2.2.9. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов

1. Задача линейного программирования и ее экономическая интерпретация.

2. Понятие устойчивости решения в задаче линейного программирования.

3. Двойственная задача линейного программирования и объективно-обусловленные оценки.

4. Область применения задачи линейного программирования.

Литература для самостоятельной работы

1. Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. –М.: Высшая школа, 2005. – 208 с.

2. Афанасьев М.Ю., Суворов Б.И. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения: Учеб.пособие. – М.: ИНФРА-М, 2003. – 444с.

3. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учебное пособие. –2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 368с.

4. Моделирование экономических процессов: Учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (060000) / Под ред. М.В. Грачёвой, Л.Н. Фадеевой, Ю.И. Черемных. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. –351 с.

5. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. –2‑е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. –287 с.

Тема 2.3. Задачи транспортного типа

2.3.1. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ 105

2.3.2. ИСХОДНЫЙ ОПОРНЫЙ ПЛАН 109

2.3.3. РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ 110

2.3.4. МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ 116

2.3.5. ВЫРОЖДЕННЫЕ СЛУЧАИ. ОТКРЫТАЯ ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА 118

2.3.6. ПРАКТИЧЕСКИЙ БЛОК 120

2.3.7. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ 130

2.3.1. Экономико-математическая модель транспортной задачи.

Важным частным случаем задачи линейного программирования является так называемая транспортная задача.

Классическая транспортная задача – задача о наиболее экономном плане перевозок однородного продукта (или взаимозаменяемых продуктов) из пунктов производства в пункты потребления.

Экономико-математическая модель транспортной задачи в общем виде может быть сформулирована следующим образом:

Имеется m пунктов производства однородного продукта и n пунктов потребления. Для каждого пункта производства i задан объем производства А_i, для каждого пункта потребления j известна потребность (спрос) В_j (в тех же единицах измерения). Известны издержки с_ij, связанные с перевозкой единицы продукта из пункта i в пункт j.

Требуется составить план перевозок, обеспечивающий наиболее экономным путем (т.е. при наименьших транспортных издержках) удовлетворение всех пунктов потребления за счет реализации всего продукта, произведенного пунктами производства. При этом предполагается, что суммарный спрос (В=_jВ_j) равен суммарному объему производства (А=_iА_i). Такие задачи называются закрытыми транспортными задачами.

Что такое план перевозок? План перевозок определяет:

Сколько единиц продукта перевозится от каждого пункта производства к каждому пункту потребления, т.е. план представляется набором чисел х_ij (всего таких чисел mn), где х_ij показывает, сколько единиц продукта должно быть перевезено от i-го производителя j-му потребителю. Отметим также, что в термин «транспортные издержки» (с_ij) не всегда вкладывается строгий экономический смысл. Это могут быть расстояния, тарифы, время, расход топлива и т.п. В каждой конкретной задаче оговаривается конкретный смысл коэффициентов с_ij.

Система ограничений примет вид

= А_i (i=1,2,…,m), (2.3.1)

= В_j (j=1,2,…n). (2.3.2)

Система (2.3.1) включает в себя уравнения баланса по поставщикам, а система (2.3.2) – по потребителям. Суммарные транспортные издержки выражаются в виде следующей линейной функции, которую необходимо минимизировать

F =  min (2.3.3)

Математическая модель транспортной задачи в общей постановке будет следующей: на множестве неотрицательных решений системы ограничений (2.3.1), (2.3.2) (мы будем называть такие решения допустимые) найти такое решение Х=(х₁₁, х₁₂,…,х_ij ,…,х_mn), при котором значение целевой функции (2.3.3) минимально. Условия транспортной задачи весьма удобно представлять в табличной форме.

Таблица 2.3.1

Пункт произ- водства i	Объем произ- водства Аi	Пункты потребления j и их спрос Вj
		1	2	…	n
		В1	В2	…	Вn
1	А1	с11 х11	с12 х12	…	с1n х1n
2	А2	с21 х21	с22 х22	…	с2n х2n
…	…	…	…	…	…
m	Аm	сm1 хm1	сm2 хm2	…	сmn хmn

В левом верхнем углу произвольной клетки (i,j) (i – номер строки, j–номер столбца) стоит показатель транспортных затрат с_ij, в правом нижнем – значения переменных х_ij(план перевозок). Любое решение Х=(х₁₁, х₁₂,…, х_ij ,…, х_mn) системы ограничений (2.3.1) – (2.3.2) назовем распределением поставок.

Простой модификацией данной модели является модель процесса назначения. Речь идёт о назначении m различных специалистов на n мест работы при условии, что каждую работу должен выполнять лишь один специалист, и каждый специалист должен выполнять лишь одну работу. Приоритетная возможность i-го специалиста на получение j-й работы оценивается коэффициентами c_ij матрицы С. При моделировании таких процессов x_ij вводится как булевская переменная:

x_ij=

Правые части всех ограничений в этом случае равны 1.

А_i =1 (i=1,2,…,m), В_j =1 (j=1,2,…n).

Показательно, что, в отличие от решения транспортной задачи, попытка применения на производстве оптимального решения задачи о назначении привела к неожиданным социальным последствиям. Так бригады, где регулярно применялась подобная практика, месяца через три обычно разваливались, рабочие начинали оттуда бежать. Дело в том, что перечень работ изо дня в день практически оставался неизменным, следовательно, и оптимальное решение также не менялось. Таким образом, происходило закрепление определеeнных видов работ за конкретными рабочими, что приводило к существенной дифференциации в заработках и затрудняло желающим повысить свою квалификацию. Поэтому более "опытные" бригадиры, отслеживая потребности членов бригады, самостоятельно подбирали некоторым рабочим соответствующие работы, а для остальных рабочих и оставшихся работ решалась уже задача о назначении. Получавшееся решение естественно не было оптимальным, но зато в бригаде царил мир и порядок. Оптимальное же решение использовалось исключительно во время авралов и коммунистических субботников, т.е. в тех случаях, когда требовалось показать наивысшую производительность труда.

Можно указать достаточно много практических задач, решение которых может быть сведено к решению задачи о назначениях (распределние самолетов по авиалиниям, распределение министерских портфелей и т.п.).

Многими математиками, начиная с Халмоша, предлагалось использовать задачу о назначениях для составления супружеских пар (MarriageProblem), трактуя коэффициенты c_ij как "меру счастья" будущего союза. Правда, постановка задачи выглядела несколько искусственной, так как каждый раз приходилось фантазировать, чтобы оправдать необходимость массовых бракосочетаний. Однако реальная жизнь оказалась богаче подобных фантазий и основатель "Церкви унификации" кореец Сон Мьюонг Мун (он же Мун Сон Мен или просто Мун) уже около пятидесяти лет каждый год решает подобную задачу для тысяч своих последователей.

Рассмотрим простейший числовой пример транспортной задачи (таб. 2.3.2).

Здесь параметры задачи принимают следующие значения:

с₁₁ =2, с₁₂ =1, с₁₃ =5, с₂₁ =3, с₂₂ =4, с₂₃ =3, с₃₁ =4, с₃₂ =6, с₃₃=6;

А₁ =50, А₂ =60, А₃ =70, В₁ =40, В₂ =85, В₃=55.

Таблица 2.3.2

	40	85	55
50	2 х11	1 х12	5 х13
60	3 х21	4 х22	3 х23
70	4 х31	6 х32	6 х33

Составим систему уравнений для этого примера.

Чтобы объем производства каждого поставщика был реализован, необходимо выполнение баланса по каждой строке таблицы, т.е.

х₁₁ + х₁₂ + х₁₃ = 50

х₂₁ + х₂₂ + х₂₃ = 60 (2.3.4)

х₃₁ + х₃₂ + х₃₃ = 70

Аналогично, чтобы спрос каждого из потребителей был удовлетворен, подобные уравнения баланса выписываем для каждого столбца таблицы:

х₁₁ + х₂₁ + х₃₁ = 40

х₁₂ + х₂₂ + х₃₂ = 85 (2.3.5)

х₁₃ + х₂₃ + х₃₃ = 55

Суммарные транспортные затраты F(целевая функция) выражаются через издержки и поставки следующим образом:

F = 2х₁₁ + х₁₂ +5х₁₃ +3х₂₁ +4х₂₂ +3х₂₃ +4х₃₁ +6х₃₂ +6х_33.

В этом примере шесть уравнений и девять переменных, система (2.3.4)–(2.3.5) имеет бесчисленное множество решений (допустимых поставок). Вот одно из них:

Таблица 2.3.3

	40	85	55
50	2 40	1 10	5 0
60	3 0	4 60	3 0
70	4 0	6 15	6 55

Суммарные транспортные затраты для данного распределения:

F = 240 +110 +50 +30 +460 +30 +40 +615 +655=750.

Всего в этом примере около 3600 только целочисленных решений, а если допустить дробность – то бесконечное множество. Все допустимые решения удовлетворяют системе ограничений, но отличаются друг от друга величиной суммарных транспортных издержек.

Вот еще одна допустимая поставка:

Таблица 2.3.4

	40	85	55
50	2	1 50	5
60	3 40	4	3 20
70	4	6 35	6 35

Суммарные транспортные затраты для данного распределения:

F = 150 +340 +320 +635 +635=650.

Наша задача научиться находить оптимальное решение, т.е. такое, для которого целевая функция имеет наименьшее значение.