Уч.пособие-по-ОДМ-2012

.

минимизации булевых функций

П

.

В

5.1 Склейка соседних наборов

Определение 5.1. Два набора σ1

и σ2 называются соседними.

, если

Барашев

они отличаются ровно в одной

координате:

e

e

σ1

= (σi

, σi

, . . . , σi

k−1

, 0, σi

, . . . , σi );

σ

1

2

, . . . , σ

, , σ

k+1

.s А

σ

, σ

ik−1

ik+1

, . . . , σ

is )

.

e2

= ( i1

i2

1

Унучек

наборов число координат, равных единице, различается

У соседних

e

С

на 1.

Геометрически на булевом кубе соседние наборы образуют ребра

σ3 = ( 10 1

МИРЭА0e01 ) −

куба.

ставив этим наборам в

соответствие набор

e

e

−

e

σ = (σi1 , σi2 , . . . , σik−1 , −, σik+1 , . . . , σis ).

Символ " "

заменяет координату, значение которой на этих наборах

различно.

Например, наборы

σ1 = (101 0 01) -

соседние наборы;

σ = (101 1 01)

результат их склейки

eσ2

= (101

01).

Наборы

σ2 = ( 10 0 1e01 )

соседними не являются, так как

e

различаются в

двух координатах, и склейке не подлежат.

e

K1

= x

i

i

x

i

k−1 xik x

i

x

is

;

i

1 x

2

k+1

i

ik 1

ik+1

is

e e1i1

2i2

· · ·

i−k−1

ik+1

· · ·

is

.

K2 = xi1

xi2

· · · xik−1

xik xik+1

· · · xis

Тогда операция склейки соответствует упрощению формулы

K1 K2 =

i

1

i

2

i

k−1

i

k+1

is

i

1

i

2

i

k−1

i

k+1

is

= xi1

xi2

xi1

xi2

=

· · · xik−1

xik xik+1

· · · xis

· · · xik−1

xik xik+1 · · · xis

i

i

i

k−1

i

1

2

k+1

is

xik ) =

= xi1

xi2

(xik

· · · xik−1

xik+1

· · · xis

П

i

i

i

k−1

i

k+1

is

= xi1

1

xi2

2

.

· · · xik.−1 xik+1

· · · xis

.

В геометрической форме склейка означает объединение двух соседних

вершин в интервал - ребро.

5.2

Алгоритм Квайна - Мак-КласкиВ

.

2. РазмещаемБарашевнаборы носителя по классам по количеству единиц в

Алгоритм рассмотрим на конкретном примере.

.

А

Унучек

нимальные ДНФ для булевой функции f = (0101С0111) методом Квай-

на - Мак-Класки.

e

Решение.

МИРЭА

1. Находим носитель функции Nf

= {σ Bn|f(σ) = 1}.

}

В нашем примере

N

f = { (001)

e

e

.

,

(011), (101), (110), (111)

наборе. Для функции n переменных таких классов n + 1 :

S0, S1, . . . , Sn.

S0

Набор помещаем в класс Si, если он

S1

(001)

содержит ровно i

единиц. Некоторые

(011)

классы могут быть пустыми.

S2

(101)

Двоичные наборы записываем в 1

(110)

столбец таблицы.

S3

(111)

S1

(001)

- соседние наборы

S2

(011)

- результат склейки

(0-1)

.

S1

(001)

- соседние наборы

S2

(101)

- результат склейки

(-01)

.

.

В

Не все наборы из соседних классов являютсяПсоседними и склеи-

ваются между собой.

А

Барашев

S1

(001) - соседними не являются

S2

(110)

и не склеиваются

.

С

Продолжаем склейку, пока есть пары соседних наборов.

Унучек

S2

(110)

S2

(011)

S2

(101)

S3

(111)

S3

(111)

S3

(111)

(-11)

МИРЭА

(1-1)

(11-)

S0

S1

(001) *

(0-1)

(-01)

(011) *

(-11)

S2

(101) *

(1-1)

(110) *

(11-)

S3

(111) *

4. Склеиваем наборы из

соседних классов, расположенные во 2

столбце. В дальнейшей

склейке участвуют наборы,.имеющие про-

Например, наборы

( 0 − 1 )

В

- соседние,.П

( 1 − 1 )

А

результат их склейки - (− − 1 ),

.

Барашев

.

а наборы ( 0 − 1 )

соседними не являются.

( −11 )

Унучек

С

боры опять помечаем " ".

быть склеены.

МИРЭА

S0

S1

(001)

*

(0-1) *

(- -1)

(-01)

*

(- -1)

(011) *

(-11) *

S2

(101) *

(1-1) *

(110) *

(11-)

S3

(111) *

S0

.

рическом методе.

П

S1

(001)

*

(0-1) *

.

(− − 1)

(-01) *

.

(011)

*

(-11) *

S2

(101)

*

(1-1) *

А

Барашев

(110)

*

(11−)В

.

S3

(111)

*

С

(001)

(011)

(101)

(110)

(111)

K1

(11-)

1

1

K2

(- -1)

1

1

1

1

кантам. В таблице покрытия ядровые импликанты обычно обо-

.

значают буквой "Я". Соединяя эти импликанты знаком "дизъ-

юнкция" , получаем ядро функции.

П

.

(001)*

(011)*

(101)*

(110)*

(111)

ЯK1 (11-)

В

1k

.1

ЯK2 (- -1)

1k

1k

1k

А

1

В рассматриваемом примере отмеченных столбцов.

4, находятся

Барашев

С

Патрика состоит из одного слагаемого K1K2. Ему соответствует

одна тупиковая ДНФ. Так как все скобки сократились, то ядровая

ДНФ совпадает с тупиковой (мы подтвердили результат, получен-

.

ный на предыдущем шаге алгоритма). Эта же ДНФ является и

минимальной.

П

.

K2 = x1x2 x3;

ДНФмин(f) = ДНФтуп(f) = ДНФядр(f) = K1

В

.

r(ДНФмин(f)) = 3.

А

Заметим, что находить ядровую ДНФ дважды не обязательно.

Барашев

Пункт 8 алгоритма можно пропускать.

.

Пример 5.2. Найти сокращенную, ядровую, все тупиковые и все ми-

нимальные ДНФ для булевой функции f

= (1101 0001 1000 1111)

методом Квайна.

e

С

Решение.

менных.

Унучек

МИРЭА

x1

x2

x3

x4

f

0

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

1

1

1

.

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

.

1

1

0

В

0

.1 П

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

Барашев

.

Носитель функции

1

1

1

1

1

А

Nf = { (0000), (0001), (0011), (0111),

Унучек

(1000), (1100), (1101)С, (1110), (1111) }.

2. Разобьем носитель по классам S0, S1, S2

, S3

, S4 по количеству еди-

ниц в наборе.

МИРЭА

S0

(0000)

S1

(0001)

(1000)

S2

(0011)

(1100)

(0111)

S3

(1101)

(1110)

S4

(1111)

S0

(0000)*

(000-)

(-000)

S1

(0001)*

(00-1)

(1000)*

(1-00)

(0011)*

(0-11)

S2

(1100) *

(110-)

(11-0)

(0111)*

(-111)

S3

(1101)*

(11-1)

.

(1110)*

(111-)

S4

(1111) *

П

.

Обратим внимание, что набор, состоящий из всех нулей (он рас-

В

положен в классе S0), склеивается со всеми наборами из класса

S1, а набор из всех единиц - со всеми наборами из класса S3.

4. Применим операцию склейки к наборам из второго столбца,. также

БарашевS3 (1101)* (11-1)*

помечая соседние наборы. Результат записываем в 3 столбец.

S0

(0000)*

(000-)

.А

(-000)

Унучек

С

S1

(0001)*

(00-1)

(1000)*

(1-00)

МИРЭА

(0011)*

(0-11)

(11–)

S2

(1100) *

(110-)*

(11–)

(11-0)*

(0111)*

(-111)

(1110)*

(111-)*

S4

(1111) *

(000−)

↔ K1 =

1

2

3

x

x

x

(−000)

↔ K2 =

2

3

4

x

x

x

(00 − 1)

↔ K3 =

1

2x4

x

x

(1 − 00)

↔ K4 = x1

3

4

x

x

(0 − 11)

↔ K5 =

1x3x4

x

(−111)

↔ K6 = x2x3x4

(11 − −)

↔ K7 = x1x2

ДНФсокр(f) = K1 K2 K3 K4 K5

K6

K7 =

П

=

x

1

x

2

x

3

x

2

x

3

x

4

x

1

x

2x4 x1

x

3

x

4

x

1x3x4

.x2x3x4 x1x2

6. Составим таблицу покрытия.

.

(0000)

(0001)

(0011)

(0111)

В(1000)

(1100)

(1101)

(1110)

.

(1111)

Барашев

K1

(000-)

1

1

K2

(-000)

1

1

С

.

А

K3

(00-1)

1

1

K4

(1-00)

1

1

УнучекМИРЭА

K5 (0-11)

1

1

K6 (-111)

1

1

K7

(11-)

1

1

1

1