1.1.3. Функции спроса, уравнение Слуцкого

Пусть р – цена товара X, q – цена товара Y, R – доход потре­бителя. Напомним, что функцией полезности U(x, у) называется функция, задающая степень полезности (для потребителя) набора товаров, состоящего из х единиц товара Х и у единиц товара Y. Будем считать, что потребитель может покупать только такие наборы (х, у), стоимость которых не превосходит его дохода, т.е. рх + qy  R.

Определение. Пусть функция полезности U(x,y), при любых положительных р, q и R имеет на множестве

{рх + qy  R, x0, y0} (1.1.6)

единственную точку глобального максимума (х*; у*). Тогда х*; у* – функции от р, q и R: х* = x^D(p,q,R), y* = y^D(p,q,R).

Эти функции называются функциями спроса.

Смысл данного определения в том, что потребитель стремится к наибольшему удовлетворению от купленных им товаров при ограниченных средствах.

Для любого t > 0 функции спроса удовлетворяют следующим тождествам:

x^D(tp,tq,tR)=x^D(p,q,R), y^D(tp,tq,tR)=y^D(p,q,R).

Таким образом, функции спроса являются однородными функциями степени однородности 0. Следовательно, для дифференцируемых функций спроса выполняются тождества Эйлера:

px'_p+qx'_q+Rx'_R= 0, py'_p+qy'_q+Ry'_R= 0, (1.1.7)

а также следующие уравнения для эластичности:

Е_хр+ Е_хq+ Е_хR= 0, Е_ур+ Е_уq+ Е_уR= 0.

Функция Лагранжа запишется так:

L(х,у) = U(x,y) + (R – рх – qy).

Необходимые условия условного экстрему­ма (условия Куна-Таккера) для функции L(x,у) будут следующие:

U'_x(х,у) – р=0, U'_y(x,y) – q =0,

(R–px – qy)=0, (1.1.8)

0.

Если U'_x > 0 или U'_y > 0 (чаще всего выполняются оба условия), то тогда  можно исключить из системы. В итоге получаем систему уравнений

U'_x(х,у)/U'_y(x,y)=р/q,

рx + qy= R. (1.1.9)

Первое выражение в (1.1.9) называют вторым законом Госсена. В общем виде он звучит так:максимум полезности обеспечивает такая структура покупок, при которой отношение предельной полезности каждого блага к его цене одинаково для всех благ.

Пpимер 1.1.4. Найти функции спроса x^D, y^D в случае функции полезности

U(x,у)=lnх + ln у – ln(x + у).

Решение. Для заданной функции полезности частные производные первого порядка таковы:

Система уравнений (1.1.9) имеет вид

U'_x/ U'_x= y² / x² =p/q,

рx + qy= R.

Поэтому функции спроса таковы:

В заключение выведем уравнение Слуцкого для функций спроса. С этой целью преобразуем выражение q(x'_q + ух'_R). С учетом равенства

qx'_q = –рх'_р – Rх'_R , следующего из тождеств Эйлера (1.1.7), и равенства

qy = R – рх, вытекающего из бюджетного равенства рх + qy = R, имеем

q(x'_q + ух'_R) = –px'_p –рх  х'_R = – (px'_p + х) + х(1 – рх'_R) =

=(R – рх)'_p + x(R – рх)'_R = qy'_p + xqy'_R .

Разделив первое и последнее выражения на q, получим уравнение Слуцкого:

х'_q +ух'_R =у'_p +ху'_R . (1.1.10)

Уравнение Слуцкого можно умножить на R/xy. Тогда оно приобретает вид

^-1E_хq +E_xR =^-1E_yp+E_yR,

где Е_хq , Е_yp – перекрестные коэффициенты эластичности спроса, E_xR, E_уR – коэффициенты эластичности спроса по доходу, =рх/R, =qy/R – доли расходов на товары Х и Y в бюджете R..