- •Министерство науки и образования российской федерации
- •Раздел 1. Применение математического анализа и алгебры
- •Тема 1.1. Математические методы в маркетинге 13
- •Тема 1.2. Балансовые модели 49
- •Раздел 2. Экономико-математические методы
- •Тема 2.1. Моделирование задач принятия решений 64
- •Тема 2.2. Линейное программирование 77
- •Тема 2.3. Задачи транспортного типа 105
- •Тема 2.4. Математические основы управления проектами 131
- •Тема 2.5. Математические методы логистики 163
- •Тема 2.6. Задачи массового обслуживания 177
- •Тема 2.7. Состязательные задачи 196
- •Тема 2.8. Динамическое программирование 236
- •Тема 2.9. Многокритериальная оптимизация 268
- •Введение
- •Раздел 1. Применение математического анализа и алгебры
- •Тема 1.1. Математические методы в маркетинге
- •1.1.1. Основы моделирования спроса и потребления.
- •1.1.2. Коэффициенты эластичности спроса по цене: практическое значение, оценивание, свойства.
- •1.1.3. Функции спроса, уравнение Слуцкого
- •1.1.4. Производственные функции.
- •1.1.5. Функции выпуска продукции; функции затрат ресурсов.
- •1.1.6. Экономические примеры производственной деятельности фирм.
- •Пример 5. Предположим, что необходимо оценить работу некоторой отрасли, если известен объем производства отрасли y, затраты трудовых ресурсов l и объем используемого капитала к:
- •Исходя из теоретических знаний можем предположить, что зависимость объема производства от труда и капитала описывается пф Кобба-Дугласа .
- •Задания и задачи
- •1.1.8. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 1.2. Балансовые модели
- •1.2.1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •1.2.2. Модель равновесных цен
- •1.2.3. Модель международной торговли.
- •1.2.4. Практический блок Пример
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •1.2.5. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Раздел 2. Экономико-математические методы
- •Тема 2.1. Моделирование задач принятия решений
- •2.1.1. Этапы математического моделирования.
- •2.1.2. Основные понятия математического моделирования.
- •2.1.3. Основные типы экономических моделей
- •2.1.4. Практический блок Пример 1
- •Контрольные вопросы
- •Что представляют собой ограничения экстремальной задачи?
- •Что представляет собой целевая функция экстремальной задачи.
- •Приведите примеры экономико-математических моделей.
- •2.1.5. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.2. Линейное программирование
- •2.2.1. Моделирование задачи оптимизации производства методами линейного программирования.
- •2.2.2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
- •2.2.3. Общая задача линейного программирования.
- •2.2.4. Устойчивость оптимального решения.
- •2.2.5. Обьективно-обусловленные оценки.
- •2.2.6. Двойственная задача линейного программирования.
- •2.2.7. Применение основной задачи линейного программирования к решению некоторых экономических задач
- •1. Задача использования ресурсов.
- •2. Задача оптимального использования удобрений.
- •3. Задача составления диеты.
- •4. Задача об использовании мощностей (задача о загрузке оборудования)
- •5. Задача о раскрое материалов.
- •2.2.8. Практический блок Пример
- •2. Графическое решение системы и определение оптимальных объемов производства.
- •5. Объективно обусловленные оценки ресурсов
- •6. Устойчивость решения при изменении удельной прибыли.
- •8. Объективно-обусловленные оценки ресурсов показывают:
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.2.9. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.3. Задачи транспортного типа
- •2.3.1. Экономико-математическая модель транспортной задачи.
- •2.3.2. Исходный опорный план.
- •2.3.3. Распределительный метод решения транспортной задачи.
- •2.3.5. Вырожденные случаи. Открытая транспортная задача.
- •2.3.6. Практический блок Пример
- •1. Математическая модель.
- •2. Получение начального (опорного) плана методом северо-западного угла
- •3. Итерации по улучшению плана до получения оптимального решения.
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.3.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.4. Математические основы сетевого моделирования
- •2.4.1. Построение сетевых графиков.
- •2.4.2. Временные параметры сетевого графика
- •2.4.3. Методы оптимизации сетевого графика
- •2.4.4. Организационные аспекты применения сетевых моделей
- •2.4.5. Практический блок Примеры
- •1. Построение сетевых графиков, согласно заданному порядку предшествования работ.
- •8. Критическое время это:
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.4.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.5. Математические методы логистики
- •2.5.1. Экономическое содержание задач управления запасами.
- •2.5.2. Детерминированная статическая модель без дефицита.
- •2.5.3. Детерминированная статическая модель с дефицитом.
- •2.5.4. Простая вероятностная модель.
- •2.5.5. Практический блок Примеры
- •1. Детерминированная статическая модель без дефицита.
- •2. Детерминированная статическая модель с дефицитом.
- •3. Вероятностная модель
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.5.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.6. Задачи массового обслуживания
- •2.6.1. Общие понятия теории очередей.
- •2.6.2. Одноканальные системы массового обслуживания.
- •2.6.3. Многоканальные системы массового обслуживания.
- •2.6.4. Прикладные аспекты теории массового обслуживания.
- •2.6.5. Практический блок Примеры
- •1. Одноканальная система обслуживания с неограниченной очередью
- •2. Одноканальная система обслуживания с ограниченной очередью.
- •3. Многоканальная система обслуживания с неограниченной очередью.
- •Контрольные воросы
- •Задания и задачи
- •2.6.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.7. Состязательные задачи
- •2.7.1. Основные понятия теории игр.
- •2.7.3. Игры с природой
- •2.7.4. Биматричные игры
- •2.7.5. Понятие коалиционных игр.
- •2.7.6. Практический блок Примеры
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.7.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.8. Динамическое программирование
- •2.8.1. Область применения моделей динамического программирования.
- •2.8.2. Основные идеи динамического программирования.
- •2.8.3. Распределение q средств между n предприятиями.
- •2.8.4. Динамическая задача управления запасами.
- •2.8.5. Стохастическое динамическое программирование.
- •2.8.6. Задачи износа и замены оборудования
- •2.8.7. Практический блок Пример 1
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.8.8. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •2.9. Многокритериальная оптимизация.
- •2.9.1. Понятие многокритериальности.
- •2.9.2. Оптимальность по Парето.
- •2.9.3. Метод идеальной точки.
- •Заданы две целевые функции
- •2.9.4. Принятие решений на основе метода анализа иерархий
- •2.9.5. Общая классификация эвристических методов решения многокритериальных задач
- •2.9.6. Практический блок Пример 1
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.9.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •1. Математические методы в маркетинге
- •2. Исследование производственных функций
- •Вопросы для подготовки к зачету
- •Итоговые тесты
- •Список рекомендуемой литературы
- •Предметный указатель
2.8.4. Динамическая задача управления запасами.
Применим изложенный выше подход к решению простейшей задачи управления запасами.
Пример 2.8.3. Необходимо разработать такую календарную программу выпуска изделия на плановый период, состоящий из Т временных отрезков, при которой общая сумма затрат на производство и на содержание запасов минимизируется при условии полного и своевременного удовлетворения спроса. Обозначим:
dn – спрос на отрезке n от конца;
cn(x,s) – затраты на отрезке n, связанные с выпуском х единиц изделия и с содержанием запасов, объем которых на конец отрезка равен s единиц. В этой системе обозначений подстрочный индекс «1» соответствует конечному, а «Т» – начальному состоянию.
Состояние системы в начале каждого отрезка определяется уровнем запасов, поэтому для принятия решения об объеме выпуска не нужно знать, каким образом достигнут этот уровень, т.е. опять же имеем систему без обратной связи.
Пусть fn(s) – стоимость, отвечающая стратегии минимальных затрат на n оставшихся отрезках при уровне запасов s на начало n-го от конца отрезка;
xn(s) – объем выпуска, обеспечивающий достижение fn(s).
Пусть уровень запасов на конец планового периода равен нулю, тогда при уровне запасов s на начало последнего (1-го от конца) отрезка выпуск x1(s)=d1–s и
f1(s)= c1(x,0)= c1(d1 – s,0), s=0,1,…,d1.
Заметим, что если начальный уровень запасов отрезка n равен s, а объем выпуска – х, то величина (s+х–dn) – есть уровень запасов на конец данного отрезка, отсюда получаем общее рекуррентное соотношение в виде:
fn(s) = minx[cn(x, s+х–dn)+ fn-1(s+х–dn)], n=1,…,Т, s=0,1,…,d1+…+ dn.
Для упрощения вычислений предположим, что производственные мощности и складские площади ограничены, пусть х=0,1,…,5 и s=0,1,…,4. Допустим также, что спрос и затраты постоянны во времени, и пусть dn=3, а cn(x, s)= c(x)+hs, где первое слагаемое относится к производству, а второе определяется стоимостью содержания запасов (арендная плата за складские помещения, проценты за кредит для создания запасов, страховые взносы и собственно расходы по содержанию запасов). Пусть с(0)=0, с(1)=15, с(2)=17, с(3)=19,с(4)=21, с(5)=23; h=1.
Для n=1 f1(0)=с(3)=19 при x1(0)=3,
f1(1)=с(2)=17 при x1(1)=2,
f1(2)=с(1)=15 при x1(2)=1,
f1(3)=с(0)=0 при x1(3)=0.
Для n=2 f2(0)=min[с(3)+0+f1(0),c(4)+1+f1(1),c(5)+2+f1(2)]=
=min[19+19,21+1+17,23+2+15]=38 при x2(0)=3,
f2(1)=min[с(2)+0+f1(0),c(3)+1+f1(1),c(4)+2+f1(2),c(5)+3+f1(3)]=
=min[17+19,19+1+17,21+2+15,23+3+0]=26 при x2(1)=5,
f2(2)=min[с(1)+0+f1(0),c(2)+1+f1(1),c(3)+2+f1(2),c(4)+3+f1(3)]=
=min[15+19,17+1+17,19+2+15,21+3+0]=24 при x2(2)=4,
f2(3)=min[с(0)+0+f1(0),c(1)+1+f1(1),c(2)+2+f1(2),c(3)+3+f1(3)]=
=min[0+19,15+1+17,17+2+15,19+3+0]=19 при x2(3)=0,
f2(4)=min[с(0)+1+f1(1),c(1)+2+f1(2),c(2)+3+f1(3)]=
=min[0+1+17,15+2+15,17+3+0]=18 при x2(4)=0.
Для n=3 f3(0)=min[с(3)+0+f2(0),c(4)+1+f2(1),c(5)+2+f2(2)]=
=min[19+38,21+1+26,23+2+24]=48 при x3(0)=4,
f3(1)=min[с(2)+0+f2(0),c(3)+1+f2(1),c(4)+2+f2(2),c(5)+3+f2(3)]=
=min[17+38,19+1+26,21+2+24,23+3+19]=45 при x3(1)=5,
f3(2)=min[с(1)+f2(0),c(2)+1+f2(1),c(3)+2+f2(2),c(4)+3+f2(3),c(5)+4+f2(4)]=
=min[15+38,18+26,21+24,24+19,23+4+18]=43 при x3(2)=4,
f3(3)=min[с(0)+0+f2(0),c(1)+1+f2(1),c(2)+2+f2(2),c(3)+3+f2(3),c(4)+4+f2(4)]=
=min[0+38,16+26,19+24,22+19,25+18]=38 при x3(3)=0,
f3(4)=min[с(0)+1+f2(1),c(1)+2+f2(2),c(2)+3+f2(3),c(3)+4+ f2(4)]=
=min[1+26,17+24,20+19,23+18]=27 при x3(4)=0.
И, наконец, для n=4
f4(0)=min[с(3)+0+f3(0),c(4)+1+f3(1),c(5)+2+f3(2)]=
=min[19+48,21+1+45,23+2+43]=67 при x4(0)=3 или 4,
f4(1)=min[с(2)+0+f3(0),c(3)+1+f3(1),c(4)+2+f3(2),c(5)+3+f3(3)]=
=min[17+48,19+1+46,21+2+43,23+3+38]=64 при x4(1)=5,
f4(2)=min[с(1)+f3(0),c(2)+1+f3(1),c(3)+2+f3(2),c(4)+3+f3(3),c(5)+4+f3(4)]=
=min[15+48,18+45,21+43,24+38,23+4+27]=54 при x4(2)=5,
f4(3)=min[с(0)+0+f3(0),c(1)+1+f3(1),c(2)+2+f3(2),c(3)+3+f3(3),c(4)+4+f3(4)]=
=min[0+48,16+45,19+43,22+38,25+27]=48 при x4(3)=0,
f4(4)=min[с(0)+1+f3(1),c(1)+2+f3(2),c(2)+3+f3(3),c(3)+4+ f3(4)]=
=min[1+45,17+43,20+38,23+27]=46 при x4(4)=0.
Сведем результаты вычислений в таблицу 2.8.2.
Таблица 2.8.2.
s |
n=1 |
n=2 |
n=3 |
n=4 |
n=5 |
n=6 |
n=7 |
n=8 | ||||||||
х1 |
f1 |
x2 |
f2 |
x3 |
f3 |
x4 |
f4 |
x5 |
f5 |
x6 |
f6 |
x7 |
f7 |
x8 |
f8 | |
0 |
3 |
19 |
3 |
38 |
4 |
48 |
3,4 |
67 |
5 |
79 |
4 |
96 |
3,4 |
115 |
5 |
127 |
1 |
2 |
17 |
5 |
26 |
5 |
45 |
5 |
64 |
5 |
74 |
5 |
93 |
5 |
106 |
5 |
123 |
2 |
1 |
15 |
4 |
24 |
4 |
43 |
5 |
54 |
4 |
72 |
4 |
91 |
5 |
102 |
4 |
120 |
3 |
0 |
0 |
0 |
19 |
0 |
38 |
0 |
48 |
0 |
67 |
0 |
79 |
0 |
96 |
0 |
115 |
4 |
|
0 |
18 |
0 |
27 |
0 |
46 |
0 |
65 |
0 |
75 |
0 |
94 |
0 |
107 |
Читателю предоставляем возможность проверить результаты вычислений для n = 5 8. Теперь, задаваясь различным уровнем запасов на начало планового периода, можно определить оптимальные стратегии для любого Т от 1 до 8. Так, например, если исходный уровень запасов на начало планового периода равен нулю, то оптимальный календарный план при Т=4 будет:
x4(0)=3, x3(0)=4, x2(1)=5, x1(3)=0 или
x4(0)=4, x3(1)=5, x2(3)=0, x1(0)=3
и минимальная общая сумма затрат составит 67.
Пусть Т=8, тогда минимальная общая сумма затрат составит 127 и x8(0)=5, останется на следующий отрезок 5-3=2, имеем x7(2)=5, значит на следующий отрезок останется 2+5-3=4 и x6(4)=0, останется 4-3=1 и x5(1)=5, останется 1+5-3=3, x4(3)=0, останется 3-3=0, x3(0)=4, останется 4-3=1, x2(1)=5, останется 1+5-3=3 и x1(3)=0.
В таблицу 2.8.3 сведем оптимальные стратегии (планы выпуска) для плановых периодов длительностью Т и начальным уровнем запасов равным нулю.
Обратим внимание на Т=4. Здесь два оптимальных решения, дающих минимальные затраты 67. При Т=7 имеем три решения с одинаковым значением целевой функции 115.
Таблица. 2.8.3
Плановый период Т |
n=8 янв |
n=7 фев |
n=6 мар |
n=5 апр |
n=4 май |
n=3 июн |
n=2 июл |
n=1 авг |
Общая сумма затрат |
Средне- месячные затраты |
1 |
3 |
|
19 |
19 | ||||||
2 |
3 |
3 |
|
38 |
19 | |||||
3 |
4 |
5 |
0 |
|
48 |
16 | ||||
4 |
3 4 |
4 5 |
5 0 |
0 3 |
|
67 |
16.75 | |||
5 |
5 |
5 |
0 |
5 |
0 |
|
79 |
15.8 | ||
6 |
4 |
5 |
0 |
4 |
5 |
0 |
|
96 |
16 | |
7 |
3 4 4 |
4 5 5 |
5 0 0 |
0 3 4 |
4 4 5 |
5 5 0 |
0 0 3 |
|
115 |
16.43 |
8 |
5 |
5 |
0 |
5 |
0 |
4 |
5 |
0 |
127 |
15.9 |
Анализ оптимальных вариантов производственной программы, приведенных в табл. 2.8.3, свидетельствует о том, что январский выпуск поначалу возрастает с ростом Т, а затем колеблется около 5, аналогично, среднемесячные затраты испытывают колебания (при минимальном их значении 15.8). Проводя подобный анализ для следующих месяцев (при достаточно большом Т), получим оптимальное решение для бесконечного периода планирования. В условиях настоящего примера таким решением будет повторение производственного цикла (5,5,0,5,0,…) при среднемесячных затратах 15.8. (вычисления опускаем).
Приведем общую оценку отличительных особенностей метода динамического программирования. В его основе лежит разбиение задачи с многими ограничениями и большим числом переменных на последовательность шагов, на каждом из которых решается оптимизационная задача меньшей размерности, т.е. задача сводится к следующему виду:
Управляемые переменные и соответствующие ограничения группируются по шагам, и многошаговый процесс принятия решений исследуется в определенной последовательности.
Для выбора оптимальных значений переменных на рассматриваемом шаге используется значение состояния только на данном шаге.
Решение, принимаемое при заданном текущем состоянии системы, оказывает прогнозируемое влияние на состояние системы на последующем шаге.
Оптимальность текущего решения оценивается в терминах прогнозируемого экономического эффекта для рассматриваемого шага и всех последующих шагов.