2.6.2. Одноканальные системы массового обслуживания.

Найдем сначала среднюю длину очереди и вероятность появления очереди заданной длины на единственной станции обслуживания. Предположим, что скорость поступления и обслуживания случайны и не зависят от неограниченной длины очереди.

Модель 1.

Обозначим Р_n – вероятность образования очереди из n заказов (включая и находящийся в обслуживании) в произвольный момент времени,  – средняя скорость появления заказов,  – средняя скорость обслуживания одного заказа.

Вероятность Р_n имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время наличия очереди длиной n при функционировании системы в стационарном режиме. Например, если Р₀ = 1/2, то это означает, что в среднем половину рабочего времени очереди нет (оборудование простаивает). Справедливы следующие формулы:

Р_n = ⁿ(1 – ). (2.6.1)

Величина  = / называется интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки станции. Она выражает среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки. Найдем n – среднее число заявок, находящихся в системе

n = /( –  ). (2.6.2)

Для –среднее время ожидания обслуживания, справедливо

= 1/( –  ) – 1/. (2.6.3)

Для – средняя длина очереди

=. (2.6.4)

Пример 2.6.2. Пусть заказы на обслуживание поступают со средней интенсивностью  = 5 заявок в час. Продолжительность выполнения одной заявки в среднем равна 10 мин., т.е.  =60/10=6 з/ч. Поскольку =/= 5/6 1, система может функционировать в стационарном режиме. Найдем среднее время ожидания обслуживания = 1/( –)–1/ =1/(6–5)–1/6=5/6 (50мин), тогда среднее число клиентов, ожидающих обслуживания, равно ==25/6=4.17≈4. Для «разумного» обеспечения местами прибывающих клиентов зададимся целью обеспечить одновременно сидячими местами, например, 80% клиентов. Это эквивалентно выполнению условия

Р₀ + Р₁ + Р₂ + …+ Р_w ≥ 0.8,

где w – подлежащее определению число мест. Используя (2.6.1)

(1 – ) + (1 – ) +…+ ^w(1 – ) ≥ 0.8.

учитывая, что

(1 – ) + (1 – ) +…+ ^w(1 – ) =(1 – )(1 +  +…+ ^w) = 1 –^w+1,

получаем ^w+1 ≤ 0.2 и окончательно w ≥ ln(0.2)/ln(5/6) – 1 = 7.8 ≈ 8.

Таким образом, для одновременного размещения, по крайней мере, 80% прибывающих клиентов минимальное число сидячих мест должно быть в два раза больше среднего числа ожидающих обслуживания клиентов.

Важной характеристикой является также доля времени, в течение которого станция обслуживания простаивает. Вероятность такого события

Р₀ =1 –  ≈ 0.17.

Вероятности того, что на станции обслуживается ровно один клиент (или два – один обслуживается, второй ждет) равны соответственно:

Р₁ =(1 – ) ≈ 0.139,

Р₂ = ²(1 – ) ≈ 0.116.

Модель 2.

Рассмотрим случай ограниченной очереди, когда при наличии в системе N требований ни одна из дополнительных заявок на обслуживание не принимается либо сам клиент отказывается присоединиться к очереди из-за отсутствия места в блоке ожидания. Формулы для параметров такой системы массового обслуживания:

Р_n = ⁿ(1 – )/(1 – ^N+1), n ≤ N (2.6.5)

Р_n = 0, n > N.

Следует отметить, что в этой модели параметр = / не обязательно должен быть меньше единицы, поскольку число допускаемых в систему требований ограничено, и для  = 1 Р_n=1/(N +1).

Выражение для среднего числа находящихся в системе заявок принимает следующий вид

n = (1 – (N+1)^N + N^N+1 )/(1 – )/(1 – ^N+1), для  ≠1, (2.6.6)

N/2, для =1.

Поскольку вероятность того, что заказ не имеет возможности попасть в очередь, равняется Р_N, доля заказов, поступающих в систему, равняется 1– Р_N (относительная пропускная способность системы). Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени) определяется величиной А=(1– Р_N).

Отсюда характеристики системы имеют вид:

Для –среднее число заказов, ожидающих обслуживания:

= n – (1 – Р_N )/, (2.6.7)

для –среднее время ожидания обслуживания:

=/ /(1 – Р_N ). (2.6.8)

Пример 2.6.3. Пусть в условиях примера 2.6.2 станция располагает пятью местами для ожидающих клиентов.

В данном примере N =5+1=6, =5/6, а

Р_N =(5/6)⁶(1 – 5/6)/(1 – (5/6) ⁷) = 0.0774, N = 6.

Отсюда следует, что частота случаев, когда клиент не попадает на станцию равняется Р_N =50.0774=0.387 заявки в час, т.е. при 8-часовом режиме работы станция теряет за день 8·0,387=3 клиента.

Относительная пропускная способность системы будет 1–0.0774=0.9226, абсолютная пропускная способность А=50.9226=4.613. Применяя (2.6.6) – (2.6.8), получаем

n = (5/6)(1 – 7(5/6)⁶ + 6(5/6)⁷)/(1 – 5/6)/(1 – (5/6)⁷)= 2.29,

=2.29 – 5(1 – 0.0774)/6=1.52,

=1.52/5 /(1 – 0.0774)=0.33 часа (20 мин.).

Таким образом, при введении ограничения на количество мест для ожидания (N=6), среднее время ожидания обслуживания сократилось на полчаса. Это было достигнуто за счет «потери» в среднем 3 клиентов в день из-за недостаточности мест для ожидания. Вычислим вероятность того, что в системе обслуживаются 0, 1 или 2 клиента:

Р₀ =(1 – 5/6)/(1 – (5/6)⁷) = 0.231,

Р₁ =(5/6)(1 – 5/6)/(1 – (5/6)⁷) = 0.193,

Р₂ =(5/6)²(1 – 5/6)/(1 – (5/6)⁷) = 0.160.