Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Уч.пособие-по-ОДМ-2012

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

2.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2712 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

	Основные свойства замыкания:
•	K1 K2 [K1] [K2]
•	[K1 K2] [K1] [K2]
•	[K] K
•	[[K]] = [K]

7.2 Классы Tσ, сохраняющие константу σ

Определение 7.3. Классом T0

, сохраняющим константу 0, на-

зывается множество булевых функций, для которых выполнено равен-

ство f(0, 0, . . . , 0) = 0 :

Барашев

= {f(x) P2

f(0, 0, . . . , 0) = 0}.

Аналогично

определяется класс T

, сохраняющий константу 1:

.А

T1 = {f(xe) P2 | f(1, 1, . . .С, 1) = 1}.

Унучек

, f2

, f3, f4 клас-

Пример 7.2. Определить принадлежность функций f1

= (1011 1101)

МИРЭА

сам

и T1.

f1 T0

f1 T1

а) e1f1

(000) = 0

;

f1(111) = 1

f = (0011 0111)

б) e2f2

(000) = 1

f2 / T0

;

f2(111) = 0

f2 / T1

f = (1010 1010)

в) e3f3

f3 T0

;

f3 / T1

(000) = 0

f3(111) = 0

f = (0110 0110)

г) e4f4(000) = 1

f4 / T0

;

f4 T1

f4(111) = 1

111

Замечание 7.1. Для того, чтобы определить принадлежность функции к классу T0, достаточно знать значение функции только на одном двоичном наборе: наборе, состоящем из всех нулей (значения функций на этом наборе в приведенном выше примере подчеркнуты одной чертой). Этот набор является самым первым набором в таблице истинности и в векторе значений функции. Аналогично, для определения принадлежности функции к классу T1, достаточно знать значение функции только на одном двоичном наборе: наборе, состоящем из всех

единиц (значения функций на данном наборе в примере подчеркнуты
	.
двумя чертами). Этот набор является последним набором в таблице
истинности и в векторе значений функции.	П

Замечание 7.2. Как видно из приведенного.выше примера, классы T0 и T1 пересекаются только частично: одна и та же функция может

принадлежать или не принадлежать обоим классам либо одному из
них.		В		.
Замечание 7.3. Так как суперпозиция функций включаетАв себя под-
становку			.
становку		С
а) тождественной функции

б) подстановку других функций,
то для доказательства замкнутости любого класса K булевых функций
необходимо рассмотреть два случая:
	Барашев
	Унучек
	МИРЭА

1. тождественная функция f(x) = x K

2. любая суперпозиция функций f, f1, . . . , fm K также принадлежит классу K :

F = f(f1, . . . , fm) K.

Теорема 7.1. Класс T0 является функционально замкнутым, то есть

[T0] = T0.

Доказательство.

112

1.Очевидно, что f(x) = x T0

2.Пусть функции f, f1, f2, . . . , fm T0. Докажем, что любая суперпозиция функций f1, f2, . . . , fm также принадлежит этому классу, то есть

f, f1, f2, . . . , fm T0 F = f(f1, f2, . . . , fm) T0.

f, f1, f2, . . . , fm T0 f(0, 0, . . . , 0) = f1(0, 0, . . . , 0) =

= f2(0, 0, . . . , 0) = · · · = fm(0, 0, . . . , 0) = 0

		П
Найдем значение функции F на наборе, состоящем.из всех нулей.
F (0, 0, . . . , 0) =	В		.

= f(f1(0, 0, . . . , 0), f2(0, 0, . . . , 0), . ... , fm(0, 0, . . . , 0)) =
		= f(0, 0, . . . , 0) = 0.
переменных:Барашев		А
Мы получили, что функция F на наборе, состоящем из всех нулей,
принимает значение 0, то есть F T0.		.

Доказательство. Унучекf T0 f(0, 0, . . . , 0) = 0, то есть вектор значений
Аналогично доказывается									С
Теорема 7.2. Класс T1		является функционально замкнутым, то
2 3	2		МИРЭАДлина этого набора n							−
есть
				[T1] = T1.
Теорема 7.3. Класс T0 содержит						1	2	2n	функций, зависящих от n
Теорема 7.3. Класс T0 содержит						2 ·	2		функций, зависящих от n
	\|	T		\| = 2	2n−1	=	1		2n .
	\|		0	\| = 2		=	2	· 2

функции принимает вид f = (0, α2, α3, . . . , α2n ). Это означает, что чис-

ло различных функций в классе T		равно числу различных двоичных
наборов (0, α , α , . . . , α n )e.	0	равна k = 2n 1. Всего

число различных наборов длины k равно 2k = 22 −1. Таким образом,

|T0| = 22n−1 = 12 · 22n .

113

7.3Класс S самодвойственных функций

Определение 7.4. Функция f (x1, x2, . . . , xn) называется двойственной к функции f(x1, x2, . . . , xn), если выполняется равенство

f (x1, x2, . . . , xn) = f(x1, x2, . . . , xn).

Для любой булевой функции можно задать двойственную ей.

												.
Пример 7.3. Построить таблицу истинности функции, двойственной
e										П
к f1 = (0011 0111).									.
Решение.									.
	x1	x2	x3	f1				В
								В						.
0		0	0	0										.
0		0	0	0
0		0	1	0	Построим таблицу истинности функции f1 и
0					Построим таблицу истинности функции f1 и
				Барашев= f1(1, 1, 1) = 1 = 0.
		1	0	1	вычислим значения, которые принимает двой-
0		1	1	1						.
1		0	0	0	ственная к ней функция на всех двоичных на-
1		0	1	1	борах.				С				А
1		1	0	1
1		1	1	Унучек
1		1	1	1
	x1 x2 x3			f1	f1	МИРЭА
0		0	0	0	0
0		0	1	0		По определению двойственной функции
0		1	0	1
0		1	1	1			f1 (0, 0, 0) =			f	1(0, 0, 0) =
1		0	0	0
1		0	0	0
1		0	1	1
1		1	0	1
1		1	1	1

114

x1 x2 x3			f1	f1

0	0	0	0	0
0	0	1	0	0
0	1	0	1		f1 (0, 0, 1) =
0	1	0	1		f1 (0, 0, 1) =	f	1(0, 0, 1) =
0	1	1	1
0	1	1	1		= f1(1, 1, 0) = 1 = 0.
1	0	0	0		= f1(1, 1, 0) = 1 = 0.
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

	И так далее вычисляем значения двойственной функции в каждой
строке таблицы истинности.																			.
	x1 x2 x3					f1	f1									., 0)П= f (1, 0, 1) = 0;
	x1 x2 x3					f1	f1
														,
	0	0	0			0	0	f (0, 1, 0) =
										f
										f	1	(0			1
0		0	1			0	0	1			1								1
0		0	1			0	0	f1 (0, 1, 1) = f			1(0, 1, 1) = f1(1, 0, 0) = 1;
0		1	0			1	0	f1 (0, 1, 1) = f			1(0, 1, 1) = f1(1, 0, 0) = 1;

								f (1, 0, 0) = f				(1, 0, 0) = f								(0, 1, 1) = 0;
								f (1, 0, 0) = f				(1, 0, 0) = f								(0, 1, 1) = 0;
0		1	1			1	1	1			1		В						1	.
0		1	1			1	1	f1 (1, 0, 1) = f			1									.
1		0	0			0	0	f1 (1, 0, 1) = f			1(1, 0, 1) = f1(0, 1, 0) = 0;

								f1 (1, 1, 0) = f1				(1, 1, 0) = f							1(0, 0, 1) = 1;
								f1 (1, 1, 0) = f1				(1, 1, 0) = f							1(0, 0, 1) = 1;
																С
1		0	1			1	0	f (1, 1, 1) =		f	1	(1		,	1	,	1) =.f А(0, 0, 0) = 1.
1		1	0			1	1	1			1								1
1		1	0			1	1
1		1	1			1	1
							Унучек
	Окончательно получаем таблицу истинности двойственной к f1
функции.								МИРЭА
Определение 7.5.								МИРЭА
								e
								e
							Наборы α = (α1, α2, . . . , αn) и β = (α1, α2, . . . , αn)
называются противоположными.																		e
	Например,Барашевα1 = (10110) и β1 = (01001)− противоположные наборы.
			f		= (01110) и			e	̸		противоположными не явля-
	Наборы α				= (01110) и			β1 = (10011)			противоположными не явля-
ются, так как f									= (10011).
				2	(0 1 1 1 0) = (10001)e				= (10011).

Замечание 7.4. Противоположные наборы расположены симметрично относительно центра таблицы истинности.

Замечание 7.5. Для определения значений двойственной функции на наборе αe = (α1, α2, . . . , αn) мы инвертируем значение функции на противоположном, то есть симметричном относительно центра таблицы

115

истинности, наборе. Поэтому, для задания вектора значений функции, двойственной к данной, достаточно переписать вектор значения исходной функции справа налево, инвертируя его.

Пример 7.4. Найти функцию, двойственную к fe2 = (1010 1010).

Решение. Используя замечание 7.5, для нахождения двойственной функции перепишем вектор значений исходной функции слева напра-

во. Получим

(1010 1010) (0101 0101).

←−−−−−−

7→

Инвертируем полученный набор:

(0 1 0 1 0 1 0 1) = (1010 1010);

f2 = (1010 1010).

.П

Пример 7.5. Построить вектор значенийВфункции, двойственной к

f3 = (1011 0110).

Решение. Аналогично предыдущему примеру

(1011 0110)

(0110 1101)

(0 1 1 0 1 1 0 1) = (1001 0010);

←−−−−−−

7→

f3 = (1001 0010).

Определение 7.6. Функция f(x1, x2, . . . , xn) называется самодвой-
ственной, если она двойственна сама себе.
рый обычноБарашевобозначают класс S:
	Унучек
принимает вид	МИРЭА

Множество всех самодвойственных функций образует класс, кото-

S = {f(xe) P2 | f(x1, x2, . . . , xn) = f(x1, x2, . . . , xn)}.

Функция является самодвойственной тогда и только тогда, когда на противоположных наборах она принимает противоположные значения. Таким образом, вектор значений самодвойственной функции

fe= (α1, α2, . . . , α2n−1−1, α2n−1 | α2n−1 , α2n−1−1, . . . , α2, α1).

116

Теорема 7.4. Число самодвойственных функций, зависящих от n
переменных, равно	√		:
переменных, равно	√	22n	:	√
			\|S\| =	√	22n:

Доказательство. Так как вектор значений самодвойственной функции имеет вид

fe= (α1, α2, . . . , α2n−1−1, α2n−1 | α2n−1 , α2n−1−1, . . . , α2, α1),

то любая самодвойственная функция однозначно определяется поло-

виной своего вектора значений, то есть набором длины
k =	1	· 2n = 2n−1.	.
	2

Значит, число самодвойственных функций n переменных равно чис-
					П
				.
лу различных двоичных наборов длины k. Количество таких наборов
равно							.
Барашев
k	2n−1	√	2n:
2	= 2 =		2В			А
Таким образом,	√	2n:		С		А
	\|S\| =	2 .
Унучек

Определять, является ли функция самодвойственной, можно несколькими способами.

7.3.1 Алгоритм 1 определения самодвойственности булевой функции

1.Вычислить вектор значений функции, двойственной к данной.

2.Сравнить полученный вектор с вектором значений исходной функции. Если оба вектора тождественно совпали, то функция является самодвойственной. Несовпадение двух векторов хотя бы

в одной координате говорит о том, что исходная функция не является самодвойственной.МИРЭА

Пример 7.6.

117

а) Функция fe1 = (0011 0111) не является самодвойственной (f1 / S),

так как

f1 = (0001 0011) ≠ (0011 0111) = f1.

б) Функция fe2 = (1010 1010) S (f2− самодвойственная функция),

так как

f2 = f2.

Так как самодвойственная функция однозначно определяется толь-

			.
ко половиной своего вектора значений, то удобнее пользоваться следу-
ющим алгоритмом:	.

7.3.2 Алгоритм 2 определения самодвойственности булевой
функции	В	П		.

1.Делим вектор значений функции пополам. Получаем два набора меньшей длины.

2.Берем любую полученную половину (обычно берут правую), переписываем её справа налево и инвертируем (все нули заменяем на единицы и наоборот).

3.Если полученный набор совпадает с оставшейся (левой) половиной вектора значений, то функция является самодвойственной.

При несовпадении строк хотя бы в одной координате, делаем вывод: функция несамодвойственна.Барашев А

а)

= (0110 0110)Унучек

МИРЭА

Пример 7.7. Исследовать функцию на самодвойственность:

а)

= (0110 0110);

б)

f4 = (1110 1000)

Решение.

(0110 | 0110) - делим вектор значений функции пополам;

←−−−−

- берем правую половину,

(0110)

1 1 0) - переписываем её справа налево

(1001)

- и инвертируем её.

Так как (0110) ≠ (1001), то функция не является самодвойственной

(f3 / S);

118

б) fe4 = (1110 1000)

(1110 | 1000) - делим вектор значений функции пополам;

←−−−−

(1000) - берем правую половину, (0 0 0 1) - переписываем её справа налево (1110) - и инвертируем её.

Так как (1110) ≡ (1110), то функция самодвойственна (f4 S).

7.3.3Алгоритм 3 определения самодвойственности булевой функции .

1.Находим середину вектора значений функции..

2.Сравниваем значения функции на наборах, симметричных относительно середины.

3.Если при таком сравнении все полученные значения функции про-

тивоположны, то функция является самодвойственной. В противном случае функция несамодвойственна. П

Использование данного алгоритма будет дано ниже, при примене-
нии леммы о несамодвойственной функции.	С

ЗамечаниеБарашев7.6. УнучекТождественная функция f1(x) = x и её отрицание f2(x) = x являются самодвойственными функциями одной переменной. Константы 0 и 1 к самодвойственным функциям не относятся. В справедливости этого замечания можно убедиться, применив к каждой из перечисленных функций алгоритм определения самодвойственности двоичных функций.

Теорема 7.5. Класс S самодвойственных функций замкнут :

	[S] = S.
Доказательство.	МИРЭА

1. f(x) = x S (см. замечание 7.6)

119

2. Докажем,

что,

если

функции

f(x1, . . . , xm), f1(x1, . . . , xn1 ), . . . , fm(x1, . . . , xnm )

S, то и

их суперпозиция F

= f(f1(x1, . . . , xn1 ), . . . , fm(x1, . . . , xnm )) S.

По определению самодвойственной функции

f(x1, . . . , xm), f1(x1, . . . , xn1 ), . . . , fm(x1, . . . , xnm ) S

f(x , . . . , xm) = f (x1, . . . , xm) =

(

1, . . . ,

f1(x11, . . . , xn1 ) = f1 (x1, . . . , xn1 ) = f1(x1, . . . , xn1 )

fm(x1, . . . , xnm ) = fm(x1, . . . , xnm ) = f.m(x

1, . . . ,

nm )

функцию, двойственную к функции

Найдем

F = f(f (x

, . . . , x

)).

), . . . , f

Пnm

F (x1, . . . , xn) =

Барашев

= F (

, . . . ,

n) = f(f1(

1, . . . ,

n1 ), . . . , fm(

1, . . . ,

nm )) =

самодвойственной функции

}

по определению

f(f1(

1, . . . ,

n1 ), . . . , fm(

1, . . . ,

nm ))

= |

}

( 1(

n1 )

применяем закон двойного отрицанияС

к f1;:::;fm

f f

, . . . ,

, . . . , f

, . . . ,

)) =

= f(|1(

МИРЭА

n}1 )

|m(

nm})) =

f (x1;:::;xn

) f1

f (x1

;:::;xn

) fm

≡

f x , . . . , x

, . . . , f

x , . . . , x

= f (f1(x1, . . . , xn1 ), . . . , fm(x1, . . . , xnm )) =

Лемма S (лемма о несамодвойственной функции).Из неса-

Унучек= f(f1(x1, . . . , xn1 ), . . . , fm(x1, . . . , xnm )).

модвойственной функции f(x1, . . . , xn) путем подстановки в неё вместо переменных x1, . . . , xn функций x и x можно получить несамодвойственную функцию одной переменной 0 или 1.

Доказательство. По условию теоремы f(x1, . . . , xn) / S, то есть

f(x1, . . . , xn) ̸ ≡f(x1, . . . , xn).

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2712 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.09.2019613.38 Кб5УМК ИЭУ УРАО.doc
#
28.09.20191.3 Mб2УМК МАКРОЭКОН УРАО.doc
#
12.09.2019131.58 Кб2Ур-я в ЧП билеты.doc
#
28.08.201953.25 Кб3Уроки Московского восстания(В.И.Ленин).doc
#
10.05.20152.36 Mб48уч пос ч1.doc
#
10.05.20152.36 Mб54Уч.пособие-по-ОДМ-2012.pdf
#
10.05.201512.87 Mб45Учебник_Информатика.doc
#
22.08.20191.43 Mб12учебник_Культурология__со_вставками.doc
#
10.05.201512.95 Mб1573Учебное пособие РСП-6М2.pdf
#
30.04.20196.79 Mб7Учебное пособие Скуратов 26 фев.doc
#
10.05.2015762.88 Кб7Фдз по АиГ1.doc