Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Уч.пособие-по-ОДМ-2012

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

2.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2722 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

∞

−

∞

−

∞

−

∞

−

∞

−

∞

−

∞

−

6 .

−

Вершины графа получают следующие метки:.

Длина кратчайшегоБарашевпути равна 9.

@.А

sv9

0l@

Унучекs s s

v@3

lМИРЭА@ l l

Кратчайший путь равен:

v0 → v2 → v4 → v7

→ v9.

v13

sv9

1 s

0l@

v@3

211

Пример 11.4. Найти кратчайший путь из вершины v0 в вершину v8 в графе, заданном списком взвешенных ребер:

{({v0, v1}, 10), ({v0, v4}, 5), ({v0, v2}, 8), ({v1, v3}, 3), ({v1, v6}, 6), ({v1, v4}, 3), ({v2, v4}, 1), ({v2, v7}, 10), ({v2, v5}, 1), ({v3, v6}, 1), ({v4, v6}, 12), ({v4, v8}, 10), ({v4, v7}, 9), ({v5, v7}, 7), ({v6, v8}, 2), ({v7, v8}, 1)}.

Решение.

Несмотря на то, что графы принято изображать, располагая вершины по кругу, мы воспользуемся более удобным способом.. Очевидно, что в списке смежные ребра указаны рядом. Поэтому целесообразно изобразить граф на рисунке, размещая смежные вершины рядом:

.П

@Вs

@ v6

∞Барашев∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

3 12

sv8 А

@ v4

−

vs2

vs7

6 Унучек∞ − ∞ 17 14

vs5

−

11 −МИРЭА− 14 14 15

Список значений меток вершин данного графа приведен в таблице:

∞

−

∞

−

∞

−

∞

−

212

Длина кратчайшего пути равна 14.

Сам путь найдем, используя обратный ход алгоритма Дейкстры:

v0 → v4

→ v1

→ v3 → v6

→ v8.

3 s

0l@

@ v4

14l

sv8 .

l 9

.П

6s@@

14sv7

v57s

Барашев

11.3 Задачи для самостоятельного решения

1. Найти кратчайший путь, соединяющий вершины v0 и v8 в графе, заданном списком взвешенных ребер.

1.({v0, v1}, 6), ({v0, v4}, 10), ({v0, v2}, 14), ({v1, v3}, 8), ({v1, v6}, 10), ({v1, v4}, 2), ({v2, v4}, 4), ({v2, v7}, 4), ({v2, v5}, 4), ({v3, v6}, 4), ({v4, v6}, 8), ({v4, v8}, 12), ({v4, v7}, 10), ({v5, v7}, 2), ({v6, v8}, 4), ({v7, v8}, 1);

2.({v0, v1}, 5), ({v0, v4}, 22), ({v0, v2}, 4), ({v1, v3}, 3), ({v1, v6}, 6), ({v1, v4}, 9), ({v2, v4}, 16), ({v2, v7}, 15), ({v2, v5}, 9), ({v3, v6}, 2), ({v4, v6}, 3), ({v4, v8}, 4), ({v4, v7}, 6), ({v5, v7}, 7), ({v6, v8}, 11), ({v7, v8}, 3);

3.({v0, v1}, 2), ({v0, v4}, 6), ({v0, v2}, 8), ({v1, v3}, 8), ({v1, v6}, 14), ({v1, v4}, 2), ({v2, v4}, 2), ({v2, v7}, 10), ({v2, v5}, 4), ({v3, v6}, 5),

({v4, v6}, 12), ({v4, v8}, 18), ({v4, v7}, 12), ({v5, v7}, 4), ({v6, v8}, 6),

({v7, v8}, 6). УнучекМИРЭА

213

2. Найти кратчайший путь от вершины v0 до вершины v13 в графе G1, заданном списком ребер.

1.	({v0, v1}, 3), ({v0, v4}, 6), ({v0, v2}, 2), ({v1, v3}, 2), ({v1, v6}, 9),
	({v1, v4}, 2), ({v2, v4}, 4), ({v2, v7}, 8), ({v2, v5}, 1), ({v3, v8}, 5),
	({v3, v6}, 6), ({v4, v6}, 6), ({v4, v9}, 8), ({v6, v7}, 5), ({v4, v7}, 4),
	({v5, v7}, 7),		({v5, v10}, 8), ({v6, v8}, 2), ({v6, v11}, 4), ({v6, v9}, 3),
	({v7, v9}, 4),		({v7, v12}, 5), ({v7, v10}, 1), ({v8, v11}, 4),
	({v9, v11}, 1), ({v9, v13}, 3), ({v9, v12}, 1), ({v10, v12}, 3),
	({v11, v13}, 2), ({v12, v13}, 2);
2.	({v0, v1}, 1), ({v0, v4}, 2), ({v0, v2}, 3), ({v1, v3}., 9), ({v1, v6}, 8),
	({v1, v4}, 2), ({v2, v4}, 1), ({v2, v7}, 5), ({v2, v5}, 2),					({v3, v8}, 2),
	({v3, v6}, 1), ({v4, v6}, 7), ({v4, v9}, 2), ({v6, v7}, 2), ({v4, v7}, 5),
	({v5, v7}, 1), ({v5, v10}, 1), ({v6, v8}, 4), ({v.6, vП11}, 7), ({v6, v9}, 5),
	({v7, v9}, 3), ({v7, v12}, 5), ({v7, v10}, 2), ({v8, v11}, 3),					.5),
1.	({v9	, v11}, 11), ({v9, v13}, 13), ({v9, v12}, 7), ({v10, v12},
	lmin	Барашев= 17; v0→v1→v4→v2→v7→v8;
	({v11, v13}, 2), ({v12, v13}, 6);			В
3.	({v0, v1}, 5), ({v0, v4}, 2), ({v0, v2}, 3), ({v1, v3},А3), ({v1, v6}, 3),
	({v1, v4}, 2),		({v2, v4}, 2), ({v2, v7}, 10),		({v2,.v5}, 1),	({v3, v8}, 2),
	({v3, v6}, 1),		({v4, v6}, 6), ({v4, v9}, 9),		({v6, v7}, 6),	({v4, v7}, 11),
3.	({v5, v7}, 9), ({v5, v10}, 5), ({v6			, v8}, 2), ({vС6, v11}, 1), ({v6, v9}, 4),
	lmin	= 20; v0	→Унучекv1→v4→v2→v5→v7→v8;
	({v7	, v9}, 2),	({v7, v12}, 3), ({v7	, v10}, 4), ({v8, v11}, 1),
	({v9	, v11}, 2), ({v9, v13}, 9), ({v9, v12}, 6), ({v10, v12}, 7),
			МИРЭА
	({v11, v13}, 11), ({v12, v13}, 3).
Ответы к задачам для самостоятельного решения
1.
2.	lmin = 17; v0→v1→v3→v6→v4→v8;
2.
1.	lmin = 15; v0→v1→v4→v7→v10→v12→v13;
2.	lmin = 16; v0→v2→v5→v7→v6→v3→v8→v11→v13;
3.	lmin = 18; v0→v4→v1→v6→v11→v9→v7→v12→v13.

214

Глава 12

Задача об оптимальном назначении

12.1Паросочетания

Напомним, что двудольным называется граф, множество вершин ко-

торого можно разбить на два непересекающихся подмножества V и W

Барашев

( на две доли) и при этом каждое ребро графа соединяет.какую-либо

вершину из V с какой-либо вершиной из W , но никакие две вершины

из одного множества не являются смежными.

Двудольный граф, множество вершин которого распадается на два

подмножества V и W , обычно обозначается G =< (V, W ), E >.

v1 sHHHH sw1

Унучекv1 s sw1

sw1

Определение 12.1. Паросочетанием в двудольном графе G назы-

вается подмножество попарно несмежных ребер графа.

sw3

v3 s

HHsw3

v3МИРЭАs sw3 v3 s

Вспомним, что ребра в двудольном графе G =< (V, W ), E > соеди-

няют вершины из доли V с вершинами доли W .

Пример 12.1.

Двудольный граф G задан графически:

s HHH s

v2 H

HH w2

sw4

v4 s

sw4

П1

П2

215

П1, П2 и П3 - паросочетания в графе G.

v1	s	sw1
v2	HH		w2
	s HH		s
v3 s		HHsw3
v4	s		sw4

v1	s	sw1
v2	s	sw2
v3	s	sw3
v4	s	sw4

v1	s	sw1
v2	s	sw2
v3	s	sw3
v4	s	sw4

П3		П4		.	П5
				П
Граф П4 не является паросочетанием в данном графе, так как ребра
{v1, w1} и {v3, w1} смежны.			.
П5 также не является паросочетанием в G, так как ребра {v4, w3} в
графе G нет.			В	А
графе G нет.

Определение 12.2. Паросочетание П в двудольном графе.G называ-
вершиныБарашевиз V найдется инцидентное ей ребро, то есть \|П\| = \|V \|.
				.
ется полным, если к нему нельзя добавить ни одного ребра, несмеж-
ного с ребрами паросочетания.
Определение 12.3. Паросочетание П в двудольном графе G назы-
неверно.	Унучек
вается максимальным, если никакое другоеСпаросочетание в G не
содержит ребер больше, чем П.
	МИРЭА

Определение 12.4. Пусть G =< (V, W ), E > - двудольный граф, множество вершин которого можно разбить на две доли V и W . Паросочетание П в графе G называется совершенным, если для всякой

Максимальное парасочетание всегда полное. Обратное неверно. Совершенное парасочетание всегда максимальное. Обратное

Пример 12.2.

Паросочетание П2 в графе G из предыдущего примера является полным, максимальным и совершенным.

Паросочетание П3 является полным, при этом ни максимальным, ни

216

совершенным не является.

Паросочетание П1 не является ни полным, ни максимальным, ни совершенным.

Пример 12.3.

v1 sHHH sw1			v1 sHHH sw1			v1 s	sw1
	HH	H	v2 s	HH	Hsw2	v2 s	sw2
v2 sHHH sw2
v3 s HHHsw3			v3 s		sw3	v3 s	sw3
	G			П1		.	П2

П1 и П2 являются максимальными паросочетаниями, но не являют-

		В	.
ся совершенными, так как \|П\| = 2 (в паросочетание.Пвходят 2 ребра), а
\|V \| = 3 (левая доля графа состоит из 3 вершин).			А
	Барашев
		.
12.2	Венгерский алгоритм	С
12.2.1	Постановка задачи

Задача 12.1. ПустьУнучекимеется n работников и m работ. Известно,

какие работы может выполнять каждый из рабочих. Требуется распределить работу между МИРЭАработниками так, чтобы наибольшее ко-

личество людей получило работу, которую они могут выполнять. Все ли работники получат работу?

Решим эту задачу при помощи графов. Работникам соответствуют вершины vi двудольного графа G =< (V, W ), E > (vi V ); работам - вершины wj (wj W ).

Если i-тый рабочий выполняет j-тую работу, то в графе существует

ребро {vi, wj}. Если i-тый рабочий не может выполнять j-тую работу,

то ребра {vi, wj} в графе нет .

Таким образом, на языке графов задача формулируется следующим образом: найти максимальное паросочетание в двудольном графе. Существует ли в графе совершенное сочетание?

Решение этой задачи удобно находить, используя алгоритм отыскания максимального паросочетания, так называемый

217

венгерский алгоритм, названный так в честь Гарольда Куна, впервые предложившего данный алгоритм.

Ответ на вопрос о существовании совершенного паросочетания дает нам теорема Ф.Холла.

12.2.2Основные определения. Теорема Холла

Определение 12.5. Ребра, вошедшие в полное паросочетание, называются толстыми, а не вошедшие - тонкими.

	П
Определение 12.6. Вершины, инцидентные толстым.ребрам, назы-
	.
ваются насыщенными. Остальные вершины графа G называются
ненасыщенными.		.
		.
Определение 12.7. Цепь в двудольном графе называется чередую-
шиной v.Барашев
щейся, если она последовательно соединяетВтонкие и толстые ребра.
	.
	С
Определение 12.8. Чередующаяся цепь называетсяАтонкой, если
она соединяет две ненасыщенные вершины.
Унучек

Очевидно, что тонкая цепь начинается и заканчивается тонким ребром. Это значит, что число тонких ребер в тонкой цепи на единицу больше, чем толстых.

Определение 12.9. ПустьМИРЭАS V - подмножество вершин V графа G =< (V, W ), E >. Окружением множества S называется множество φ(S) = φ(v)\S, где φ(v) - множество вершин, смежных с вер-

v S

То есть, окружением множества S является подмножество вершин из W , каждая из которых смежна хотя бы с одной вершиной из S.

Теорема 12.1 (Ф. Холл). Совершенное паросочетание в двудольном графе G =< (V, W ), E > существует тогда, и только тогда, когдаS V выполнено неравенство: |φ(S)| > |S|, то есть тогда, когда число вершин во множестве S не превосходит количества смежных с ней вершин.

218

12.2.3Алгоритм отыскания максимального паросочетания в двудольном графе(венгерский алгоритм)

1. Просматривая в произвольном порядке ребра двудольного графа G, включаем в паросочетание П первое по порядку ребро; затем те ребра, которые не смежны ни с одним из уже включенных в паросочетание. Так действуем до тех пор, пока не получим полное паросочетание.

2. Для найденного полного паросочетания ищем тонкую цепь. Если
её нет, то полное паросочетание является максимальным. Алго-
ритм завершает работу.				.		.
3. Если тонкая цепь существует, из полного паросочетания исклю-
					В	.
чаем те толстые ребра, которые вошли в тонкуюПцепь. При этом
включаем в паросочетание все тонкие ребра найденной цепи. Так
						А
как количество тонких ребер в цепи на 1 больше числа толстых
Барашевv3 s@ J sw3
ребер, то мощность паросочетания (количество ребер в П ) увели-
чится на 1.					С
Переходим к пункту 2 (опять ищем тонкую цепь)..
Унучек@sw5
Пример 12.4. Найти максимальное паросочетание в графе G:
МИРЭА
v		H			w
	1	sJ HH s 1
		J H		Hsw2
			H
v2 s JJJ
		J
		@	J
v4 s @@			@	Jsw4
			@

Решение.

1.Найдем полное паросочетание в графе G. Для этого построим паросочетание, в которое войдут все вершины исходного графа G.

219

Включим в П1 ребро {v1, w1} (первое из ре-

sw1

бер, изображенных на рисунке).

Ребра {v1, w2}, {v1, w4}, {v2, w1} и {v3, w1},

sw2

следующие сверху вниз за ребром {v1, w1} при

изображении графа, включать в паросочета-

sw3

ние нельзя, так как они смежны с уже вклю-

ченным в паросочетание ребром.

sw4

Включим в П1 ребро {v3, w3}, так как оно не

sw5

смежно с ребром {v1, w1}.

Все остальные ребра смежны с ребрами из П1.

П1

Значит, П1 = {{v1, w1}, {v3, w.3}} - полное па-

росочетание.

Ребра {v1, w1} и {v3, w.3} П- толстые ребра гра-

фа G, все остальные - тонкие.

sJ HH s 1

Попробуем найти тонкую цепь. Вершины

J H

Барашев

Hsw2

s JJ

v2, w2, v4, w4 и w5 - ненасыщенные вершины.

Тонкой цепью, соединяющей вершины v2 и w2,

s@@ JJ

sw3

является последовательность.Аребер

v4 s @@

Jsw4

w2.

7→

Унучек

@sw5

При этом ребра {v2, w1} и {v1, w2} - тонкие,

МИРЭА

ребро {v1, w1}

- толстое.

3. Исключим из П1 толстое ребро {v1, w1}, включим 2 тонких ребра

{v2, w1} и {v1, w2}.

Паросочетание П2 = {{v1, w2}, {v2, w1}, {v3, w3}} - полное.

|П2| = 3 = |П1| + 1.

220

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2722 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.09.2019613.38 Кб5УМК ИЭУ УРАО.doc
#
28.09.20191.3 Mб2УМК МАКРОЭКОН УРАО.doc
#
12.09.2019131.58 Кб2Ур-я в ЧП билеты.doc
#
28.08.201953.25 Кб3Уроки Московского восстания(В.И.Ленин).doc
#
10.05.20152.36 Mб48уч пос ч1.doc
#
10.05.20152.36 Mб54Уч.пособие-по-ОДМ-2012.pdf
#
10.05.201512.87 Mб45Учебник_Информатика.doc
#
22.08.20191.43 Mб12учебник_Культурология__со_вставками.doc
#
10.05.201512.95 Mб1573Учебное пособие РСП-6М2.pdf
#
30.04.20196.79 Mб7Учебное пособие Скуратов 26 фев.doc
#
10.05.2015762.88 Кб7Фдз по АиГ1.doc