- •Министерство науки и образования российской федерации
- •Раздел 1. Применение математического анализа и алгебры
- •Тема 1.1. Математические методы в маркетинге 13
- •Тема 1.2. Балансовые модели 49
- •Раздел 2. Экономико-математические методы
- •Тема 2.1. Моделирование задач принятия решений 64
- •Тема 2.2. Линейное программирование 77
- •Тема 2.3. Задачи транспортного типа 105
- •Тема 2.4. Математические основы управления проектами 131
- •Тема 2.5. Математические методы логистики 163
- •Тема 2.6. Задачи массового обслуживания 177
- •Тема 2.7. Состязательные задачи 196
- •Тема 2.8. Динамическое программирование 236
- •Тема 2.9. Многокритериальная оптимизация 268
- •Введение
- •Раздел 1. Применение математического анализа и алгебры
- •Тема 1.1. Математические методы в маркетинге
- •1.1.1. Основы моделирования спроса и потребления.
- •1.1.2. Коэффициенты эластичности спроса по цене: практическое значение, оценивание, свойства.
- •1.1.3. Функции спроса, уравнение Слуцкого
- •1.1.4. Производственные функции.
- •1.1.5. Функции выпуска продукции; функции затрат ресурсов.
- •1.1.6. Экономические примеры производственной деятельности фирм.
- •Пример 5. Предположим, что необходимо оценить работу некоторой отрасли, если известен объем производства отрасли y, затраты трудовых ресурсов l и объем используемого капитала к:
- •Исходя из теоретических знаний можем предположить, что зависимость объема производства от труда и капитала описывается пф Кобба-Дугласа .
- •Задания и задачи
- •1.1.8. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 1.2. Балансовые модели
- •1.2.1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •1.2.2. Модель равновесных цен
- •1.2.3. Модель международной торговли.
- •1.2.4. Практический блок Пример
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •1.2.5. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Раздел 2. Экономико-математические методы
- •Тема 2.1. Моделирование задач принятия решений
- •2.1.1. Этапы математического моделирования.
- •2.1.2. Основные понятия математического моделирования.
- •2.1.3. Основные типы экономических моделей
- •2.1.4. Практический блок Пример 1
- •Контрольные вопросы
- •Что представляют собой ограничения экстремальной задачи?
- •Что представляет собой целевая функция экстремальной задачи.
- •Приведите примеры экономико-математических моделей.
- •2.1.5. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.2. Линейное программирование
- •2.2.1. Моделирование задачи оптимизации производства методами линейного программирования.
- •2.2.2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
- •2.2.3. Общая задача линейного программирования.
- •2.2.4. Устойчивость оптимального решения.
- •2.2.5. Обьективно-обусловленные оценки.
- •2.2.6. Двойственная задача линейного программирования.
- •2.2.7. Применение основной задачи линейного программирования к решению некоторых экономических задач
- •1. Задача использования ресурсов.
- •2. Задача оптимального использования удобрений.
- •3. Задача составления диеты.
- •4. Задача об использовании мощностей (задача о загрузке оборудования)
- •5. Задача о раскрое материалов.
- •2.2.8. Практический блок Пример
- •2. Графическое решение системы и определение оптимальных объемов производства.
- •5. Объективно обусловленные оценки ресурсов
- •6. Устойчивость решения при изменении удельной прибыли.
- •8. Объективно-обусловленные оценки ресурсов показывают:
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.2.9. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.3. Задачи транспортного типа
- •2.3.1. Экономико-математическая модель транспортной задачи.
- •2.3.2. Исходный опорный план.
- •2.3.3. Распределительный метод решения транспортной задачи.
- •2.3.5. Вырожденные случаи. Открытая транспортная задача.
- •2.3.6. Практический блок Пример
- •1. Математическая модель.
- •2. Получение начального (опорного) плана методом северо-западного угла
- •3. Итерации по улучшению плана до получения оптимального решения.
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.3.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.4. Математические основы сетевого моделирования
- •2.4.1. Построение сетевых графиков.
- •2.4.2. Временные параметры сетевого графика
- •2.4.3. Методы оптимизации сетевого графика
- •2.4.4. Организационные аспекты применения сетевых моделей
- •2.4.5. Практический блок Примеры
- •1. Построение сетевых графиков, согласно заданному порядку предшествования работ.
- •8. Критическое время это:
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.4.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.5. Математические методы логистики
- •2.5.1. Экономическое содержание задач управления запасами.
- •2.5.2. Детерминированная статическая модель без дефицита.
- •2.5.3. Детерминированная статическая модель с дефицитом.
- •2.5.4. Простая вероятностная модель.
- •2.5.5. Практический блок Примеры
- •1. Детерминированная статическая модель без дефицита.
- •2. Детерминированная статическая модель с дефицитом.
- •3. Вероятностная модель
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.5.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.6. Задачи массового обслуживания
- •2.6.1. Общие понятия теории очередей.
- •2.6.2. Одноканальные системы массового обслуживания.
- •2.6.3. Многоканальные системы массового обслуживания.
- •2.6.4. Прикладные аспекты теории массового обслуживания.
- •2.6.5. Практический блок Примеры
- •1. Одноканальная система обслуживания с неограниченной очередью
- •2. Одноканальная система обслуживания с ограниченной очередью.
- •3. Многоканальная система обслуживания с неограниченной очередью.
- •Контрольные воросы
- •Задания и задачи
- •2.6.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.7. Состязательные задачи
- •2.7.1. Основные понятия теории игр.
- •2.7.3. Игры с природой
- •2.7.4. Биматричные игры
- •2.7.5. Понятие коалиционных игр.
- •2.7.6. Практический блок Примеры
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.7.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.8. Динамическое программирование
- •2.8.1. Область применения моделей динамического программирования.
- •2.8.2. Основные идеи динамического программирования.
- •2.8.3. Распределение q средств между n предприятиями.
- •2.8.4. Динамическая задача управления запасами.
- •2.8.5. Стохастическое динамическое программирование.
- •2.8.6. Задачи износа и замены оборудования
- •2.8.7. Практический блок Пример 1
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.8.8. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •2.9. Многокритериальная оптимизация.
- •2.9.1. Понятие многокритериальности.
- •2.9.2. Оптимальность по Парето.
- •2.9.3. Метод идеальной точки.
- •Заданы две целевые функции
- •2.9.4. Принятие решений на основе метода анализа иерархий
- •2.9.5. Общая классификация эвристических методов решения многокритериальных задач
- •2.9.6. Практический блок Пример 1
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.9.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •1. Математические методы в маркетинге
- •2. Исследование производственных функций
- •Вопросы для подготовки к зачету
- •Итоговые тесты
- •Список рекомендуемой литературы
- •Предметный указатель
2.1.2. Основные понятия математического моделирования.
Существует известное изречение, что правильно поставить задачу – значит наполовину решить ее. Следует признать, что правильная постановка задачи является сама по себе сложной задачей. Однако методология процесса постановки задач (как первого этапа операционного исследования) выходит за рамки проблематики данного раздела, посвященного математическим аспектам решения задач организационного управления. Для этого очень важно суть задачи словесно описать таким образом, чтобы были возможны дальнейшая формализация и разработка математической модели, то есть описание задачи на математическом языке.
Формальная структура постановки задач базируется на определенной совокупности элементов. Соотнесение всех условий задачи этим элементам позволяет «обнажить» суть задачи и, в конечном итоге, получить ее четкую, однозначно понимаемую формулировку.
Принято выделять следующие элементы общей структуры задач принятия решений:
а) цели, ради достижения которых принимается решение;
б) множество управляемых (разрешающих) переменных, значения которых могут определяться лицом, принимающим решение (ЛПР);
в) множество внешних (экзогенных) переменных, значения которых не контролируются ЛПР и имеют вероятностный или неопределенный характер;
г) множество параметров, которые также не контролируются, но считаются в условиях данной задачи вполне определенными;
д) ограничения – предельные значения тех параметров и неконтролируемых переменных, которые не могут быть превзойдены или не достигнуты при реализации решения;
е) решение (или стратегия) – некоторая допустимая совокупность значений управляемых переменных;
ж) критерий эффективности (показатель качества) решения, на основе которого производится оценка и сравнение вариантов решений, и выбор лучшего.
Предполагается, что приведенные выше элементы должны быть измеримыми, то есть иметь характер «количества» или, по меньшей мере, «величины».
Тогда дальнейший процесс разработки математической модели задачи будет сводиться к изучению взаимосвязей между целями, переменными и параметрами и отражению этих взаимосвязей в виде математических выражений (уравнений, неравенств и т.п.).
Среди этих выражений можно выделить две группы:
К первой отнесем условия достижения целей, т.е. выражения, отображающие зависимости между управляемыми переменными и поставленными целями.
Ко второй группе относятся выражения, отображающие условия-ограничения, описывающие связи между управляемыми переменными и теми из параметров и «внешних» переменных, которые или не могут быть превзойдены, или не достигнуты при реализации решения. (В отечественной литературе математические выражения, как правило, на упомянутые группы не подразделяются и обозначаются единым термином – «ограничения»).
Совокупность значений управляемых переменных, удовлетворяющих системе указанных выше выражений (условиям достижения целей и ограничениям), принято называть допустимым решением (стратегией, планом).
Множество допустимых решений называется областью допустимых решений.
Поскольку проблема принятия решения заключается не только в нахождении допустимого решения, но и в выборе наилучшего из них по принятому критерию, – возникает необходимость определения значения критерия в зависимости от значений контролируемых переменных.
Функция, определяющая эту зависимость, называется целевой функцией.
Таким образом, совокупность (система) математических выражений, отражающих условия достижения целей и условия выполнения ограничений, вместе с целевой функцией и представляют собой математическую модель задачи.
Допустимое решение, при котором значение целевой функции достигает экстремума (минимального или максимального значения в зависимости от условий задачи), называется оптимальным решением.
Приведенные понятия (элементы структуры задач принятия решений) являются наиболее общими. Далее, при рассмотрении отдельных типов задач, понятийный аппарат будет расширен. Так, например, при изучении задач массового обслуживания будут введены такие понятия, как дисциплина очереди, канал обслуживания, интенсивность обслуживания и др.; в задачах упорядочения и координации (управление проектами) – такие понятия, как критические работы, резервы времени и т.п.; в состязательных задачах (теория игр) – понятия ход, платежная матрица, чистые и смешанные стратегии и т.д.
При постановке задачи и ее моделировании необходимо прежде всего оценить, какой из формулировок принципа экономичности соответствует данная ситуация принятия решения.
Принцип экономичности может формулироваться двояко:
заданных целей (результатов) достигнуть при минимальных затратах;
при заданных пределах затрат достигнуть цели в максимальной степени (достичь максимума результата).
Принцип экономичности в первой формулировке иногда называют «принципом экономии средств», во второй – «принципом максимального эффекта». Если задача формулируется по «принципу максимального эффекта», то целевая функция являет собой условие достижения цели (цель – максимум результата), остальные математические выражения, входящие в модель, – суть условия-ограничения.
Часто принцип экономичности формулируют так:
«достигнуть максимальной степени реализации цели (максимального результата) при минимальных затратах». Такое определение неверно, внутренне противоречиво с содержательной точки зрения и ведет к постановке математически неразрешимой задачи.
Кроме того, у руководителей возникает искушение оптимизировать решение задачи по нескольким критериям. Например, следующим образом: «найти такое решение, которое обеспечило бы максимум прибыли при минимуме годовых издержек на содержание производства и минимуме капитальных вложений».
При всей внешней привлекательности и кажущейся естественности – такая постановка ведет к неразрешимой задаче. Желательно, как правило, стремиться так формулировать задачи, чтобы при множественности целей и ограничений, критерий оптимизации решения (а, стало быть, и целевая функция) был один. Это еще раз подтверждает важность правильного обоснования цели и критерия эффективности при постановке задачи, так как при этом определяется и выбор соответствующего варианта формулировки принципа экономичности.
Рассмотренные в данном разделе модели и методы оптимизации ориентированы преимущественно на решение однокритериальных задач.
Следует отметить, что в ряде сложных организационных задач возникает проблема многокритериальности. Некоторые подходы к постановке и решению такого рода задач будут рассмотрены в Теме 2.9.