- •Министерство науки и образования российской федерации
- •Раздел 1. Применение математического анализа и алгебры
- •Тема 1.1. Математические методы в маркетинге 13
- •Тема 1.2. Балансовые модели 49
- •Раздел 2. Экономико-математические методы
- •Тема 2.1. Моделирование задач принятия решений 64
- •Тема 2.2. Линейное программирование 77
- •Тема 2.3. Задачи транспортного типа 105
- •Тема 2.4. Математические основы управления проектами 131
- •Тема 2.5. Математические методы логистики 163
- •Тема 2.6. Задачи массового обслуживания 177
- •Тема 2.7. Состязательные задачи 196
- •Тема 2.8. Динамическое программирование 236
- •Тема 2.9. Многокритериальная оптимизация 268
- •Введение
- •Раздел 1. Применение математического анализа и алгебры
- •Тема 1.1. Математические методы в маркетинге
- •1.1.1. Основы моделирования спроса и потребления.
- •1.1.2. Коэффициенты эластичности спроса по цене: практическое значение, оценивание, свойства.
- •1.1.3. Функции спроса, уравнение Слуцкого
- •1.1.4. Производственные функции.
- •1.1.5. Функции выпуска продукции; функции затрат ресурсов.
- •1.1.6. Экономические примеры производственной деятельности фирм.
- •Пример 5. Предположим, что необходимо оценить работу некоторой отрасли, если известен объем производства отрасли y, затраты трудовых ресурсов l и объем используемого капитала к:
- •Исходя из теоретических знаний можем предположить, что зависимость объема производства от труда и капитала описывается пф Кобба-Дугласа .
- •Задания и задачи
- •1.1.8. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 1.2. Балансовые модели
- •1.2.1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •1.2.2. Модель равновесных цен
- •1.2.3. Модель международной торговли.
- •1.2.4. Практический блок Пример
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •1.2.5. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Раздел 2. Экономико-математические методы
- •Тема 2.1. Моделирование задач принятия решений
- •2.1.1. Этапы математического моделирования.
- •2.1.2. Основные понятия математического моделирования.
- •2.1.3. Основные типы экономических моделей
- •2.1.4. Практический блок Пример 1
- •Контрольные вопросы
- •Что представляют собой ограничения экстремальной задачи?
- •Что представляет собой целевая функция экстремальной задачи.
- •Приведите примеры экономико-математических моделей.
- •2.1.5. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.2. Линейное программирование
- •2.2.1. Моделирование задачи оптимизации производства методами линейного программирования.
- •2.2.2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
- •2.2.3. Общая задача линейного программирования.
- •2.2.4. Устойчивость оптимального решения.
- •2.2.5. Обьективно-обусловленные оценки.
- •2.2.6. Двойственная задача линейного программирования.
- •2.2.7. Применение основной задачи линейного программирования к решению некоторых экономических задач
- •1. Задача использования ресурсов.
- •2. Задача оптимального использования удобрений.
- •3. Задача составления диеты.
- •4. Задача об использовании мощностей (задача о загрузке оборудования)
- •5. Задача о раскрое материалов.
- •2.2.8. Практический блок Пример
- •2. Графическое решение системы и определение оптимальных объемов производства.
- •5. Объективно обусловленные оценки ресурсов
- •6. Устойчивость решения при изменении удельной прибыли.
- •8. Объективно-обусловленные оценки ресурсов показывают:
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.2.9. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.3. Задачи транспортного типа
- •2.3.1. Экономико-математическая модель транспортной задачи.
- •2.3.2. Исходный опорный план.
- •2.3.3. Распределительный метод решения транспортной задачи.
- •2.3.5. Вырожденные случаи. Открытая транспортная задача.
- •2.3.6. Практический блок Пример
- •1. Математическая модель.
- •2. Получение начального (опорного) плана методом северо-западного угла
- •3. Итерации по улучшению плана до получения оптимального решения.
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.3.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.4. Математические основы сетевого моделирования
- •2.4.1. Построение сетевых графиков.
- •2.4.2. Временные параметры сетевого графика
- •2.4.3. Методы оптимизации сетевого графика
- •2.4.4. Организационные аспекты применения сетевых моделей
- •2.4.5. Практический блок Примеры
- •1. Построение сетевых графиков, согласно заданному порядку предшествования работ.
- •8. Критическое время это:
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.4.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.5. Математические методы логистики
- •2.5.1. Экономическое содержание задач управления запасами.
- •2.5.2. Детерминированная статическая модель без дефицита.
- •2.5.3. Детерминированная статическая модель с дефицитом.
- •2.5.4. Простая вероятностная модель.
- •2.5.5. Практический блок Примеры
- •1. Детерминированная статическая модель без дефицита.
- •2. Детерминированная статическая модель с дефицитом.
- •3. Вероятностная модель
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.5.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.6. Задачи массового обслуживания
- •2.6.1. Общие понятия теории очередей.
- •2.6.2. Одноканальные системы массового обслуживания.
- •2.6.3. Многоканальные системы массового обслуживания.
- •2.6.4. Прикладные аспекты теории массового обслуживания.
- •2.6.5. Практический блок Примеры
- •1. Одноканальная система обслуживания с неограниченной очередью
- •2. Одноканальная система обслуживания с ограниченной очередью.
- •3. Многоканальная система обслуживания с неограниченной очередью.
- •Контрольные воросы
- •Задания и задачи
- •2.6.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.7. Состязательные задачи
- •2.7.1. Основные понятия теории игр.
- •2.7.3. Игры с природой
- •2.7.4. Биматричные игры
- •2.7.5. Понятие коалиционных игр.
- •2.7.6. Практический блок Примеры
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.7.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.8. Динамическое программирование
- •2.8.1. Область применения моделей динамического программирования.
- •2.8.2. Основные идеи динамического программирования.
- •2.8.3. Распределение q средств между n предприятиями.
- •2.8.4. Динамическая задача управления запасами.
- •2.8.5. Стохастическое динамическое программирование.
- •2.8.6. Задачи износа и замены оборудования
- •2.8.7. Практический блок Пример 1
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.8.8. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •2.9. Многокритериальная оптимизация.
- •2.9.1. Понятие многокритериальности.
- •2.9.2. Оптимальность по Парето.
- •2.9.3. Метод идеальной точки.
- •Заданы две целевые функции
- •2.9.4. Принятие решений на основе метода анализа иерархий
- •2.9.5. Общая классификация эвристических методов решения многокритериальных задач
- •2.9.6. Практический блок Пример 1
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.9.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •1. Математические методы в маркетинге
- •2. Исследование производственных функций
- •Вопросы для подготовки к зачету
- •Итоговые тесты
- •Список рекомендуемой литературы
- •Предметный указатель
2.8.2. Основные идеи динамического программирования.
Общей особенностью всех моделей динамического программирования является сведение задачи принятия решений к получению рекуррентных соотношений. Для тех, кто не пользовался подобными формализованными методами для решения задач, связанная с этим система математических обозначений может показаться странной, поэтому рекомендуется прочитать текст не менее двух раз. При первом чтении следует постараться понять смысл поставленной задачи и хорошо ознакомиться с условными обозначениями; при втором чтении больше внимания целесообразно уделить деталям постановки и характеру математических выражений (это правило относится, кстати, и к изучению других тем).
На небольшом примере объясним важные идеи динамического программирования, а также введем необходимые условные обозначения.
Пример 2.8.1. Рассмотрим транспортную сеть (задача о кратчайшем маршруте).
10 7
2 12 5 3 1
5 5
10
1 7 4 4
15 7
13 1
Рис. 2.8.1. Задача о кратчайшем маршруте.
Пусть сij – расстояние (или стоимость переезда) от пункта i в пункт j (на рисунке заданы числами у каждой стрелки). Необходимо выбрать такой путь от пункта 1 до пункта 10, для которого его длина (или общая стоимость переезда) является минимальной.
Из пункта 1 можно переехать в пункт 2, 3 или 4; из пункта 2 в пункт 5 или 6 и т.д. Назовем нахождение в пункте – состоянием системы, переезд из пункта в пункт – процессом перехода из одного состояния в другое. Таким образом, переезд из пункта 1 в пункт 3 есть одношаговый процесс, а скажем, из пункта 1 в пункт 10 – многошаговый процесс перехода из состояния 1 в состояние 10.
Выбор процесса перехода из состояния i в состояние j назовем стратегией. Допустим, мы нашли оптимальный (в данном случае минимальный) маршрут и находимся в его промежуточном пункте, тогда, независимо от пути достижения этого пункта (состояния), оптимальный путь из данного пункта до конечного состояния есть часть общего оптимального пути. Этот принцип оптимальности впервые был сформулирован Р.Беллманом в 1953 г. Приведем этот принцип в формулировке Елены Сергеевны Вентцель[5]:
Каково бы ни было состояние системы в результате некоторого числа шагов, на текущем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая данный. Этот принцип верен для задач динамического программирования, в которых процесс управления происходит без обратной связи, т.е. управление на каждом шаге не оказывает влияния на предшествующие шаги.
Введем следующие обозначения:
fn(s) – стоимость, отвечающая стратегии минимальных затрат для пути от состояния s до конечного состояния, если до него остается n шагов;
хn(s) – решение, позволяющее достичь fn(s).
Т.е. хn(s) соответствует пути минимальной длины от состояния s до конечного состояния, которое достигается за n шагов.
Вернемся к нашему примеру. Рассмотрим последовательно все состояния от последнего до первого.
Имеем f0(10)=0 для х0(10)= остановка. Затем
f1(8)=1+0=1 для х1(8)=10,
f1(9)=4+0=4 для х1(9)=10. Далее
f2(5)=min(7+1,5+4)=8 для х2(5)=8,
f2(6)=min(3+1,4+4)=4 для х2(6)=8,
f2(7)=min(7+1,1+4)=5 для х2(7)=9.
Для третьего (с конца) шага имеем:
f3(2)=min(10+8,12+4)=16 для х3(2)=6,
f3(3)=min(5+8,10+4,7+5)=12 для х3(3)=7,
f3(4)=min(15+4,13+5)=18 для х3(4)=7.
И, наконец, f4(1)=min(2+16,5+12,1+18)=17 для х4(1)=3.
Мы получили оптимальный путь (наименьшей длины или стоимости) равный 17. Он проходит через события 1-3-7-9-10. (При последовательном рассмотрении всех состояний оптимальные переходы выделялись жирным шрифтом).
Заметим, что на каждом шаге мы пользовались динамическим рекуррентным соотношением:
fn(s)=min(s,j)( сsj + fn-1(j)), n=1,2,3,4 (2.8.1)
Очевидно, динамическое программирование здесь более эффективно, чем прямой перебор всех возможных маршрутов, сопровождаемый их оценкой. В данном примере имеется 14 возможных путей; чтобы для каждого определить оценку, придется суммировать четыре числа. Следовательно, для простого перебора потребуется 314=42 операции сложения, тогда как мы управились за 16 операций. Преимущество рекуррентного подхода может оказаться огромным при практическом применении, когда полный перебор обычно неосуществим.