает, на сколько увеличится потребление при увеличении дохода на единицу).

В случае парной линейной регрессии имеется только один объясняющий фактор х и линейная регрессионная модель записывается в следующем виде:

у= aх+b +, (2.3)

где  – случайная составляющая с независимыми значениями М=0, D= ².