Уч.пособие-по-ОДМ-2012

φ2(x) = fi2 (φ1(x), φ1(x), . . . , φ1(x)) = fi2 (fi1 , fi1 , . . . , fi1 ) ≡ 0.

Обе константы уже получены, функцию x можем выразить по лемме М из немонотонной функции fi4 .

В этом случае у нас есть функция x, выраженная через функцию fi1 (x) , и по лемме S мы можем получить по крайней

того, как получили одну из констант и функцию "отрицание". 2. Получение функций x y и x&y

151

Константы 0, 1 и функция x уже выражены через функции си- стемы fi1 , fi2 , fi3 и fi4 .

По лемме L можно получить одну из функций дизъюнкцию или конъюнкцию из нелинейной функции fi5 . Вторую нелинейную

функцию можно получить из уже полученной формулы, приме-

{

x y = x&y x&y = x y

Вывод : Согласно теореме Поста система функций полна тогда и только тогда, когда в каждом столбце таблицы есть хотя бы один минус.

В связи с этим, нет необходимости заполнять таблицу полностью: если в столбце стоит хотя бы один минус, переходим к следующему столбцу.

152

Для получения "- \в столбце, соответствующего классу М, удобно пользоваться выводами о немонотонности (см. замечание 7.13 на стр. 128); в столбце, соответствующем классу L - следствием 7.9.1 к необходимому признаку линейности функции (см. теорему 7.9).

Пример 8.1. Доказать с помощью теоремы Поста полноту системы функций = {f1, f2}, где f1(x) = (1010 1010), f2(x) = (0011 0101).

надлежность классам T0, T1 и M, так как в соответствующих столбцах таблицы уже есть "- \.

153

4. Выше было установлено:

f1(xe) = 1 x3 L.

Так как следствие 7.9.1 к необходимому признаку линейности булевой функции (теорема 7.9 ) применить нельзя, проверим линейность функции fe2 с помощью 3 алгоритма представления функции в виде многочлена Жегалкина (метода треугольника):

есть на наборах (000) и (111).

154

Замечание 8.3. Рассмотрим получение функций одной переменной на примере булевой функции g.

В зависимости от принадлежности функции g классам T0 и T1, возможны следующие варианты:

Константы и функцию x на этой паре наборов получить нельзя. В этом случае переходим к той функции, у

155

которой есть минус в первых двух столбцах таблицы Поста (случаи а, б или в ). Такая функция по теореме Поста обязательно есть среди функций . Выражаем через неё все возможные функции одной переменной. Функцию g4, возможно, будем использовать позже для получения тех элементарных функций, которые не смогли выразить через остальные функции системы.

(000) и (111) функции одной переменной получить не можем (случай г ).

Константы 0 и 1 выразим из несамодвойственной функции f2 (так как f1 S, то лемма S к функции f1 не применима).

eМИРЭАφ2(x) = f2(x,ex, x) ≡ 0,

f2 = (0011 0101).

(101) нарушается самодвойственность функции f2. Выразим константы, используя те наборы, которые содержат больше единиц, заменив "1"на x, "0 на x:

α1 = (110) 7→γ1 = (x, x, x)

так как

φ2(0) = f2(000) = f2(001) = 0 φ2(1) = f2(111) = f2(110) = 0

156

Многочлен Жегалкина функции f2 содержитА2 конъюнкции

ранга 2. Возьмем, например, K = x1x3. Переменные x1 и x3,

4.Для получения дизъюнкции применим законы де Моргана xy = x y, навесив отрицание на обе части полученного тождества f2(x1, 0, x3) = x1x3 :

f2(x1, 0, x3) = x1 x3

f2(x1, 0, x3) = x1 x3

Заменим x1 ↔ x; x3 ↔ y; φ5(x, y) = f2(x, 0, y) = x y

157

Подставим функции одной переменной, выраженные через функции системы

f2(f1(x, x, x), f2(x, x, f1(x, x, x)), f1(y, y, y)) = x y

Окончательно получим

f1(f2(f1(x, x, x), f2(x, x, f1(x, x, x)), f1(y, y, y)),

f2(f1(x, x, x), f2(x, x, f1(x, x, x)), f1(y, y, y)),

Барашев на принадлежностьУнучекклассу T0 не обязательно (в соответству-

ющем столбце таблицыМИРЭАуже получен "минус"), первые два столбца таблицы всегда будем заполнять полностью, чтобы использовать замечание 8.3 при выражении функций одной переменной на крайних наборах функции системы.

2. Исследуем самодвойственность функций системы: fe= (1001 1001)

(1001 | 1001)

←−−−−

(1001) (1 0 0 1)

(1001) ≠ (0110) fe / S.

3.Так как f(000) = 1, а в векторе значений функции f есть нули, то, согласно выводу 1 из замечания 7.13 на странице 128, функция f не монотонна.

158

Не будем исследовать принадлежность функции g классам S и M, так как система 2 не содержится целиком в этих классах.

4.Так как вектор значений обеих заданных функций содержит равное количество нулей и единиц, без многочлена Жегалкина определить нелинейную функцию нельзя.

наборов (000) и (111).

Так как f(000) = f(111) = 1, то на этих наборах нарушается самодвойственность (случай б) из замечания 8.3). Заменив в наборе (111) все "1\ на x, получаем константу 1:

φ1(0) = f(000) = 1

2.Так как g(000) = g(111) = 0, функция g также несамодвойственна (случай в) из замечания 8.3). Аналогично предыдущему случаю, получаем функцию 0:

3.Функцию x получим из немонотонной функции f.

Для этого найдем любую пару наборов, на которой нарушается монотонность, например, (000) (так как f(000) = 1) и любой из наборов αe, на котором f(αe) = 0. Таких наборов 4;

159

возьмем первый по порядку следования в таблице истинности,

e

то есть β = (001).

Многочлен Жегалкина функции g содержит единственную

=x1 1 1 (1 x1)x2 = x1 1 x1x2 = x1(1 x2) 1 =

=x1 x2 1 = x1 x2 = x1 x2

Заменим Унучекx1 ↔ x; x2 ↔ y; φ4(x, y) = g(x, y, 0) = x y g(x, y, g(x, x, x)) = x y

5.Функцию "конъюнкция"можно получить, применяя законы

де Моргана и навешивая отрицание на обе части полученного тождества g(x1, x2, 0) = x1 x2 :МИРЭА

g(x1, x2, 0) = x1 x2 = x1 x2

Заменяем x1 ↔ x; x2 ↔ y; φ5(x, y) = g(x, y, 0) = x y

160