2.2.4. Устойчивость оптимального решения.

Рассмотрим теперь понятие устойчивости оптимального решения.

В первом примере (см. рис 2.2.1.) оптимальное решение находится в точке С, которая является пересечением двух прямых, заданных уравнениями

2 х₁ + 1 х₂ = 12, (I)

2 х₁ + 3 х₂ = 18. (II)

Целевая функция F=5 х₁ + 6 х₂ (здесь c₁=5, c₂=6) максимальное значение приняла в точке С. После составления плана и его реализации в конкретной производственной программе c₁ и c₂ (удельная прибыль или затраты) могут изменяться. Зададимся следующим вопросом:

при каком соотношении коэффициентов целевой функции c₁ и c₂ оптимальное решение сохранится (устоит) в точке С?

Из курса высшей математики (раздел аналитической геометрии) нам известно, что коэффициенты, стоящие перед переменными х₁ и х₂ в уравнении прямой суть координаты вектора, перпендикулярного данной прямой (т.н. нормаль). На рис.2.2.1 нормаль к целевой функции обозначена n, нормаль к ограничению (I) n₁ и нормаль к ограничению (II) n₂.

Чтобы оптимальное решение сохранялось в точке С при изменяющихся коэффициентах c₁ и c₂ необходимо, чтобы вектор нормали n лежал между векторами n₁ и n₂. Для этого необходимо, чтобы тангенс угла между вектором n и осью х₁ (обозначим через tg(n, х₁)) был больше tg(n₁, х₁), но меньше tg(n₂, х₁). Таким образом, для обеспечения устойчивости оптимального решения в точке С необходимо выполнение условия:

tg(n₁, х₁)  tg(n, х₁)  tg(n₂, х₁).

Так как tg(n, х₁) = с₂/ с₁,

tg(n₁, х₁) = а12 /а11 =1/2,

tg(n₂, х₁) = а22 /а21 =3/2,

окончательно получаем для примера 2.2.1 соотношение устойчивости оптимального решения в виде:

1/2  с₂/ с₁  3/2.

В случае n переменных получаем много соотношений аналогичного вида между всеми с_k и с_j (kj) показывающих, при каких условиях изменение коэффициентов целевой функции не повлечет изменение оптимального решения.

Подставляя вместо c₁ и c₂ их значения получим проверочные соотношения

1/2  6 /5  3/2.

Для второй задачи соотношение устойчивости оптимального решения будет иметь вид:

2/10  с₂/ с₁  1/0.5,

а проверочное соотношение

2/10  2.5 /1.5  1/0.5.

2.2.5. Обьективно-обусловленные оценки.

Рассмотрим опять пример 2.2.1.

Оптимальное решение было найдено в точке С с координатами х₁=4.5; х₂=3. Существенными оказались ограничения (I) и (II), они в точке оптимального плана обращаются в равенство:

24.5 + 13 = 12,

24.5 + 33 = 18,

т.е. эти ресурсы используются полностью, тогда как третий ресурс (несущественное ограничение (III)) оказывается в избытке:

14.5 + 33 < 15

(избыток составляет 15 – (14.5 + 33) = 1.5).

Попробуем теперь ответить на следующий вопрос:

На сколько изменится значение целевой функции (в данном примере увеличится прибыль), если ограничение увеличить на одну единицу?

Или, другими словами, какова ценность для нашей задачи каждого ресурса? Для третьего ресурса (который и так в избытке) ответ очевиден – значение целевой функции не изменится (F = 40.5). Посчитаем эти изменения целевой функции для ограничений (I) и (II), для чего решим две системы (используя также метод Крамера).

Увеличим сначала на одну единицу количество первого ресурса:

2 х₁ + 1 х₂ = 12+1, (I)

2 х₁ + 3 х₂ = 18. (II)

 не изменилось ( =23 – 12 = 4), тогда как

1 = (12 +1) 3 – 118 = 18 + 3 = 21,

2 = 2 18 – (12 + 1) 2 = 12 –2 =10,

откуда координаты новой точки будут х₁ = 21/4 =5.25, х₂ =10/4 = 2.5.

Вычислим значение целевой функции в этой новой точке:

F₁ = 5  5.25 + 6 2.5 = 41.25,

откуда y₁ = F₁ - F = 41.25 – 40.5 = 0.75.

Аналогично, увеличивая на одну единицу количество второго ресурса, решаем систему:

2 х₁ + 1 х₂ = 12,

2 х₁ + 3 х₂ = 18 + 1.

1 = 123 – 1 (18 + 1) = 18 – 1 = 17,

2 = 2  (18 + 1) – 12 2 = 12 + 2 =14,

откуда х₁ = 17 / 4 = 4.25, х₂ = 14 / 4 = 3.5

Вычислим значение целевой функции в этой новой точке:

F₂ = 5  4.25 + 6 3.5 = 42.25,

откуда y₂ = F₂ – F = 42.25 – 40.5 = 1.75.

Таким образом, мы нашли объективно обусловленные оценки всех ресурсов (ограничений): у существенных ограничений y₁=0.75, y₂= 1.75, у третьего несущественного ограничения y₃= 0.