- •Министерство науки и образования российской федерации
- •Раздел 1. Применение математического анализа и алгебры
- •Тема 1.1. Математические методы в маркетинге 13
- •Тема 1.2. Балансовые модели 49
- •Раздел 2. Экономико-математические методы
- •Тема 2.1. Моделирование задач принятия решений 64
- •Тема 2.2. Линейное программирование 77
- •Тема 2.3. Задачи транспортного типа 105
- •Тема 2.4. Математические основы управления проектами 131
- •Тема 2.5. Математические методы логистики 163
- •Тема 2.6. Задачи массового обслуживания 177
- •Тема 2.7. Состязательные задачи 196
- •Тема 2.8. Динамическое программирование 236
- •Тема 2.9. Многокритериальная оптимизация 268
- •Введение
- •Раздел 1. Применение математического анализа и алгебры
- •Тема 1.1. Математические методы в маркетинге
- •1.1.1. Основы моделирования спроса и потребления.
- •1.1.2. Коэффициенты эластичности спроса по цене: практическое значение, оценивание, свойства.
- •1.1.3. Функции спроса, уравнение Слуцкого
- •1.1.4. Производственные функции.
- •1.1.5. Функции выпуска продукции; функции затрат ресурсов.
- •1.1.6. Экономические примеры производственной деятельности фирм.
- •Пример 5. Предположим, что необходимо оценить работу некоторой отрасли, если известен объем производства отрасли y, затраты трудовых ресурсов l и объем используемого капитала к:
- •Исходя из теоретических знаний можем предположить, что зависимость объема производства от труда и капитала описывается пф Кобба-Дугласа .
- •Задания и задачи
- •1.1.8. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 1.2. Балансовые модели
- •1.2.1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •1.2.2. Модель равновесных цен
- •1.2.3. Модель международной торговли.
- •1.2.4. Практический блок Пример
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •1.2.5. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Раздел 2. Экономико-математические методы
- •Тема 2.1. Моделирование задач принятия решений
- •2.1.1. Этапы математического моделирования.
- •2.1.2. Основные понятия математического моделирования.
- •2.1.3. Основные типы экономических моделей
- •2.1.4. Практический блок Пример 1
- •Контрольные вопросы
- •Что представляют собой ограничения экстремальной задачи?
- •Что представляет собой целевая функция экстремальной задачи.
- •Приведите примеры экономико-математических моделей.
- •2.1.5. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.2. Линейное программирование
- •2.2.1. Моделирование задачи оптимизации производства методами линейного программирования.
- •2.2.2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
- •2.2.3. Общая задача линейного программирования.
- •2.2.4. Устойчивость оптимального решения.
- •2.2.5. Обьективно-обусловленные оценки.
- •2.2.6. Двойственная задача линейного программирования.
- •2.2.7. Применение основной задачи линейного программирования к решению некоторых экономических задач
- •1. Задача использования ресурсов.
- •2. Задача оптимального использования удобрений.
- •3. Задача составления диеты.
- •4. Задача об использовании мощностей (задача о загрузке оборудования)
- •5. Задача о раскрое материалов.
- •2.2.8. Практический блок Пример
- •2. Графическое решение системы и определение оптимальных объемов производства.
- •5. Объективно обусловленные оценки ресурсов
- •6. Устойчивость решения при изменении удельной прибыли.
- •8. Объективно-обусловленные оценки ресурсов показывают:
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.2.9. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.3. Задачи транспортного типа
- •2.3.1. Экономико-математическая модель транспортной задачи.
- •2.3.2. Исходный опорный план.
- •2.3.3. Распределительный метод решения транспортной задачи.
- •2.3.5. Вырожденные случаи. Открытая транспортная задача.
- •2.3.6. Практический блок Пример
- •1. Математическая модель.
- •2. Получение начального (опорного) плана методом северо-западного угла
- •3. Итерации по улучшению плана до получения оптимального решения.
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.3.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.4. Математические основы сетевого моделирования
- •2.4.1. Построение сетевых графиков.
- •2.4.2. Временные параметры сетевого графика
- •2.4.3. Методы оптимизации сетевого графика
- •2.4.4. Организационные аспекты применения сетевых моделей
- •2.4.5. Практический блок Примеры
- •1. Построение сетевых графиков, согласно заданному порядку предшествования работ.
- •8. Критическое время это:
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.4.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.5. Математические методы логистики
- •2.5.1. Экономическое содержание задач управления запасами.
- •2.5.2. Детерминированная статическая модель без дефицита.
- •2.5.3. Детерминированная статическая модель с дефицитом.
- •2.5.4. Простая вероятностная модель.
- •2.5.5. Практический блок Примеры
- •1. Детерминированная статическая модель без дефицита.
- •2. Детерминированная статическая модель с дефицитом.
- •3. Вероятностная модель
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.5.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.6. Задачи массового обслуживания
- •2.6.1. Общие понятия теории очередей.
- •2.6.2. Одноканальные системы массового обслуживания.
- •2.6.3. Многоканальные системы массового обслуживания.
- •2.6.4. Прикладные аспекты теории массового обслуживания.
- •2.6.5. Практический блок Примеры
- •1. Одноканальная система обслуживания с неограниченной очередью
- •2. Одноканальная система обслуживания с ограниченной очередью.
- •3. Многоканальная система обслуживания с неограниченной очередью.
- •Контрольные воросы
- •Задания и задачи
- •2.6.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.7. Состязательные задачи
- •2.7.1. Основные понятия теории игр.
- •2.7.3. Игры с природой
- •2.7.4. Биматричные игры
- •2.7.5. Понятие коалиционных игр.
- •2.7.6. Практический блок Примеры
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.7.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.8. Динамическое программирование
- •2.8.1. Область применения моделей динамического программирования.
- •2.8.2. Основные идеи динамического программирования.
- •2.8.3. Распределение q средств между n предприятиями.
- •2.8.4. Динамическая задача управления запасами.
- •2.8.5. Стохастическое динамическое программирование.
- •2.8.6. Задачи износа и замены оборудования
- •2.8.7. Практический блок Пример 1
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.8.8. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •2.9. Многокритериальная оптимизация.
- •2.9.1. Понятие многокритериальности.
- •2.9.2. Оптимальность по Парето.
- •2.9.3. Метод идеальной точки.
- •Заданы две целевые функции
- •2.9.4. Принятие решений на основе метода анализа иерархий
- •2.9.5. Общая классификация эвристических методов решения многокритериальных задач
- •2.9.6. Практический блок Пример 1
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.9.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •1. Математические методы в маркетинге
- •2. Исследование производственных функций
- •Вопросы для подготовки к зачету
- •Итоговые тесты
- •Список рекомендуемой литературы
- •Предметный указатель
Итоговые тесты
1. Что выбирается в качестве показателя эффективности при возникновении форс-мажорных обстоятельств?
а) берется сама величина, которую хотелось бы минимизировать;
б) берется сама величина, которую хотелось бы максимизировать;
в) берется не сама величина, а ее среднее значение – математическое ожидание;
г) берется дисперсия самой величины;
д) все вышеназванное.
2. Какой показатель и критерий эффективности можно выбрать при снабжении предприятий сырьем?
а) суммарные расходы на перевозки сырья;
б) суммарные расходы на перевозки сырья за единицу времени;
в) минимальные расходы на перевозки;
г) максимальные расходы на сырье;
д) все вышеназванное.
3. Какой показатель и критерий эффективности можно выбрать при постройке участка магистрали?
а) время завершения стройки;
б) среднее ожидаемое время окончания стройки;
в) максимальное время окончания стройки;
г) минимальное время окончания стройки;
д) стоимость стройки.
4. Какой показатель и критерий эффективности можно выбрать при продаже сезонных товаров?
а) максимально ожидаемую прибыль;
б) среднюю ожидаемую прибыль от реализации товаров за сезон;
в) расходы при продаже;
г) максимальное время продажи;
д) все вышеназванное.
5. Какой показатель можно выбрать для характеристики эффективности работы городского транспорта?
а) среднюю скорость передвижения пассажиров по городу;
б) среднее число перевезенных пассажиров;
в) среднее количество километров, которое придется пройти пешком человеку, которого транспорт не может доставить в нужное место;
г) ни один из вышеназванных не подходит для этого;
д) все вышеназванные.
6. Из чего исходят в каждом конкретном случае при выборе модели экономических операций?
а) из вида операции;
б) из целевой направленности операций;
в) содержимое а и б;
г) из экономической ситуации;
д) все вышеперечисленное.
7. Какие разделы математики положены в основу исследования операций?
а) линейное, нелинейное, динамическое программирование;
б) теория игр;
в) теория статистических решений;
г) теория массового обслуживания;
д) все вышеперечисленное.
8. Почему при исследовании операций необходимы сведения по теории вероятности?
а) чтобы лучше соразмерять точность и подробность модели;
б) потому что большинство операций проводится в условиях неполной определенности, и их ход и исход зависят от случайных факторов;
в) потому что большинство операций проводится в условиях полной определенности, и их ход и исход не зависят от случайных факторов;
г) потому что большинство операций проводится в условиях неполной определенности, и их ход и исход не зависят от случайных факторов;
д) все вышеперечисленное.
9. Какие модели широко применяются в исследовании операций?
а) аналитические;
б) статистические;
в) имитационные;
г) пункты а и б;
д) пункты а, б и в.
10. В чем преимущества аналитических моделей при применении в исследованиях операций?
а) результаты расчета по ним легче обозримы;
б) отчетливее отражают присущие явлению основные закономерности;
в) больше приспособлены для поиска оптимальных решений;
г) содержимое п.а, б, в;
д) учитывают большее число факторов.
11. В чем преимущества статистических моделей при применении в исследованиях операций?
а) более точны и подробны, не требуют столь грубых допущений, позволяют учесть большое (в теории – неограниченно большое) число факторов;
б) отчетливее отражают присущие явлению основные закономерности;
в) больше приспособлены для поиска оптимальных решений;
г) содержимое п.а, б, в;
д) учитывают большее число факторов.
12. В чем недостатки статистических моделей при применении в исследованиях операций?
а) громоздкость;
б) плохая обозримость;
в) большой расход машинного времени;
г) крайняя трудность поиска оптимальных решений, которые приходится искать “на ощупь”, путем догадок и проб;
д) все вышеперечисленное.
13. В чем недостатки аналитических моделей при применении в исследованиях операций?
а) более грубы;
б) учитывают меньшее число факторов, всегда требуют каких-то допущений и упрощений;
в) трудность поиска оптимальных решений;
г) содержимое п.а, б;
д) все вышеперечисленное.
14. В чем заключается особенность задач целочисленного программирования?
а) в том, что постановка задачи совпадает с постановкой задачи линейного программирования;
б) в том, что искомые значения переменных непременно должны быть целыми;
в) в том, что постановка задачи не совпадает с постановкой задачи линейного программирования;
г) в том, что постановка задачи совпадает с постановкой задачи динамического программирования;
д) в том, что искомые значения переменных непременно должны быть дробными.
15. В чем заключается задача распределения ресурсов по операциям?
а) в выборе такого распределения ресурсов по операциям, при котором достигается максимальная общая эффективность системы;
б) в выборе такого распределения ресурсов по операциям, при котором достигается минимальная общая эффективность системы;
в) в минимизации суммарных затрат или максимизации суммарной прибыли;
г) содержимое п.а, б;
д) содержимое п.б, в.
16. К чему сводится решение задач о назначении?
а) к выбору (назначению) по одному ресурсу для выполнения каждой операции;
б) к выбору (назначению) по множеству ресурсов для выполнения каждой операции;
в) к несовпадению числа операций и числа различных ресурсов;
г) к такому распределению (назначению) ресурсов, чтобы общая стоимость выполнения операций была минимальна или прибыль максимальна;
д) содержимое п.а, г.
17. Когда возникает задача массового обслуживания?
а) когда есть клиенты, пристраивающиеся к концу очереди;
б) когда есть клиенты, ожидающие в очереди момента;
в) когда есть клиенты, могущие пройти через средство обслуживания;
г) когда есть обслуженные клиенты, вышедшие из канала обслуживания (также указана скорость обслуживания);
д) содержание п. а-г.
18. В чем заключается “задача коммивояжера”?
а) выбрать некоторый маршрут, начинающийся в “родном” городе коммивояжера, проходящий через каждый из остальных городов только один раз и оканчивающийся в пункте отправления, который характеризуется минимальной длиной;
б) в выборе маршрута;
в) выбрать некоторые маршруты, начинающиеся в “родном” городе коммивояжера, проходящие через каждый из остальных городов несколько раз и оканчивающиеся в пункте отправления, которые характеризуются минимальной длиной;
г) выбрать некоторые маршруты;
д) выбор задач для такой широко распространенной фигуры, как коммивояжер, или агент по сбыту.
19. Для чего применяются методы исследования операций при многократных закупках оборудования?
а) для изучения вопроса о том, какое число запчастей следует хранить на складе и должны ли это быть отдельные части или собранные узлы;
б) для выбора типа и определения габаритов оборудования;
в) для определения сроков его замены и для принятия решений относительно того, чем именно его заменять;
г) для решения вопроса о целесообразности аренды или закупки оборудования и выяснения того, в каком случае использованное или модернизированное оборудование предпочтительнее нового;
д) для всего вышеперечисленного.
20. Какие вопросы охватывают исследование операций для распределения производственных заказов между предприятиями?
а) определение размера партий производимых изделий;
б) как определение технологий;
в) как определение последовательности операций и календарных графиков, состава и размещения запасов, выбора ассортимента продукции, которую можно производить из имеющегося сырья;
г) как определение целесообразности увеличения числа рабочих смен или применения сверхурочных работ;
д) все вышеназванные.
21. Для чего применяется исследование операций при сбыте продукции?
а) для определения пунктов размещения оптовых складов продукции, их емкости, количества и ассортимента запасов, хранимых на этих складах;
б) для определения круга потребителей, которым должна поставляться продукция с этих складов;
в) содержание п. а, б;
г) для стабилизации объема производства и уровня занятости, при определении затрат, обусловливаемых неустойчивостью, и влияния неустойчивости на общество;
д) для изучения вопроса о том, какое число запчастей следует хранить на складе и должны были это быть отдельные части или собранные узлы.
22. Для чего применяется исследование операций в научно-исследовательских и опытно-конструкторских работах?
а) для создания отчетов о работе;
б) для определения размеров ассигнований на научно-исследовательские разработки, распределения этих ассигнований между теоретическими и прикладными научными разработками и выбора отдельных программ, на которые целесообразно отпускать средства;
в) для определения того, какие силы (оборудование и персонал) должны выделяться для решения тех или иных задач и каковы оптимальные методы исследования этих сил;
г) для выбора областей, где целесообразно сосредоточить проведение научных и опытно-конструкторских работ, формирование критериев для оценки различных конструкций новых изделий, а также определение их надежности и сроков службы;
д) содержание п. б, в, г.
23. Чем отличаются методы исследования операций от методов других дисциплин?
а) объектом изучения;
б) методами самих исследований;
в) рассматриваемыми задачами;
г) набором симптомов;
д) инструментальными средствами.
24. Как найти оптимальное решение, если их число вариантов велико?
а) способом “простого перебора”;
б) методом “направленного перебора”;
в) содержание п. а, б;
г) логическими рассуждениями;
д) все вышеперечисленное.
25. Какие факторы, от которых зависит успех операции, Вы знаете?
а) заданные, заранее известные факторы (условия выполнения операции);
б) не зависящие от нас элементы решения, образующие в своей совокупности решение;
в) зависящие от нас элементы решения, образующие в своей совокупности решение;
г) содержание п. а, б;
д) содержание п. а, в;
26. Какой является задача о выборе решения при наличии неопределенных факторов?
а) детерминированной задачей;
б) задачей о выборе решения в условиях неопределенности;
в) нестохастической задачей;
г) задачей с нечетким множеством;
д) все вышеназванное.
27. Определите, к какому типу задач исследования операций относится следующий пример. Пусть организуется или реорганизуется работа столовой с целью повысить ее пропускную способность. Нам в точности неизвестно, какое количество посетителей придет в нее за рабочий день, когда именно они будут появляться, какие блюда заказывать и сколько времени будет продолжаться обслуживание каждого из них. Однако характеристики этих случайных величин, если сейчас еще не находятся в нашем распоряжении, могут быть получены статистическим путем.
а) детерминированной задачей;
б) задачей о выборе решения в условиях неопределенности;
в) стохастической задачей;
г) задачей с нечетким множеством;
д) все вышеназванное.
28. Определите, к какому типу задач исследования операций относится следующий пример:
Организуется система профилактического и аварийного ремонта технических устройств с целью уменьшить простои техники за счет неисправностей и ремонтов. Отказы техники, длительности ремонтов и профилактик носят случайный характер. Характеристики всех случайных факторов, входящих в задачу, могут быть получены, если собрать соответствующую статистику.
а) детерминированной задачей;
б) задачей о выборе решения в условиях неопределенности;
в) стохастической задачей;
г) задачей с нечетким множеством;
д) все вышеназванное.
29. В каких случаях неизвестные факторы не могут быть изучены и описаны статистическими методами?
а) распределение вероятностей для параметров в принципе существует, но к моменту принятия решения не может быть получено;
б) распределение вероятностей для параметров вообще не существует;
в) распределение вероятностей для параметров в принципе существует;
г) содержание п. а, б;
д) содержание п. а, в.
30. Какие задачи исследования операций принадлежат к сложным и трудным вычислительным задачам, при решении которых часто приходится прибегать к приближенным, так называемым “эвристическим” методам оптимизации?
а) задачи линейного программирования;
б) задачи целочисленного программирования;
в) задачи нелинейного программирования;
г) задачи стохастического программирования;
д) задачи п.п. б, в, г.
31. Если решение появляется в результате скрытой работы интеллекта человека, то оно называется:
а) формальным; б) стохастическим; в) творческим.
32. Неконтролируемые факторы, влияющие на критерий принятия решения, для каждого из которых известна только область, внутри которой находится закон распределения, называются:
а) стохастические; б) детерминированные; в) неопределённые.
33. Задачи принятия решения, где критерий оптимальности и ограничения не зависят от времени, называют:
а) динамические б) статические; в) функциональные.
34. Для ситуаций, в которых происходит выбор решений, характерны:
а)наличие цели; б)отсутствие ограничений; в)однокритериальность.
ГЛОССАРИЙ
Автономная модель – часть системы моделей, которую можно анализировать независимо от других частей. Этот подход применим всюду, где отдельные хозяйственные звенья обладают самостоятельностью в своих действиях. Однако в экономике все связано, поэтому автономность частичных моделей всегда относительна.
Авторегрессивная модель – статистическое описание связи значений одного и того же показателя в разные моменты времени.
Агрегирование – объединение, укрупнение показателей по какому-либо признаку. С математической точки зрения агрегирование рассматривается как преобразование модели в модель с меньшим числом переменных и ограничений (агрегированную модель), дающую приближенное (по сравнению с исходным) описание изучаемого процесса или объекта.
Адаптация – приспособление системы к реальным условиям. Различают адаптацию пассивную – реагирование системы на изменение среды и активную – воздействие системы на среду.
Адекватность модели – соответствие модели моделируемому объекту или процессу.
Агрегирование – преобразование модели в модель с меньшим числом переменных или ограничений – агрегированную модель, дающую приближенное по сравнению с исходной описание изучаемого объекта.
Алгоритм – формализованная последовательность действий по решению задачи.
Алгоритм кратчайшего пути позволяет найти кратчайший путь в сети.
Алгоритм максимального потока – позволяет определить путь с максимальной пропускной способностью.
Аналитическая модель – формула, представляющая математические зависимости в экономике.
Антагонистические игры – игры, в которых интересы игроков строго противоположны, т. е. выигрыш одного игрока – проигрыш другого.
Аппроксимация – приближенное выражение математических объектов через более простые объекты, например, сведение задачи выпуклого программирования к кусочно-линейной задаче путем аппроксимации целевой функции и ограничений кусочно-линейными функциями.
Базисное решение – допустимое решение задачи линейного программирования, находящееся в вершине области допустимых решений.
Балансовая модель – 1. Система уравнений (балансовых уравнений), которые удовлетворяют требованию соответствия двух элементов: наличие ресурса и его использования. 2. При описании экономической системы в целом – система уравнений, каждое из которых выражает требование баланса между производимым отдельными экономическими объектами количеством продукции и совокупной потребность в этой продукции.
Бюджетное множество – множество наборов товаров (x1, x2, . . ., xn), доступных индивиду при его доходе Q ценах (p1, p2, . . ., pn).
Валовой выпуск – стоимость продуктов и услуг, являющихся результатом деятельности хозяйственных объектов страны в течение данного периода (года). Включает выпуск продуктов, рыночных и нерыночных услуг. При вычитании из валового выпуска промежуточного потребления получается валовой внутренний продукт – как конечный результат производственной деятельности.
Вальраса система уравнений – одна из первых экономико-математических моделей. В ней сформулирован процесс автоматического стремления рыночной экономики к стабильному равновесию в форме линейных уравнений, переменными в которых выступают количества товаров и ресурсов, а также цены на каждый из них, балансирующие спрос и предложение. Основное равенство (закон Вальраса) утверждает, что общая величина спроса должна быть при соответствующей системе цен равна общей величине предложения.
Вектор “затрат – выпуска” – вектор, содержащий компоненты двух видов: выпускаемые продукты (обычно положительные) и продукты, затрачиваемые в производстве (отрицательные).
Венгерский метод – метод решения комбинаторных задач.
Вероятность – численная мера возможности события.
Взаимозаменяемость ресурсов – возможность альтернативного использования разных ресурсов: а) для сохранения или достижения заданного уровня производства, б) для достижения оптимума.
Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования – интерпретация зависимостей, имеющих место в задаче линейного программирования в виде геометрических фигур (точек, прямых, полуплоскостей, многоугольников) в декартовой системе координат.
Гессе матрица – матрица вторых частных производных функций нескольких переменных. Характеристика матрицы Гессе (ее положительная или отрицательная определенность и полуопределенность) служит условием для определения вида стационарной точки: является ли она, соответственно, минимумом, максимумом или седловой точкой в задаче оптимизации функции.
Госсена законы – 1. Предельная полезность любого товара уменьшается по мере увеличения его потребления. 2. Индивиду невыгодно потреблять одно благо вместо другого и вообще как-то изменять структуру потребления, поскольку всякое такое изменение только ухудшает его благосостояние.
Градиент – вектор, направленный в сторону наискорейшего возрастания функции и равный по величине ее производной в этом направлении.
Граничные условия – предельно допустимые значения переменных.
Двойственные оценки определяют дефицитность используемых ресурсов и показывают, насколько возрастает максимальное значение целевой функции прямой задачи при увеличении количества соответствующего ресурса на единицу.
Дерево – многоуровневая иерархическая система, в которой все вершины распределены по нескольким уровням.
Детерминированные величины – исходные данные, заданные определенными величинами.
Динамические модели экономики – модели, описывающие экономику в развитии (в отличие от статических, характеризующих ее состояние в определенный момент).
Динамическое программирование – методы решения задач, в которых процесс нахождения решения является многоэтапным.
Дисперсия характеризует разброс значений случайной величины.
Дисциплина очереди описывает порядок обслуживания требований в системе.
Допустимый план – решение, удовлетворяющее системе ограничений, но не обязательно оптимальное.
Достоверное событие – событие, которое непременно должно произойти.
Задача о диете заключается в определении рациона, удовлетворяющего потребностям в питательных веществах при минимальной стоимости.
Задача коммивояжера состоит в отыскании наилучшего маршрута для коммивояжера, который должен объехать заданные города и вернуться назад за кратчайший срок или с наименьшими затратами.
Задача математического программирования. В общей постановке задачи этого раздела выглядят следующим образом. Имеются какие-то переменные и функция этих переменных f(x)=f(x1,x2,...,xn), которая носит название целевой функции. Ставится задача: найти экстремум (максимум или минимум) целевой функции при условии, что переменные x принадлежат некоторой области G.
Задача о назначениях показывает, как распределить кандидатов по вакансиям наилучшим образом.
Задача о раскрое – как раскроить листы с минимальными затратами.
Задача о рюкзаке – задача о наилучшем использования ограниченного объема.
Задача оптимизации – задача, решение которой сводится к нахождению максимума или минимума целевой функции.
Золотое правило накопления – в условиях модели экономического роста фонд потребления на душу населения растет с максимальным темпом, если норма сбережения равна эластичности объема выпуска по капиталу.
Игра – формализованная модель конфликтной ситуации.
Игра n лиц с постоянной суммой – игры, в которых принимает участие n игроков, существует n множеств стратегий и n действительных платежных функций от n переменных, каждая из которых является элементом соответствующего множества стратегий. Каждый игрок знает всю структуру игры и в своем поведении неизменно руководствуется желанием получить максимальный средний выигрыш.
Игра двух лиц с ненулевой суммой – игры, в которых сумма выирышей двух игроков после каждой партии не равна нулю.
Игра двух лиц с нулевой суммой – игры, в которых интересы двух игроков строго противоположны, т.е. выигрыш одного есть проигрыш другого.
Игра против природы – игры, где одним из определяющих факторов является внешняя среда или природа, которая может находиться в одном из состояний, которые неизвестны лицу, принимающему решение.
Игра с нулевой суммой – игры, в которых сумма выигрыша игроков после каждой партии составляет ноль.
Игрок – участник игровой модели.
Изокванта – геометрическое место точек, в которых различные сочетания факторов производства дают одно и то же количество выпускаемой продукции.
Изоклиналь – линия наибольшего роста производственной функции. Изоклинали ортогональны изоквантам.
Имитационное моделирование – моделирование случайных величин.
Исследование операций – наука, занимающаяся разработкой и практическим применением методов оптимального управления организационными системами.
Итерация – этап реализации алгоритма, отличающийся от его других этапов (кроме начального и конечного) лишь значениями переменных величин, но не составом процедур обработки информации.
Канал обслуживания – устройство для обслуживания требований в очереди.
Кейнсианская теория экономики – модели, описывающие экономику в развитии с использованием математических методов.
Коалиции игроков – объединение m игроков в игре n лиц (m меньше n) с целью получения максимального выигрыша и выработке соответствующих стратегий.
Кобба – Дугласа функция – производственная функция, примененная американскими исследователями Ч. Коббом и П. Дугласом при анализе развития экономики США в 20-30 гг. нашего века. Имеет следующую форму , где X – национальный доход, A – коэффициент размерности, K , L – соответственно бъемы приложения капитала и труда,– константы, коэффициенты эластичности по капиталу и по труду.
Конечный узел, сток – конечная вершина сети или состояние, которым завершается комплекс работ.
Коэффициенты линейных ограничений – нормы расхода ресурсов.
Коэффициенты прямых затрат – (технологические коэффициенты) в межотраслевом балансе – средние величины непосредственных затрат продукции одной отрасли (в качестве средств производства) на выпуск единицы продукции другой отрасли. Они могут быть выражены в натуральной форме и в ценностной.
Коэффициенты эластичности производства – показатели производственной функции, характеризующие относительное изменение результатов на единицу относительного изменения затрат i-го ресурса.
Кривая безразличия – геометрическое место точек пространства товаров, характеризующихся состоянием безразличия с точки зрения потребителя или производителя.
Критический путь – путь в сети наибольшей продолжительности.
Линейное программирование – методы решения задач математического программирования, в которых ограничения и целевая функция линейны.
Линейно-независимые уравнения – уравнения, которые не могут быть получены умножением, делением, сложением, вычитанием исходных уравнений.
Линейные зависимости – зависимости, в которые переменные входят в первой степени, и в которых нет их произведения.
Линия уровня – линией уровня на поверхности Y= F(K,L) называется множество тех точек поверхности, для которых F(K,L)=const.
Магистраль – основное понятие математической теории равномерного пропорционального роста экономики, основы которой были заложены американским математиком Дж. Фон Нейманом. Это траектория (путь) развития, при которой теоретически, за длительное время, достигается максимальная скорость роста экономики.
Макроэкономическая модель – экономико-математическая модель, отражающая функционирование народного хозяйства как единого целого. Макромодели оперируют, как правило, стоимостными показателями – национальный доход, валовые капиталовложения и другие. Важным приложением является прогнозирование народнохозяйственных процессов. Для этого используются макроэкономические производственные функции.
Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.
Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального продукта в отраслевом разрезе, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.
Межпродуктовый баланс используется для обеспечения полной взаимоувязки планов производства группы взаимосвязанных предприятий либо группы цехов одного предприятия.
Метод ветвей и границ – метод решения задачи о назначениях.
Метод критического пути – метод решения сетевых задач, в которых продолжительности работ – детерминированные величины.
Метод Монте-Карло – метод решения задач моделированием случайных величин (метод статистических испытаний).
Метод потенциалов — метод решения транспортной задачи.
Метод рекуррентных соотношений Беллмана – основной метод динамического программирования, в основе которого лежит следующий принцип оптимальности: если управление процесса оптимально, то оно будет оптимальным и для процесса, остающегося после осуществления очередного шага.
Метод северо-западного угла – метод решения транспортной задачи.
Микроэкономическая модель – экономико-математическая модель, отражающая функционирование и структуру отдельного элемента экономической системы, взаимодействие его с другими элементами системы в процессе ее функционирования. Сюда относятся, например, модель фирмы, модель спроса и потребления, модель ценообразования, модель рынка товаров и т. д.
Многосекторная модель – модель народного хозяйства, представляющая его как совокупность крупных секторов. Ими могут быть, например, производство средств производства и производство предметов потребления, и тогда перед нами двух секторная модель. Могут быть выделены такие секторы, как государственный, кооперативный, частный. Если в качестве секторов принимаются отрасли производство, то такая модель называется многоотраслевой.
Многофазная система – система массового обслуживания, в которой требования проходят последовательную обработку на нескольких приборах.
Модель – математическое или логическое описание компонентов и функций, отображающих существенные свойства моделируемого объекта или процесса (обычно рассматриваемых как системы или элементы системы).
Начальный узел, источник – начальная вершина сети или состояние, с которого начинается комплекс работ.
Невозможное событие – событие, которое не может произойти (появление, двух тузов при вытаскивании одной карты).
Неймана модель – (модель расширяющейся экономики) – В этой модели производство всех продуктов растет в одном темпе, цены не зависят от времени, прирост производства финансируется путем инвестирования прибыли.
Нелинейное программирование – методы решения задач, в которых зависимости между переменными в целевой функции и (или) в ограничениях нелинейны.
Нелинейные зависимости – зависимости, в которые входят переменные не первой степени или есть произведение переменных.
Непрерывные величины могут принимать в заданном интервале любые значения.
Несовместные события – события, исключающие друг друга.
Ограничение – неравенства, устанавливающие зависимости для ресурсов.
Однопродуктовая модель народного хозяйства
– экономико-математическая модель, в которой экономика рассматривается как производство одного продукта, часть которого идет на потребление, часть – на увеличение основных и оборотных фондов.
Оптимальное решение – вариант, для которого принятый критерий принимает наилучшее решение.
Оптимальность по Парето – итальянский экономист В. Парето в начале ХХ в. сформулировал один из самых распространенных критериев оптимальности: “Следует считать, что любое изменение, которое никому не причиняет убытков и которое приносит некоторым людям пользу (по их собственной оценке), является улучшением.
Параметрическое программирование – задачи, в которых целевая функция или функции, определяющие область возможных изменений переменных (ограничения и граничные условия), либо то и другое зависят от некоторых параметров.
Парная игра – игровая модель с двумя участниками.
Паутинообразная модель – одна из простейших динамических моделей для демонстрации процесса формирования цен в условиях конкурентного рынка.
Первичные ресурсы – элементы производства, поступающие в экономическую систему извне, в отличие от ресурсов, порожденных самой системой, и продуктов – результатов производства, выходящих за ее пределы.
Переменная – величина, принимающая различные значения.
Платежная матрица – прямоугольная таблицаразмерности m на n, i=1,...,n j=1,...,m (i,j)-ый элемент которой есть значение выигрыша (пригрыша) игроков в случае i-го хода первого игрока и j-го хода второго игрока.
Показатель – выраженная числом характеристика какого-либо свойства экономического объекта, процесса или решения.
Предельная норма замены
– SK труда фондами называется отношение модулей дифференциалов основных фондов и труд
SK =,
SL фондов трудом
SL =.
Для мультипликативной функции k
SK=: недостаток труда можно компенсировать его лучшей фондовооруженностью.
Предельная полезность – дополнительная полезность, получаемая от потребления дополнительной единицы какого-либо блага (частная производная функции полезности по этому благу).
Приведенные затраты – 1. Расчетная категория, отражающая величину текущих и единовременных (капитальных) затрат на производство продукции. 2. Затраты в базовый момент времени, равноценные по своему народнохозяйственному значению оцениваемым затратам, произведенным (или возможным) в другие моменты времени. Такое приведение по времени производится с помощью коэффициента дисконтирования.
Принцип оптимальности Беллмана – на каждом этапе необходимо выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих этапах приводило к оптимальному выигрышу.
Продолжительность работы – время выполнения работы.
Производственная функция – функция, характеризующая зависимость между количеством применяемых ресурсов и объемом выпускаемой продукции.
Равновесие (экономической системы) – 1) состояние, которое характеризуется равенством спроса и предложения всех ресурсов; 2) состояние, когда ни один из многих взаимосвязанных участников системы не заинтересован в изменении этого состояния, так как при этом он не может ничего выиграть, но может проиграть.
Расстояние между двумя узлами – длина дуги на сети.
Регрессионный анализ обеспечивает подбор уравнения зависимости анализируемого признака от определяющих факторов по серии исходных данных.
Резерв времени работы – величина, на которую можно увеличить продолжительность выполнения работы без увеличения времени наступления конечного события.
Рынок – общественный механизм распределения благ посредством добровольного обмена. Обмен может осуществляться непосредственно, в форме бартера, и посредством промежуточного обмена благ на особый товар – деньги. Во втором случае обмен принимает форму купли-продажи, а его участники приобретают статус продавцов и покупателей. Продавцы обменивают товары на деньги, покупатели – деньги на товар.
Сетевой график – граф с дугами, изображающими связь между узлами, в котором дуге соответствует выполняемая работа, вершине – событие.
Симплекс-метод – метод решения задач линейного программирования, заключающийся в последовательном улучшении плана и позволяющий осуществлять переход от одного допустимого базисного решения к другому таким образом, что значение целевой функции непрерывно возрастают и за конечное число шагов находится оптимальное решение.
Системы с групповым обслуживанием – системы массового обслуживания, в которых требования поступают группами.
Системы с ограниченной длиной очереди – системы массового обслуживания, допускающие очередь, но с ограниченным числом требований.
Системы с ограниченным временем ожидания – системы массового обслуживания, допускающие очередь, но с ограниченным сроком пребывания каждого требования в ней.
Системы с отказами – системы массового обслуживания, в которых требования, поступающие в момент, когда все каналы обслуживания запиты, получают отказ и утрачиваются.
Случайная величина – данные, которые зависят от ряда случайных факторов.
Случайный ход – результат, получаемый не решением игрока, а каким-либо механизмом случайного выбора (покупательский спрос, задержка с поставкой материалов и т.п.).
Слуцкого уравнения – уравнения, характеризующие количественные зависимости между изменением цен на отдельные товары и доходов потребителей, с одной стороны, и структурой покупательного спроса – с другой.
Событие – всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.
Сознательный ход – выбор игроком одного из возможных вариантов действия (стратегия) и принятие решения о его осуществлении.
Среднеквадратическое отклонение характеризует разброс значений случайной величины от ее среднего значения.
Стационарность – постоянство во времени характеристик некоторого процесса.
Стратегия – правило действий в каждой ситуации процесса принятия решения.
Теория игр занимается методами обоснования решений в условиях неопределенности и риска, вырабатывает рекомендации для различного поведения игроков в конфликтной ситуации.
Теория очередей исследует вероятностные модели реальных систем обслуживания.
Теория управления запасами разрабатывает методы вычисления уровня производства или запаса, обеспечивающего удовлетворение будущего спроса с наименьшими издержками.
Теория фирмы – теория поведения фирмы в различных условиях (принципы и мотивы принятия решений о ценах, о выпуске продукции, инвестициях и т.д.).
Транспортная задача – задача о наиболее экономном плане перевозок однородного груза из пункта отправления заданной мощностью в пункт назначении с заданным спросом.
Фондоемкость – показатель, определяемый объемом производственных фондов, приходящихся на единицу продукции. На макроэкономическом уровне измеряется фондоемкость совокупного общественного продукта (или конечного общественного продукта, или национального дохода). На микроэкономическом уровне – фондоемкость производства в целом и фондоемкость производства отдельных видов продукции.
Фондоотдача – величина, обратная фондоемкости производства, объем продукции в расчете на единицу используемых производственных фондов.
Функция полезности – функция на множестве потребительских наборов товаров u(x1, x2, . . ., xn), значение которой на потребительском наборе (x1, x2, . . ., xn) равно потребительской оценке индивидуума для этого набора.
Функция потребления – функция, отражающая зависимость объема потребления от дохода или иного показателя.
Функция спроса – зависимость объема спроса от определяющих его факторов.
Целевая функция – критерий оптимизации, признак, характеризующий качество принимаемого решения (максимум прибыли, минимум затрат).
Целочисленной программирование – задачи оптимизации, в которых решение должно быть в целых числах.
Целочисленный многогранник – область допустимых решений задачи целочисленного программирования.
Экзогенные величины – переменные внешние по отношению к моделируемой системе. При использовании моделей в экономических расчетах все величины, характеризующие моделируемые объекты, подразделяются на экзогенные, или входные и эндогенные, или выходные.
Экзогенные (эндогенные) величины
При использовании моделей в экономических расчетах все величины, характеризующие моделируемые объекты, подразделяются на экзогенные, или входные и эндогенные, или выходные.
Экономико-математические методы – название комплекса экономических и математических научных дисциплин, введенное академиком В. С. Немчиновым в начале 1960-х годов.
Эластичность Еу – коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин у и х. Для вычисления эластичности используют несколько эквивалентных формул (если существует конечная производная функции у =f(x) в точке х):