Уч.пособие-по-ОДМ-2012

0bB @b

@@bB1

B

B

BB

BB

00bDD

01BbDD

10bDD

BbDD

11

D

D

D

D

DD

DD

DD

DD

И так далее. Так как на каждом ярусе дерева число ветвей, ведущих

П

от корня, удваивается, то на n-ом ярусе число ветвей.(число булевых

наборов) равно 2n.

.

2 способ (методом математической индукции)

Базис индукции

В

Для n = 1

|B1| = 21

, то есть утверждение теоремы верно .

Индуктивный переход

А

но однозначноБарашевсопоставить целое

e

n

.

Пусть теорема доказана для k = n − 1, то есть

|Bn−1| = 2n−1.

Докажем тождество для k = n.

Набор

α

=

(α1, α2, . . . , αn−1, αn) длины n отличается от набо-

ра

β =

(α1, α2, . . . , αn−1)

длины

n-1

наличием

одной

координаты

αn

e

Унучек

∑i

e

{

B

}

e

С

α =e(α1, α2, . . . , αn−1, 0) либо

α = (α1, α2, . . . , αn−1, 1). Так количество

|

|

e

·

2n−1

различных наборов

e

всех наборов

β

равно

, то

α в 2 раза больше,

e

1 + 8 = 9.

P (α1) =

1 · 2

+ 0 · 2

+МИРЭА0 · 2 + 1 · 2 + 0 · 2 =

то есть

n

= 2

2n−1

= 2n.

неотрицательное число

P (α) = αn ·20 +αn−1 ·21 +αn−2 ·22 +· · ·+α2 ·2n−2 +α1 ·2n−1 =

αi ·2n−i.

=1

Это число P (α) называют номером набора α.

набору

α

=

(01001)

соответствует

номер

Например,e 0

1

1

2

3

e

4

e

e

≤

≤

−

e

Очевидно, что набор

α

-

двоичное разложение своего номера

P (α).

e

e

2n

1.

Из определения номера следует, что 0 P (α)

.

2.2 Способы задания булевых функций

2.2.1 Табличный способ задания

П

.

.

Любую булеву функцию f(x) при n ≥ 1 можно задать таблицей T (f), в

e

которой двоичные наборы σ = (σ1, σ2, . . . , σn) выписываются строго в

P (σ)Барашев= 2n − 2 1 1 · · · 1 0

А

f(1, 1, . . . , 1, 0)

порядке возрастания их

номеров (так называемоеВ

стандартное или

e

.

лексикографическое расположение наборов). Булевы наборы распо-

С

x1 x2

· · ·

xn−1 xn

f(x1, x2, . . . , xn−1, xn)

P (σ) = 0

0

0

· · ·

0

0

f(0, 0, . . . , 0, 0)

P (σ) = 1

0

МИРЭА

0

· · ·

0

1

f(0, 0, . . . , 0, 1)

σ

0

0

1

0

f(0, 0, . . . , 1, 0)

P (e) = 2

· · ·

e

σ

n

1

1

· · ·

0

1

· · ·

P (e) = 2

−

3

· · ·

f(1, 1, . . . , 0, 1)

e

n

n

n

σ

1

1

1

1

1

f(1, 1, . . . , 1, 1)

P (e) = 2

−

· · ·

e

Унучек= 2

истинности булевой

Замечание 2.2. Так как |B

|

, то таблица

n

функции, зависящей от n переменных, содержит ровно 2

строк.

0

x1 x2

f(x1, x2)

0

0

0

1

0

1

1

2

1

0

1

3

1

1

0

n переменных одинакова, различаются лишь правые части, то булевы

В

.

функции удобно задавать вектором значений.П

f = (α0, α1, α2

, . . . , α2n−2, α2n−1),

А

Барашев

где координата

α

i

равна значению функции f(x)

на наборе σ , имею-

e

i

щем номер i ( то есть, f(σi) = αi, P (σi) = i).

частиeтаблицы

С

При векторном задании функции столбец изeправой.

истинности переписываютeв виде

вектора-строки.

e

Унучек

Пример 2.3. f(x1

, x2) = (0110) - векторный способ задания функции

из примера

2.2.

e

МИРЭА

называют единичными наборами . Множество всех единичных на-

.

боров данной функции - единичным множеством или носите-

лем булевой функции Nf .

П

.

Nf = {σ Bn|f(σ) = 1}

Аналогично, наборы, на которых значение функции равно 0, называ-

e

eВ

.

ют нулевыми наборами . Множество всех нулевых наборов данной

функции - дополнением к носителю двоичной функции

Nf

.

А

Nf = Nf = {σ Bn | f(σ) = 0.}

Очевидно, что для задания булевой функции достаточно указать

e

e

С

либо только носитель функции, либо только дополнение к нему. Пе-

Барашев

для функции из при-

Пример 2.4. Указать носитель и его дополнение

Унучек

мера 2.2.

Решение.

Подчеркнем в таблице истинности функ-

x1

x2

f(x1, x2)

ции наборы, на которых значение функ-

0

0

0

0

1

1

ции равно 1. Эти наборы принадлежат

носителю Nf . Неподчеркнутые наборы

1

0

1

МИРЭА

1

1

0

составляют дополнение к множеству Nf .

шивать вершины носителя в черный цвет. Вершины, принадлежащие

дополнению к носителю, останутся белыми.

.

.

Карты Карно можно рассматривать как некую плоскую развертку

n−мерного куба Bn. Подробно они будут изученыПв разделе 6.1 на

странице 90.

В

.

А

Замечание 2.7. Геометрическое изображение любой булевой функ-

Барашев

ции задаёт её единственным образом. И наоборот, любую двоичную

.

функцию можно изобразить на кубе, притом едиственным образом.

Пример 2.5. Изобразить геометрически функцию f(x

, x

) = (0110)

из примера 2.2.

Унучек

С e 1

2

Решение. Обозначим вершины носителя на двоичном кубе черным

цветом:

МИРЭА

x2

6

e

(01)

u

(11)

-

(00)

e

u(10)x1

e

3

ром f = (0110 0110).

Решение. Поскольку

длина

вектора

значений функции

равна

8 =

2 , функция

зависит

от 3-х

переменных (см.

замеча-

x

y

z

f

z

0

0

0

0

6

e

0

0

1

1

(001)

u

(011)

0

1

0

1

0

1

1

0

(111)

(101)

u

e

-

y

1

0

0

0

(000)e

u(010)

1

0

1

1

1

1

0

1

(100)

u(110)

e

1

1

1

0

х

.

П

Мы изучили 4 способа задания булевых функций. Еще один способ,

с помощью формул, мы изучим в пункте 2.3.3 на стр. 19.

.

.

В

2.2.5 Способы задания функций алгебры логики, изучаемые

в нашем курсе:

А

Барашев

.

1. Таблица истинности

С

2. Вектор значений

3. Носитель функции либо его дополнение

4. Геометрический способ

5. Формула

МИРЭА

2.3

Элементарные булевы функции

2.3.1 Двоичные функции одной переменной

Логических функцийУнучекодной переменной 221 = 22 = 4. Перечислим

таблицы истинности всех функций .

x

x

а)

- тождественная

функция .

0

0

f1(x) = x

1

1

x

f2(x) =

= ¬x - функция отрицание, инверсия,

x

x

б)

логическое "НЕ" (в информатике часто обозначается

0

1

1

0

"NOT" ).

x

0

в)

0

0

f3(x) ≡ 0

- функция тождественный нуль .

1

0

равно нулю.

x

1

П

г)

f4(x) ≡ 1

- функция тождественная.

единица

0

1

1

1

.

.

В

.

Значение функции всегда равно единице.

А

2.3.2 Булевы функции двух переменной

Барашев

22

.

Всего двоичных функций двух переменных 2

= 2

= 16. Однако,

тинности мы сейчас познакомимся .

x

y

xy

Унучекy

x y

x

0

0

0

f1(x, y) = x · y = x y =Сx&y = xy

- функ-

а) 0

1

0

ция конъюнкция, логическое умножение, логиче-

1

0

1

("ORМИРЭА").

1

0

0

ское "И" ( в информатике обычно обозначается

1

1

1

"AND").

Замечание 2.9. xy = min(x, y).

f2(x, y) = x y

- функция дизъюнкция,

0

0

0

б) 0

1

1

логическое сложение,

"логическое ИЛИ"

1

1

1

x

y

x y

0

0

0

f3(x, y) = x y

- функция сложение

в) 0

1

1

1

0

1

по модулю 2, "исключающее ИЛИ" ("ХOR").

1

1

0

сумма чисел х

и y не превышает 1, оба сложения ( логическое и по

.

модулю 2) равны между собой. Различаются эти функции алгебры

логики только на наборе (11).

П

x

y

x y

.

f4(x, y) = x yВ= x ≡ y

.- функция

0

0

1

г) 0

1

0

1

0

0

эквивалентность, "логическое тождество".

А

1

1

1

Барашев

.

С

наборе противоположно значению функции "сложение по модулю 2".

Унучек

Cправедливо тождество x

y = x y.

x

y

x → y

МИРЭА

0

0

1

f5

(x, y) = x → y = x y

- функция

д) 0

1

1

1

0

0

импликация, "логическое следование".

1

1

1

способов задания, представление булевой функции формулой не един-

ственно.

.

называются эквивалентными или равносильными.

.

В

А

.

Пример 2.8. Формулы x|y и x&y из примера 2.7 а) эквивалентны.

С

2.3.4 Приоритет выполнения булевых функций

Барашев