3.4. Описание связей между макроэкономическими переменными.
Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности, которые в случае линейной двухфакторной модели рассчитываются по формулам
Э ŷх1(х2) = а1х1 / у; Э ŷх2(х1)= а2х2 / у. (3.3)
Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов изменится результативный признак, если изменить один из факторных признаков на один процент не меняя значения остальных.
В рассматриваемом выше примере 3.1
Эŷх1(х2)=0,06815·6080,5/1313,9=0,315; Эŷх2(х1)=380.47·3,1/1313,9=0,898.
Это означает, что при увеличении душевого дохода на один процент и неизменном размере семьи расходы на питание увеличатся на 0,315 процента, а увеличение на один процент (условно) размера семьи при неизменном душевом доходе приведет к росту расходов на питание на 0,898 процента.
Пример 3.2. Как размер платы за квартиру зависит от площади квартиры и от количества человек, прописанных в данной квартире.
Данные приведены в табл. 3.2.
Таблица 3.2
N |
Квартплата, руб. |
Площадь квартиры, м2 |
Количество человек |
y |
x1 |
x2 |
|
1 |
244,19 |
46,0 |
3 |
2 |
450,50 |
80,2 |
3 |
3 |
199,86 |
43,8 |
1 |
4 |
192,00 |
48,9 |
2 |
5 |
98,50 |
12,0 |
1 |
6 |
356,59 |
59,8 |
3 |
7 |
381,54 |
51,9 |
4 |
8 |
118,48 |
18,0 |
2 |
9 |
324,40 |
53,8 |
3 |
10 |
182,50 |
16,0 |
3 |
|
|
|
2=2,5 |
=254,86
1=43,04Построим линейную аддитивную модель в виде ŷ=а0+а1x1+а2x2. Необходимые данные для расчета модели сведем в табл. 3.3.
Таблица 3.3
N |
yx1 |
yx2 |
x12 |
x22 |
x1x2 |
1 |
11232,74 |
732,57 |
2116 |
9 |
138 |
2 |
36130,1 |
1351,5 |
6432,04 |
9 |
240,6 |
3 |
8753,87 |
199,86 |
1918,44 |
1 |
43,8 |
4 |
9388,8 |
384 |
2391,21 |
4 |
97,8 |
5 |
1182 |
98,5 |
144 |
1 |
12,0 |
6 |
21324,08 |
1069,77 |
3576,04 |
9 |
179,4 |
7 |
19801,93 |
1526,16 |
2693,01 |
16 |
207,6 |
8 |
2132,64 |
236,96 |
324 |
4 |
36 |
9 |
17452,72 |
973,2 |
2894,44 |
9 |
161,4 |
10 |
2920 |
547,5 |
256 |
9 |
48,0 |
|
|
2=712 |
=2274,58 |
=7,1 |
х1х 2=116,46 |
1=13031,9
Для решения линейной двухфакторной модели строим следующую систему уравнений:
а
0+
1a1+
2a2
=
1а0+ a1+ х1х 2a2 = 1
2а0+ х1х 2a1+ a2 = 2.
Нам нужно решить систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными и найти значения коэффициентов модели а0, а1 и а2.
Подставляя в данную систему найденные числовые данные, получим систему
а
0+43,04
a1+2,5
a2
= 254,86
43,04 а0+2274,58 a1+116,46 a2 = 13031,89
2,5 а0+116,46 a1+7,1 a2 = 712.
Для того чтобы решить данную систему уравнений методом Крамера, найдем сначала значение определителя основной матрицы. Этот определитель определяется равенством
∆ = |
1 43,04 2,5 |
43,04 2274,58 116,46 |
2,5 116,46 7,1 |
= 1 |
2274,58 116,46 |
116,46 7,1 |
- 43,04 |
43,04 2,5 |
116,46 7,1 |
+ 2,5 |
43,04 2,5 |
2274,58 116,46 |
=1×(16149,518-13562,93)-43,04×(305,58-291,1)+2,5× |
×(5012,44–5686,45)=2586,586 – 621,07 – 1685,025=280,49.
Получили, что ∆=280,49≠0, значит, система уравнений имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера
,
.
∆а0 = |
254,86 13031,89 712 |
43,04 2274,58 116,46 |
2,5 116,46 7,1 |
= 254,86 |
2274,58 116,46 |
116,46 7,1 |
– 43,04× |
13031,89 712 |
116,46 7,1 |
+ 2,5 |
13031,89 712 |
2274,58 116,46 |
= 254,86×(16149,52-13562,93)- |
- 43,04×(92526,42–82919,52) + 2,5×(1517693,9–1619500,96) = 659218,33 –
– 413480,98–254515,25= –8777,9.
∆а1= |
1 43,04 2,5 |
254,86 13031,89 712 |
2,5 116,46 7,1 |
=1 |
13031,89 712 |
116,46 7,1 |
– 254,86 |
43,04 2,5 |
116,46 7,1 |
||||
+ 2,5 |
43,04 2,5 |
13031,89 712 |
=1×(92526,42–82919,52)–254,86×(305,58–91,15)+2,5× |
|
|||||||||
×(30644,48–32579,72)=9606,9–3677,63–4838,1=1091,2.
∆а2= |
1 43,04 2,5 |
43,04 2274,58 116,46 |
254,86 13031,89 712 |
= 1 |
2274,58 116,46 |
13031,89 712 |
– 43,04× |
43,04 2,5 |
13031,89 712 |
+ 254,86 |
43,04 2,5 |
2274,58 116,46 |
= 1×(1619500,96–1517693,91) – |
– 43,04 ×(30644,48 – 32579,73) + 254,86 × (5012,44 –5686,45) =
=101807,05+83293,16–171778,19=13322,02.
Теперь мы можем найти значения коэффициентов модели а0, а1 и а2.
а0 = –8777,9/280,49= –31,3;
а1 = 1091,2/280,49= 3,89;
а2 = 13322,02/280,49= 47,5,
следовательно, линейная аддитивная модель имеет следующий вид:
ŷ= –31,3+3,89 x1+47,5 x2.
Коэффициент регрессии модели а1 =3,89 показывает, что каждый метр площади квартиры повышает квартплату на 3,89 руб., а коэффициент а2=47,5 показывает, что каждый прописанный человек повышает квартплату на 47,5 руб.
Найдем теоретические значения ŷ и их отклонения от априорных (данные приведены в табл.3.4).
Таблица 3.4
номер |
y |
(y - )2 |
ŷ |
ε=ŷ - у |
ε2 |
1 |
244,19 |
113,85 |
290,14 |
45,9 |
2106,8 |
2 |
450,50 |
38275,01 |
423,1 |
–27,4 |
750,8 |
3 |
199,86 |
3025 |
186,52 |
–13,3 |
176,9 |
4 |
192,00 |
3951,38 |
253,88 |
61,9 |
3831,6 |
5 |
98,50 |
24448,45 |
62,88 |
–35,6 |
1267,4 |
6 |
356,59 |
10348,99 |
343,79 |
–12,8 |
163,8 |
7 |
381,54 |
16047,82 |
360,61 |
–20,9 |
436,8 |
8 |
118,48 |
18599,50 |
133,74 |
15,3 |
234,1 |
9 |
324,40 |
4835,81 |
320,47 |
–3,9 |
15,2 |
10 |
182,50 |
5235,97 |
173,5 |
–9 |
81 |
∑/n |
=254,86 |
12488,18 |
|
|
906,4 |
Совокупный коэффициент детерминации
R2 = 1 – 906,4/12488,18= 0,927.
Значение данного коэффициента близко к 1, что очень хорошо.