2. Анализ влияния отдельных факторных признаков на результативный признак.

7.2.1.Эластичность и ее свойства.

Понятие эластичности было введено Аланом Маршаллом в связи с анализом функции спроса. По существу, это понятие является чисто математическим и может применяться при анализе любых дифференцируемых функций.

Эластичностью функции у =f(x) в точке х₀ называется следующий предел

Если из контекста ясно, в какой точке определяется эластичность, и какая переменная является независимой, то в обозначении эластичности могут опускаться отдельные символы. Эластичность Е_у – это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин у и х. Если, например, х увеличится на один процент, то у увеличивается (приближенно) на Е_у процентов.

Для вычисления эластичности используют несколько эквивалентных формул (если существует конечная производная функции у =f(x) в точке х₀):

Рассмотрим теперь ряд свойств эластичности.

1. Эластичность суммы у=у₁+…+у_п положительных функций у_i удовлетворяет соотношению Е_min  Е_у  Е_max, где Е_min(Е_max) – это минимальная (максимальная) эластичность функций у_i.

2. Эластичность произведения функций u=u(x) и v=v(x) равна сумме эластичностей функций u и v: Е_uv = Е_u +Е_v.

3. Эластичность частного функций u=u(x) и v=v(x) равна разности эластичностей функций u и v: Е_uv = Е_u – Е_v.

4. Для сложной функции у=f(g(t)) эластичность у по t удовлетворяет равенству Е_уt = Е_уx Е_xt.

5. Эластичность обратной функции удовлетворяет соотношению Е_ху=Е_ух^-1.

Примеры:

у = х+С,

у=х^а,

К ак видим, эластичность степенной функции не зависит от значения х. В других функциях коэффициент эластичности зависит от значений фактора x. В силу этого для них обычно рассчитывается средний показатель эластичности

Пример 7.1. По группе предприятий, производящих однородную продукцию, известно, как зависит себестоимость единицы продукции y от факторов, приведенных в таблице. Определить с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого фактора на результат. Проранжировать факторы по силе влияния. Данные представлены в таблице 7.1.

Таблица 7.1.

Объем производства (х1)	у(х1)=0,62+58,74∙(1/х1)	2,64
Трудоемкость единицы продукции (х2)	у(х2)=9,3+9,83∙х2	1,38
Оптовая цена за 1т. энергоносителя (х3)	у(х3)=11,75+х31,6281	1,503
Доля прибыли, изымаемая государством (х4)	у(х4)=14,87∙1,016х4	26,3

Тогда получаем:

1. для гиперболы у=b+a/x

2. для линейной функции у=b+ax

3. для степенной функции у=bx^а

4. для показательной функции у=bа^х

Наиболее слабое влияние на изменение признака у оказывает фактор x₄, поскольку коэффициент эластичности по абсолютной величине имеет самое низкое значение 0,1813.

Это означает, что при росте доли прибыли, изымаемой государством, на 1% себестоимость увеличится на 0,18%. Наиболее сильное влияние на изменение признака у оказывает фактор x₃, поскольку коэффициент эластичности по абсолютной величине имеет самое высокое значение 1,6281. Это означает, что при росте цены за одну тонну энергоносителя на 1%, себестоимость возрастет на 1,63%.

Упорядочим факторы по силе влияния на изменение себестоимости:

Ранг	Факторный признак	Обозна- чение	Коэффициент эластичности	Комментарий
1	Доля прибыли, изымаемой государством	x4	0,1813	Инфраэластичность. Влияние практически отсутствует. Фактор оказывает наименьшее влияние на себестоимость
2	Трудоемкость единицы продукции	x1	0,5933	При изменении трудоемкости единицы продукции на 1% себестоимость изменится на 0,59%. Инфраэластичность, влияние слабое.
3	Объем производства	x2	-0,9728	Между изменением объема производства и себестоимости существует обратная зависимость. С увеличением объема производства на 1% себестоимость снижается на 0,97%.
4	Цена за одну тонну энерго-носителя	x3	1,6281	При изменении фактора на 1% себестоимость изменяется на 1,63%. Ультраэластичность, влияние сильное. Фактор оказывает наибольшее влияние на себестоимость

Пример 7.2. В таблице 7.2. указаны парные коэффициенты корреляции. Провести анализ целесообразности включения заданных факторов в уравнение множественной линейной регрессии.

Таблица 7.2.

	у	x1	x2	x3	x4
у	1
x1	0,71	1
x2	0,58	0,53	1
x3	0,08	0,2	0,13	1
x4	0,62	0,81	0,3	0,25	1

Между y и x₃ связь практически отсутствует. Между y и x₁ связь сильная, между y и x₂, x₄ – умеренная.

Отсюда следует вывод о нецелесообразности включения фактора x₃ в уравнение множественной линейной регрессии (коэффициент парной корреляции с результатом равен 0,08).

Между факторами x₁ и x₄ существует сильная прямая связь (коэффициент парной корреляции >0,8). Для того чтобы избежать явления мультиколлинеарности, один из этих факторов должен быть исключен из анализа. Исключается фактор x₁, умеренно коррелирующий с x₂ (коэффициент их парной корреляции равен 0,53). Факторы, включенные в модель множественной регрессии: x₂, x₄.