2.6.5. Практический блок Примеры

1. Одноканальная система обслуживания с неограниченной очередью

В компанию приходят клиенты за консультацией о продаваемой продукции с интенсивностью 8 посещений в час. Работник компании тратит на обслуживание каждого клиента в среднем 6 минут. Необходимо определить вероятность нахождения в приемной комнате 1, 2 и 3-х клиентов, среднее количество клиентов за час, среднее количество ожидающих консультации клиентов, среднее время ожидания.

Решение: Исходные данные для нашей задачи следующие:

λ = 8; μ = 10 (60 мин./6 мин.); η = λ/μ = 0,8.

Вероятность нахождения в системе обслуживания n клиентов определяется по формуле (2.6.1).

Среднее количество клиентов за час определяется по формуле (2.6.2).

Среднее количество ожидающих клиентов определяется по формуле (2.6.4).

Среднее время ожидания своей очереди определяется по формуле (2.6.3).

Подставляя исходные данные в формулы, получим:

вероятность отсутствия клиентов Р₀ = 0,2;

вероятность нахождения в приемной 1-го клиента Р₁ = 0,16;

вероятность нахождения в приемной 2-х клиентов Р₂ = 0,13;

вероятность нахождения в приемной 3-х клиентов Р₃ = 0,10;

среднее количество клиентов, находящихся в компании за 1 час – 4 человека.

Среднее количество ожидающих обслуживания клиентов – 3,2 человека в час.

Среднее время ожидания в очереди – 0,4 часа (24 минуты).

2. Одноканальная система обслуживания с ограниченной очередью.

В условия предыдущей задачи вводим дополнительные сведения, а именно: количество мест для ожидания в приемной комнате равно 4.

Решение: Исходные данные для такой задачи следующие:

λ = 8; μ = 10; η = 0,8; К = 4;N=S+K= 1 + 4 = 5.

Подставляя исходные данные в формулы (2.6.5) – (2.6.8) получим:

вероятность отсутствия клиентов Р₀ = 0,27;

вероятность нахождения в приемной 1-го клиента Р₁ = 0,22;

вероятность нахождения в приемной 2-х клиентов Р₂ = 0,17;

вероятность нахождения в приемной 3-х клиентов Р₃= 0,14;

среднее количество клиентов, находящихся в компании за 1 час ≈ 2 человека.

Среднее количество ожидающих обслуживания клиентов – 1,13 человека в час

Среднее время ожидания в очереди – 0,15 часа (9 минут).

3. Многоканальная система обслуживания с неограниченной очередью.

В компанию приходят клиенты за консультацией о продаваемой продукции с интенсивностью 8 посещений в час. Два работника компании тратит на обслуживание каждого клиента в среднем 6 минут. Необходимо определить вероятность нахождения в приемной комнате 1, 2 и 3-х клиентов, среднее количество клиентов за час, среднее количество ожидающих консультации клиентов, среднее время ожидания.

Решение: Исходные данные для нашей задачи следующие:

λ = 8; μ =10; η = 0,8;S= 2.

Подставляя исходные данные в формулы (2.6.9) – (2.6.14) получим:

вероятность отсутствия клиентов Р₀ = 0,429;

вероятность нахождения в приемной 1-го клиента Р₁ = 0,343;

вероятность нахождения в приемной 2-х клиентов Р₂ = 0,137;

вероятность нахождения в приемной 3-х клиентов Р₃ = 0,055;

среднее количество клиентов, находящихся в компании за 1 час – 0,95 человека.

Среднее количество ожидающих обслуживания клиентов – 0,152 человека.

Среднее время ожидания в очереди – 0,019 часа (1,14 минуты).

4. Многоканальная система обслуживания с ограниченной очередью.

В компанию приходят клиенты за консультацией о продаваемой продукции с интенсивностью 8 посещений в час. Два работника компании тратит на обслуживание каждого клиента в среднем 6 минут. Количество мест в приемной для клиентов равно 3. Необходимо определить вероятность нахождения в приемной комнате 1, 2 и 3-х клиентов, среднее количество клиентов за час, среднее количество ожидающих консультации клиентов, среднее время ожидания.

Решение: Исходные данные для нашей задачи следующие:

λ = 8; μ = 10; η = 0,8;S= 2; К = 3;N= 5.

Подставляя исходные данные в формулы (2.17) – (2.23) получим:

вероятность отсутствия клиентов Р₀ = 0,431;

вероятность нахождения в приемной 1-го клиента Р₁ = 0,345;

вероятность нахождения в приемной 2-х клиентов Р₂ = 0,138;

вероятность нахождения в приемной 3-х клиентов Р₃= 0,055;

Среднее количество ожидающих обслуживания клиентов – 0,126 человека.

Среднее время ожидания в очереди – 0,0159 часа (0,95 минуты).