1.1.2. Коэффициенты эластичности спроса по цене: практическое значение, оценивание, свойства.

Понятие эластичности было введено экономистом Аланом Маршаллом в связи с анализом функции спроса. По существу, это понятие является чисто математическим и может применяться при анализе любых дифференцируемых функций.

Эластичностью функции у =f(x) в точке х₀ называется следующий предел

Если из контекста ясно, в какой точке определяется эластичность, и какая переменная является независимой, то в обозначении эластичности могут опускаться отдельные символы. Эластичность Е_у – это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин у и х. Если, например, х увеличится на один процент, то у увеличивается (приближенно) на Е_у процентов.

Для вычисления эластичности используют несколько эквивалентных формул (если существует конечная производная функции у =f(x) в точке х):

Рассмотрим теперь ряд свойств эластичности.

1. Эластичность суммы у=у₁+…+у_п положительных функций у_i удовлетворяет соотношению Е_min  Е_у  Е_max, где Е_min(Е_max) – это минимальная (максимальная) эластичность функций у_i.

2. Эластичность произведения функций u=u(x) и v=v(x) равна сумме эластичностей функций u и v: Е_uv = Е_u + Е_v.

3. Эластичность частного функций u=u(x) и v=v(x) равна разности эластичностей функций u и v: Е_uv = Е_u – Е_v..

Для сложной функции у=у(х(t)) эластичность у по t удовлетворяет равенству Е_yt = Е_yx ∙Е_xt..

Эластичность обратной функции удовлетворяет соотношению Е_xy =1/Е_yx..

Примеры:

у = х+С,

у=х^а,

Обратите внимание – эластичность степенной функции постоянна и равна показателю степени. Справедливо и обратное – если эластичность некоторой функции постоянна, то это степенная функция.

Ценовая эластичность спроса. Пусть D=D(p) – спрос (в натуральных единицах) на некоторый товар при цене р. Так как при увеличении цены спрос уменьшается, то эластичность спроса Е_D <0. Спрос называется эластичным, если Е_D < –1, и неэластичным, если Е_D > –1. Термин совершенно неэластичный спрос означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. В этом случае Е_D = 0. К таким товарам относятся жизненно необходимые лекарства, например, инсулин. В другом крайнем случае, когда самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличивать покупки от нуля до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. Можно считать, что для совершенно эластичного спроса Е_D = –. Такие ситуации возникают в случае гиперинфляции.

Если спрос со стороны отдельных покупателей или групп покупателей является эластичным (неэластичным), то и суммарный спрос также является эластичным (неэластичным). Это утверждение следует из первого свойства эластичности.

Если продавцы обладают достаточными запасами товара, то D = D(p) – это не только количество спрашиваемого товара, но и одновременно количество проданного товара. В этом случае общая выручка всех продавцов R =pD. Находим эластичность выручки по цене:

Следовательно, при эластичном спросе Е_R < 0, а при неэластичном спросе Е_R >0.

Вывод: Если спрос эластичен, то изменение цены вызывает изменение общей выручки в противоположном направлении. Если же спрос неэластичен, то изменение общей выручки происходит в том же направлении, что и изменение цены.

Эластичность спроса зависит от многих факторов:

• наличие товаров-заменителей (одним из самых неэластичных товаров является соль, т.к. ее нельзя ничем заменить);

• удельный вес стоимости товара в бюджете потребителя;

• размеры дохода покупателей (при этом цена может не меняться, изменяется платежеспособность – чем дороже товар, тем эластичнее спрос на него);

• качество товара (чем выше качество, чем менее эластичен спрос);

• степень необходимости товара (на продукты питания спрос менее эластичен, а на предметы роскоши – более эластичен);

• размеры запасов товара;

• потребительские ожидания.

Большее значение для рыночной экономики имеет связь между спросом товара и доходом потребителей. Для большинства товаров величина коэффициента эластичности спроса по доходу является положительной. Но есть и такие товары, для которых этот коэффициент может принимать отрицательное значение. Спрос на них сокращается (при определенных условиях) по мере роста доходов потребителей. Например, при общих высоких доходах потребители при дальнейшем росте доходов начинают сокращать потребление многих пищевых продуктов – хлеба, картофеля, маргарина и пр. Кроме того, отрицательные значения Е_D свидетельствуют о низком качестве продукции, так как при увеличении доходов покупатель сокращает объемы покупки, потребления продукции.

При положительном значении коэффициента эластичности по доходам можно констатировать удовлетворительное качество товаров. Причем положительная величина эластичности по доходу имеет довольно значительный разброс: от величин, близких к нулю, до величин в несколько единиц. Например, в развитых странах коэффициент эластичного спроса по доходу для многих продуктов сельского хозяйства составляет +0,2, а для автомобилей +3,0. Разница, как видим, весьма существенная. При 0 < Е_D < 1 товары данной категории относят к товарам первой необходимости, при Ед, значительно превышающем 1, – к предметам роскоши.

Информация о коэффициентах эластичности спроса по доходу имеет большое практическое значение. Она позволяет прогнозировать будущее развитие и процветание тех производств, товары которых имеют значительную величину этого коэффициента, и, наоборот, застой и сокращение производства тех товаров, для которых эластичность спроса по доходу есть величина незначительная.

Перекрестные коэффициенты эластичности.

В 1.1.2 было введено понятие эластичности функции одной переменной. Аналогично вводится понятие эластичности фун­кции нескольких переменных. Пусть, например, z =f(x, у) – функция двух переменных.

Е_zx – коэффициент эластичности z по х показывает, на сколько процентов изменится z при увеличении х на один процент. Е_zу – коэффициент эластичности z по у показывает, на сколько процентов изменится z при увеличении y на один процент.

Из определения вытекают следующие формулы:

(1.1.2)

Пример 1.1.2. Найти коэффициенты эластичности по х и по у функции z= x^y в точке (2;3).

Согласно формулам (1.1.2) имеем

Е_zx(х,у) = x(lnz)'_x = x(ylnx)'_x= у,

E_zy(x,y) = y(lnz)'_y = y(ylnx)'_y =уlnх.

Следовательно, Е_zx(2,3) =3, Е_zy(2;3) = 3ln 2.

Формулы (1.1.2) полностью аналогичны формулам, которые использовались при выводе свойств 1–3 эластичности в 1.1.2. По­этому первые три свойства эластичности справедливы и в случае функции нескольких переменных. Четвертое и пятое свойства также сохраняются, но формы их записи становятся сложнее. Ос­тановимся подробнее на этих свойствах.

Свойство 4'. Для функций z =f(x, у), х = (t) и у = (t) эластичность z no t в точке t₀ находится по формуле

Е_zt = Е_zxЕ_xt + Е_zyЕ_yt , (1.1.3)

где Е_zx, Е_zy – эластичности z по х и у в точке ((t₀), (t₀)), а Е_xt, Е_yt –эластичности х и у по t в точке t₀.

Для любой пары функций у₁=f₁(х₁, х₂), y₂=f₂(x₁, x₂) имеем 4 коэффициента эластичности, которые запишем в матрицу размера 2х2:

Элементы этой матрицы, расположенные вне главной диагонали, называются перекрестными коэффициентами эластичности.

Свойство 5'. Пусть х₁=g₁(y₁, y₂), x₂=g₂(y₁, y₂) – пара обратных функций для функций у₁=f₁(х₁, х₂), y₂=f₂(x₁, x₂). Тогда матрица коэффициентов эластичности Е_xy является об­ратной к матрице Е_yx.

Коэффициенты эластичности используются при анализе функ­ций спроса при любом числе различных товаров. В качестве при­мера рассмотрим случай с двумя товарами. Пусть х_i – количе­ство i-го товара, р_i – его цена (i= 1,2). Для пары дополняющих товаров (например, чай и сахар) или заменяющих товаров (напри­мер, масло и маргарин) естественно считать, что спрос на каж­дый товар зависит от обеих цен р₁ и р₂:

х₁=D₁(p₁, p₂), x₂=D₂(p₁, p₂) (1.1.4)

Предположим, что не только цены определяют спрос, но и, напро­тив, спрос определяет цены. Иными словами, будем считать, что систему (1.2.4) можно разрешить относительно р₁ и р₂ в следую­щем виде:

p₁=p₁(х₁, х₂), p₂=p₂(x₁, x₂). (1.1.5)

Системы (1.1.4) и (1.1.5) определяют две пары взаимно обратных функций. Согласно свойству 5' матрица коэффициентов эластич­ности цен по спросу может быть найдена как обратная матрица коэффициентов эластич­ности спроса по цене.

Пример 1.1.3. Пусть х₁=10p₁^-1.2 p₂^0.8, x₂=12p₁^-0.9p₂^-0.7. (x₁ – маргарин, x₂ – масло). Коэффициенты эластичности составят матрицу

Спрос на маргарин неэластичный, на масло – эластичный, перекрестные коэффициенты эластичности показывают, что маргарин заменяет масло – повышение цены на масло на 1% ведет к повышению спроса на маргарин на 0.8%. Чтобы получить коэффициенты эластичности цены по спросу Е_ху, достаточно найти обратную матрицу Е_уx^-1.