2.9.3. Метод идеальной точки.

Можно рекомендовать еще метод идеальной точки, который состоит в отыскании среди паретовских решений ближайшего к точке утопии, задаваемой ЛПР. Формулируется цель в виде желаемых значений показателей, и часто выбирается сочетание наилучших значений всех критериев F₁*, F₂*,… (обычно эта точка не реализуется при заданных ограничениях, поэтому ее и называют точкой утопии). Ближайшим считается решение х, обращающее в минимум сумму квадратов отклонений значений всех критериев F_i(х) от их наилучших значений F₁*, F₂*,…

Пример 2.9.1. Пусть множество допустимых планов описывается системой неравенств:

Заданы две целевые функции

F₁=х + у +2,

F₂=х – у + 6,

которые необходимо максимизировать. На рис. 2.9.2 представлено множество возможных решений в пространстве критериев.

F2
					В		М
							С
	А					D
			Е
											F1

Рис.2.9.2.

Отрезок ВС является множеством точек, оптимальных по Парето.

Действительно, в точке В F₂ принимает максимальное значение F₂=10 (F₁=6), а в точке С F₁ принимает максимальное значение F₁=7 (F₂=9).

Точка утопии М имеет координаты (7;10).

Идеальная точка – точка на отрезке ВС, ближайшая к точке утопии М. Эта точка имеет координаты F₁=6.5, F₂=9.5, следовательно

х + у +2=6.5,

х – у + 6=9.5,

откуда х=4, у=0.5.

2.9.4. Принятие решений на основе метода анализа иерархий

Метод анализа иерархий(МАИ), предложенный Т. Саати в конце семидесятых годов прошлого века, так же относится к многокритериальным методам принятия решений. Его преимущество заключается в простоте используемой экспертизы, которая предполагает декомпозицию существующей проблемы на все более простые составляющие части. В результате такой процедуры определяется относительная значимость исследуемых альтернатив для всех критериев, находящихся в иерархии, выражаемая численно в виде векторов приоритетов. Следует отметить, что получаемые таким образом оценки являются жесткими, поскольку измеряются в шкале отношений.

Существует ряд модификаций МАИ, которые определяются характером связей между критериями и альтернативами, расположенными на нижнем уровне иерархии, а также методами сравнения альтернатив.

E¹₁

E¹₁

Построение иерархии начинается с исследования проблемы. Далее строится собственно иерархия, включающая цель, расположенную в вершине, промежуточные уровни (например, критерии), и альтернативы, расположенные на нижнем уровне. На рис.2.9.3 приведены три типовых варианта отображения одной иерархии.

E¹₁

E²₁

E²₂

E²₁

E²₁

E²₁

E²₂

E³₁

E³₁

E³₁

E³₂

E³₃

E³₁

E³₂

E³₃

E³₂

E³₂

E³₃

E³₃

А – декомпозиция Б – синтез В – упорядочение Рис.2.9.3. Виды иерархии.

Для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала отношений (табл.2.9.2), позволяющая численно оценить степень предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим.

Таблица 2.9.2

Степень значимости vij	Определение	Объяснение
1	Одинаковая значимость	Два действия вносят одинаковый вклад в достижение цели
3	Некоторое преобладание значимости одного действия над другими (слабая значимость)	Имеются некоторые соображения в пользу предпочтения одного из действий, но недостаточно убедительные
5	Существенная или сильная значимость	Имеются надежные суждения или логические выводы для предпочтительности одного из действий
7	Очень сильная значимость	Существуют убедительные свидетельства в пользу одного действия перед другим
9	Абсолютная значимость	Степень предпочтительности устанавливается абсолютно
2,4,6,8	Промежуточные значения между двумя соседними суждениями	Для ситуации, когда необходимо компромиссное суждение
Обратные величины 1/vij	Действию j при сравнении с i приписывается обратное значение	При сопоставлении двух действий в обратном порядке значение шкалы vij приобретает обратную величину 1/vij

При сравнении двух действий следует задавать следующие вопросы:

• Какой критерий важнее или имеет большее воздействие?

• Какая альтернатива является предпочтительнее?

После построения иерархии устанавливается метод сравнения ее элементов. Наиболее распространенным является метод попарного сравнения. При его использовании сравнения проводятся в терминах доминирования одного элемента над другим и оцениваются с помощью девятибальной шкалы (табл.2.9.2) В результате строится множество матриц парных сравнений. Каждая матрица Е имеет следующий вид:

где a_ij = v_ij и a_ji = 1/a_ij, n – порядок матрицы парных сравнений.

Исходя из этих условий вполне очевидно, что ЛПР выносит n(n-1)/2 суждений.

Для каждой матрицы парных сравнений рассчитываются собственные вектора (W^E)- вектора приоритетов по следующему алгоритму:

• Вначале находим оценки компонент собственного вектора по строкам

(2.9.3)

• Полученный результат нормализуем

(2.9.4)

Иногда используют более простой алгоритм, дающий приближенное значение собственного вектора:

нормализуется матрица Е, путем деления всех ее элементов на сумму элементов каждого соответствующего столбца. Компоненты вектора W^E вычисляются как средние арифметические элементов строки нормализованной матрицы.

Соответственно, для каждой матрицы сравнений следует оценить:

• максимальное собственное значение _max по формуле

где e^T – единичный транспонированный вектор;

W^E – собственный вектор матрицы парных сравнений.

(матрица Е справа умножается на вектор W^E и затем все компоненты полученного вектора складываются).

Аналогичный результат получим, если просуммируем элементы всех столбцов матрицы Е и затем умножим скалярно полученный вектор на вектор приоритетов W^E.

• однородность суждений путем расчета

• индекса согласованности ИС = (_max – n)/(n–1);

Индекс согласованности – количественная оценка противоречивости результатов сравнений. Противоречия в сравнениях возникают из-за субъективных ошибок экспертов. Чем меньше противоречий в сравнениях, тем меньше значение индекса согласованности.

• отношения согласованности ОС = ИС/СС, где СС – среднее значение (математическое ожидание) индекса согласованности случайным образом составленной матрицы парных сравнений. Приближенно СС можно вычислять по формуле

СС=.

Величина ОС должна быть порядка 10% или менее, чтобы быть приемлемой (в редких случаях до 15%). В противном случае следует перепроверить предоставленные суждения.

Если существует множество альтернатив А (например угроз), которые необходимо ранжировать по своей важности руководствуясь множеством критериев К (например, вероятность реализации угрозы, ценность потерянной информации, время восстановления ресурса, степень страдания имиджа организации и т.д.), то в этом случае отталкиваются от решения предыдущей задачи – получения результатов ранжирования множества альтернатив A по одному из критериев множества К.

Матрицы парных сравнений строятся для

• сравнения относительной важности критериев на втором уровне (s=2) по отношению к общей цели на первом уровне (s=1);

• сравнения относительной важности критериев – “потомков” уровня s (s=3m, где m – номер уровня иерархии) по отношению к критерию – «родителю» уровня s-1);

• сравнения относительной важности каждой альтернативы по отношению к критериям предпоследнего уровня иерархии.

Поскольку мы можем иметь в иерархии несколько уровней, то к собственным векторам следует применять принцип иерархического синтеза, который заключается в последовательном определении векторов приоритетов альтернатив относительно элементов Eⁱ_j, находящихся на всех иерархических уровнях, кроме предпоследнего. Здесь i – уровень иерархии, j – порядковый номер элемента на уровне. Вычисление векторов приоритетов осуществляется по направлению от нижних уровней к верхним с учетом конкретных связей между элементами, принадлежащих различным уровням.

Рассмотрим трехуровневую структуру альтернатив и критериев, приведенную на рис 2.9.4.

Пример 2.9.2. Рассматривается проблема выбора ботинок для сноуборда трех фирм Burton, Thirty Two, Salomon по четырем критериям: стоимость, жесткость, надежность и внешний вид.

Рис.2.9.4.

Матрица парных сравнений Уровень 2

Ботинки	стоимость	жесткость	надежность	внешний вид
стоимость	1	5	2	1/3
жесткость	1/5	1	1/3	1/4
надежность	1/2	3	1	1/6
внешний вид	3	4	6	1

Воспользуемся упрощенной схемой вычисления _max.

Нормализуем матрицу А

A = N_А =

Исследуем согласованность матрицы.

= 0,2475 =0,0725=0,1375=0,54

A =

Отсюда получаем:

Индекс согласованности

.

Оценка согласованности

CC = = 0.99,

.

ОС уровень несогласованности матрицы А является приемлемым

Уровень 3.

стоимость	Burton	Thirty-Two	Salomon
Burton	1	5	3
Thirty-Two	1/5	1	1/2
Salomon	1/3	2	1

Нормализуем матрицу S

S = =

Исследуем согласованность матрицы.

= 0.648 =0.121 =0,23

S=

CC = = 0.66

жесткость	Burton	Thirty-Two	Salomon
Burton	1	4	8
Thirty-Two	1/4	1	6
Salomon	1/8	1/6	1

J= =

=0.67 =0.25 =0,03

J=

надежность	Burton	Thirty-Two	Salomon
Burton	1	6	1/3
Thirty-Two	1/6	1	1/4
Salomon	3	4	1

Na= =

= 0.33 =0.09 =0.4375

Na=

внешний вид	Burton	Thirty-Two	Salomon
Burton	1	4	7
Thirty-Two	1/4	1	5
Salomon	1/7	1/5	1

V= =

= 0.67 =0.25 =0.07

V=

Полученные вектора приоритетов по каждому критерию занесем в таблицу. Результирующий вектор получается путем умножения составленной матрицы на вектор приоритетов критериев.

Ботинки	стоимость	жесткость	надежность	внешний вид	Результирующий вектор
	0,2475	0,0725	0,1375	0,54
Burton	0.648	0.67	0.33	0.67	0,61613
Thirty-Two	0.121	0.25	0.09	0.25	0,1954
Salomon	0,23	0,03	0.4375	0.07	0,1571

Burton: 0,2475*0,648 + 0,0725*0,67+ 0,1375*0,33+0,54*0,67 = 0,61613

Thirty-Two: 0,2475*0,121+0,0725*0,25+0,1375*0,09+ 0,54*0,25 =0,1954

Salomon: 0,2475*0,23+0,0725*0,03+0,1375*0,4375 + 0,54*0,07 = 0,1571

При приобретении ботинок для сноуборда, следует выбрать фирму Burton.

Метод анализа иерархий может быть использован в различных сферах деятельности. В [8] описано применение метода анализа иерархий для оценки эффективности деятельности коммерческого банка. С учетом влияния нестабильной внешней среды выделены ключевые направления повышения рейтинга банка и выполнена экспертная оценка их значимости с учетом специфики интересов и влиятельности субъектов системы банковской деятельности. Результаты экспертной оценки представлены на рис. 2.9.5. Наиболее значимыми направлениями являются совершенствование инструментария управления и кадрового потенциала банков.

Рис. 2.9.5 – Результаты обработки экспертной оценки направлений повышения эффективности деятельности коммерческого банка