- •Министерство науки и образования российской федерации
- •Раздел 1. Применение математического анализа и алгебры
- •Тема 1.1. Математические методы в маркетинге 13
- •Тема 1.2. Балансовые модели 49
- •Раздел 2. Экономико-математические методы
- •Тема 2.1. Моделирование задач принятия решений 64
- •Тема 2.2. Линейное программирование 77
- •Тема 2.3. Задачи транспортного типа 105
- •Тема 2.4. Математические основы управления проектами 131
- •Тема 2.5. Математические методы логистики 163
- •Тема 2.6. Задачи массового обслуживания 177
- •Тема 2.7. Состязательные задачи 196
- •Тема 2.8. Динамическое программирование 236
- •Тема 2.9. Многокритериальная оптимизация 268
- •Введение
- •Раздел 1. Применение математического анализа и алгебры
- •Тема 1.1. Математические методы в маркетинге
- •1.1.1. Основы моделирования спроса и потребления.
- •1.1.2. Коэффициенты эластичности спроса по цене: практическое значение, оценивание, свойства.
- •1.1.3. Функции спроса, уравнение Слуцкого
- •1.1.4. Производственные функции.
- •1.1.5. Функции выпуска продукции; функции затрат ресурсов.
- •1.1.6. Экономические примеры производственной деятельности фирм.
- •Пример 5. Предположим, что необходимо оценить работу некоторой отрасли, если известен объем производства отрасли y, затраты трудовых ресурсов l и объем используемого капитала к:
- •Исходя из теоретических знаний можем предположить, что зависимость объема производства от труда и капитала описывается пф Кобба-Дугласа .
- •Задания и задачи
- •1.1.8. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 1.2. Балансовые модели
- •1.2.1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •1.2.2. Модель равновесных цен
- •1.2.3. Модель международной торговли.
- •1.2.4. Практический блок Пример
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •1.2.5. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Раздел 2. Экономико-математические методы
- •Тема 2.1. Моделирование задач принятия решений
- •2.1.1. Этапы математического моделирования.
- •2.1.2. Основные понятия математического моделирования.
- •2.1.3. Основные типы экономических моделей
- •2.1.4. Практический блок Пример 1
- •Контрольные вопросы
- •Что представляют собой ограничения экстремальной задачи?
- •Что представляет собой целевая функция экстремальной задачи.
- •Приведите примеры экономико-математических моделей.
- •2.1.5. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.2. Линейное программирование
- •2.2.1. Моделирование задачи оптимизации производства методами линейного программирования.
- •2.2.2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
- •2.2.3. Общая задача линейного программирования.
- •2.2.4. Устойчивость оптимального решения.
- •2.2.5. Обьективно-обусловленные оценки.
- •2.2.6. Двойственная задача линейного программирования.
- •2.2.7. Применение основной задачи линейного программирования к решению некоторых экономических задач
- •1. Задача использования ресурсов.
- •2. Задача оптимального использования удобрений.
- •3. Задача составления диеты.
- •4. Задача об использовании мощностей (задача о загрузке оборудования)
- •5. Задача о раскрое материалов.
- •2.2.8. Практический блок Пример
- •2. Графическое решение системы и определение оптимальных объемов производства.
- •5. Объективно обусловленные оценки ресурсов
- •6. Устойчивость решения при изменении удельной прибыли.
- •8. Объективно-обусловленные оценки ресурсов показывают:
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.2.9. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.3. Задачи транспортного типа
- •2.3.1. Экономико-математическая модель транспортной задачи.
- •2.3.2. Исходный опорный план.
- •2.3.3. Распределительный метод решения транспортной задачи.
- •2.3.5. Вырожденные случаи. Открытая транспортная задача.
- •2.3.6. Практический блок Пример
- •1. Математическая модель.
- •2. Получение начального (опорного) плана методом северо-западного угла
- •3. Итерации по улучшению плана до получения оптимального решения.
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.3.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.4. Математические основы сетевого моделирования
- •2.4.1. Построение сетевых графиков.
- •2.4.2. Временные параметры сетевого графика
- •2.4.3. Методы оптимизации сетевого графика
- •2.4.4. Организационные аспекты применения сетевых моделей
- •2.4.5. Практический блок Примеры
- •1. Построение сетевых графиков, согласно заданному порядку предшествования работ.
- •8. Критическое время это:
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.4.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.5. Математические методы логистики
- •2.5.1. Экономическое содержание задач управления запасами.
- •2.5.2. Детерминированная статическая модель без дефицита.
- •2.5.3. Детерминированная статическая модель с дефицитом.
- •2.5.4. Простая вероятностная модель.
- •2.5.5. Практический блок Примеры
- •1. Детерминированная статическая модель без дефицита.
- •2. Детерминированная статическая модель с дефицитом.
- •3. Вероятностная модель
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.5.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.6. Задачи массового обслуживания
- •2.6.1. Общие понятия теории очередей.
- •2.6.2. Одноканальные системы массового обслуживания.
- •2.6.3. Многоканальные системы массового обслуживания.
- •2.6.4. Прикладные аспекты теории массового обслуживания.
- •2.6.5. Практический блок Примеры
- •1. Одноканальная система обслуживания с неограниченной очередью
- •2. Одноканальная система обслуживания с ограниченной очередью.
- •3. Многоканальная система обслуживания с неограниченной очередью.
- •Контрольные воросы
- •Задания и задачи
- •2.6.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.7. Состязательные задачи
- •2.7.1. Основные понятия теории игр.
- •2.7.3. Игры с природой
- •2.7.4. Биматричные игры
- •2.7.5. Понятие коалиционных игр.
- •2.7.6. Практический блок Примеры
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.7.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.8. Динамическое программирование
- •2.8.1. Область применения моделей динамического программирования.
- •2.8.2. Основные идеи динамического программирования.
- •2.8.3. Распределение q средств между n предприятиями.
- •2.8.4. Динамическая задача управления запасами.
- •2.8.5. Стохастическое динамическое программирование.
- •2.8.6. Задачи износа и замены оборудования
- •2.8.7. Практический блок Пример 1
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.8.8. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •2.9. Многокритериальная оптимизация.
- •2.9.1. Понятие многокритериальности.
- •2.9.2. Оптимальность по Парето.
- •2.9.3. Метод идеальной точки.
- •Заданы две целевые функции
- •2.9.4. Принятие решений на основе метода анализа иерархий
- •2.9.5. Общая классификация эвристических методов решения многокритериальных задач
- •2.9.6. Практический блок Пример 1
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.9.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •1. Математические методы в маркетинге
- •2. Исследование производственных функций
- •Вопросы для подготовки к зачету
- •Итоговые тесты
- •Список рекомендуемой литературы
- •Предметный указатель
1.1.6. Экономические примеры производственной деятельности фирм.
Пусть z – количество продукции, выпущенной некоторой фирмой; х, у – затраты ресурсов двух видов; z=Q(x,у) – дифференцируемая функция, устанавливающая связь х, у и z. Предположим, что величины х, у, z заданы в натуральных единицах, и рx, рy, рz – соответствующие этим единицам постоянные цены. Тогда выручка (валовой доход) будет R(x, у) =рzQ(x, у), а функция прибыли запишется следующим образом:
(x,y)= R(x, у) – рx x – рy y. (1.1.15)
Пусть z* – оптимальный (с точки зрения прибыли) выпуск продукции; х*, у* – соответствующие этому оптимальному количеству затраты ресурсов. Тогда точка М(х*,у*) является точкой локального максимума функции (х, у). Согласно необходимому признаку локального экстремума, в точке М обращаются в нуль частные производные первого порядка:
x(М)= Rx(М) – рx = 0, у(М) = Rу(М) – ру = 0,
или Rx(М) = рx, Rx(М) = рx.
Вывод: в точке локального максимума прибыли предельная выручка от каждого ресурса совпадает с его ценой. Этот вывод сохраняется и в более общем случае, когда цена рz зависит от объема выручки: рz=рz(Q).
Рассмотрим теперь фирму-монополию, которая продает свою продукцию на двух независимых рынках. Пусть рi, qi – соответственно цена и количество продукции, проданной монополией на i-м рынке (i =1, 2). Из независимости рынков вытекает, что цена р1 не зависит от q2, т.е. р1 = р1(q1). Аналогично р2=p2(q2). Пусть С(q) – дифференцируемая функция издержек. Тогда функция прибыли имеет вид: = р1q1 + р2q2 –С(q1+ q2).
В точке локального максимума прибыли имеем
Отсюда получаем отношения цен:
(1.1.16)
Так как рынки по предложению независимы, то, используя свойства эластичности функции одной переменной, имеем
Пример 1.1.9. На сколько процентов цена на втором из двух независимых рынков выше, если эластичность спроса на первом рынке (–2), а на втором – (–1,5)?
Решение. Используя формулу (1.1.16), находим
Следовательно, на втором рынке цена на 50% больше.
1.1.7. Практический блок
Пример 1. Пусть в результате корреляционно-регрессионного анализа (см. дисциплину «Эконометрика») получены следующие зависимости себестоимости продукции (у) от определяющих факторов (табл. 1.1.1.):
Таблица 1.1.1.
Объем производства (х1) |
у(х1)=0,62+58,74∙(1/х1) (гипербола) |
2,64 |
Трудоемкость единицы продукции (х2) |
у(х2)=9,3+9,83∙х2 (линейная функция) |
1,38 |
Оптовая цена за 1т. энергоносителя (х3) |
у(х3)=11,75+х31,6281 (степенная функция) |
1,503 |
Доля прибыли, изымаемая государством (х4) |
у(х4)=14,87∙1,016х4 (показательная функция) |
26,3 |
Тогда получаем:
для гиперболы у=b+a/x
для линейной функции у=b+ax
для степенной функции у=bxа
для показательной функции у=bах
Из примера видно, что в наибольшей степени себестоимость зависит от оптовой цены за 1т. энергоносителя (1.63), затем от объемов производства (-0.973, т.е. с ростом объемов производства на 1% себестоимость падает почти на 1%).
Пример 2. При заданном бюджете М и ценах факторов производства rL и rK фирма работает по технологии, отображаемой функцией Q = LαKβ.
1. При каких объемах труда и капитала объем выпуска фирмы будет максимальным?
2. Как изменится капиталовооруженность труда, если:
а – бюджет фирмы возрастет в 1,5 раза;
б – цена труда возрастет в 1,5 раза?
Решение.
1. Из условия равновесия фирмы следует, что
В соответствии с бюджетным ограничением
М= rLL+ rKK=rLL+ rK
Отсюда максимальныe объемы труда и капитала будут:
2а. Из условия равновесия фирмы следует, что капиталовооруженность труда не зависит от бюджета фирмы.
2б. Капиталовооруженность труда возрастет в 1,5 раза.
Пример 3. Продукция производится по технологии, отображаемой функцией Q = L0,25 K0,5. Цены факторов производства равны: rL = 1; rK = 3.
Определить минимум средних затрат в коротком периоде при использовании следующих объемов капитала: K = 10; 15; 20. Построить функции АС для каждого из указанных объемов капитала.
Решение.
При заданной технологии L =Q4/K2. Поэтому суммарные издержки TC=1∙Q4/K2 +3K, откуда следует, что средние затраты будут равны
AC= Q3/K2 +3K/Q.
Минимум АС определяется из условия
AC'=
При K=10 АСmin =7,11; при K=15 АСmin=7,87; при K = 20 АСmin = 8,46.
Функции АС для каждого из указанных объемов капитала определяются по формулам:
АС10 = Q3/100 +3K/10, АС15 = Q3/225 +K/5, АС20 = Q3/400 +3K/20.
Графики этих функций предлагается построить самостоятельно.
Пример 4. Бюджет потребителя 120 ден. ед., а его функция полезности
U= .
Продукт А производится по технологии, отображаемой функцией QA=, а продукт В– QB=. Факторы производства фирмы покупают по неизменным ценам rL = 2; rK = 8.
Какую максимальную полезность в этих условиях может достичь потребитель?
Решение.
Воспользуемся вторым законом Госсена (1.1.9). При заданной функции полезности получим =0.5U/QA, =0.25U/QB и 0.5QB/0,25QA= PA /PВ, бюджетное ограничение QA∙PA + QВ∙PВ =120. Откуда функции спроса индивида на блага получают следующий вид: =80/PA; =40/PB.
При заданной технологии и ценах факторов производства фирма А имеет а в соответствии с условием равновесия фирмы 8KA = 2LA → KA = 0,25LA.
Из этих двух уравнений находим, что для производства продукции с минимальными затратами фирма А должна использовать LA = 2и KA = 0,5. При этом общие затраты равны TCA = 2∙2+ 8∙0,5= 8; предельные затратыMCA = 16QA = PA, откуда =PA/16, а фирма В имеет:
также KВ = 0,25LВ. Из этих двух уравнений находим, что для производства продукции с минимальными затратами фирма В должна использовать LВ = 2и KВ = 0,5. При этом общие затраты равны TCВ = 2∙2+ 8∙0,5= 8QB; предельные затраты MCB = 8 = PB.
Равновесие объемов спроса и предложения блага А достигается при
80/PA=PA/16 →PA =35,78; QA =2,236.
Благо В предлагается по неизменной цене РВ = 8, в этом случае индивид купит QВ = 40/8 = 5. Следовательно, потребитель может достичь максимальной полезности U = 2,2360,5 ∙50,25 = 2,236.