Уч.пособие-по-ОДМ-2012
.pdf
zI1
|
6 |
|
iu |
|
|
|
@ |
|
|
||
|
|
@ |
|
||
(001)*@ |
? @*(011) |
||||
|
iu |
||||
|
|
|
- y |
||
iu |
|
iu |
|||
@ |
|
@ |
|
||
(101)* |
|
|
(111) |
||
@ |
|
@ |
|
||
|
(000)e |
e(010) |
|||
e |
|
|
|
I2 |
|
|
|
iu |
|
||
|
|
|
|
|
|
(100) |
|
|
@ *(110) |
||
х |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
. |
||
Вершина (110) покрыта только интервалом |
|||||
I2. Согласно определе- |
|||||
нию, этот интервал и соответствующая импликанта K2 = x1x2 - ядро- |
|||||||||||||||||
вые. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
. |
|||
Вершина (111) содержится в двух интервалахПи "*" не отмечена. |
|||||||||||||||||
Остальные вершины входят только в ядровый интервал I1, импли- |
|||||||||||||||||
канта K1 = x3 - ядровая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Барашев |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ДНФмин(f2) = ДНФтуп(f2) = ДНФядр(f2) = ДНФсокр(f2) = |
|||||||||||||||||
Унучек(100) (110) |
.А= x1x2 x3; |
||||||||||||||||
r(ДНФмин(f2)) = 3. С |
|
||||||||||||||||
в) f3(xe) = (0110 1110) |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
МИРЭА |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
e(011) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(001)* |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
||||||
I |
|
|
- |
|
iu |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
e@ *- |
y |
|
||||||
|
|
|
|
|
iu |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(101) |
|
|
|
|
(111) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
||
I2 |
|
|
|
|
|
(000)e |
|
|
|
|
iu(010) |
|
|||||
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
I4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
iu |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
х |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
I3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Каждый из ядровых интервалов I1 и I4 покрывает по 2 вершины. В результате их вычеркивания остается одна вершина (100). Она содержится в двух интервалах I2 и I3. Для того, чтобы покрыть вершину, достаточно одного из них. Значит, тупиковые ДНФ будут содержать
61
ядро и одну из импликант - K2 или K3 (эти импликанты избыточны для функции f3). Других тупиковых ДНФ у данной функции нет.
ДНФтуп1 (f3) = ДНФядр(f3) K2 = x2x3 x2x3 x1x2; r(ДНФтуп1 ) = 6.
ДНФтуп2 (f3) = ДНФядр(f3) K3 = x2x3 x2x3 x1x3; r(ДНФтуп2 ) = 6.
Так как ранг обеих тупиковых ДНФ одинаков, обе формулы являются
минимальными ДНФ функции f3. |
|
|
|
|
|
2x3.x1 |
|
|
ДНФмин1 (f3) = ДНФтуп1 |
(f3) = x2 |
|
3 |
|
|
2; |
||
x |
x |
x |
||||||
r(ДНФмин1 ) = 6. |
. |
|||||||
|
|
В |
||||||
ДНФмин2 (f3) = ДНФтуп2 |
(f3) = x2 |
|
.3 |
П |
||||
x |
x2x3 x1x3; |
|||||||
r(ДНФмин2 ) = 6. |
|
А |
||||||
Барашев |
|
|
|
|
||||
|
|
|
. |
|
|
|||
4.2.6 Функция Патрика |
|
|
|
|
|
|
|
|
Находить тупиковые ДНФ также можно, применяя вспомогательную функцию - функцию Патрика.
набору из носителя взаимно однозначно соответствует элементарная
С Функция ПатрикаУнучекпредставляет собой КНФ, в которой каждому
дизъюнкция (количество сомножителейМИРЭАв функции Патрика равно
| Nf |). Каждый логический сомножитель представляет собой перечисление через знак дизъюнкции всех импликант, покрывающих данную вершину.
Упрощаем функцию Патрика, применяя логические тождества
A · A = A
A AB = A
A(A B) = A
По функции, полученной в результате преобразований, выписываем ядровую и тупиковые ДНФ. Ядро образует логическая сумма импликант, стоящих перед скобками. Тупиковые ДНФ получим, раскрыв скобки. Теперь функция Патрика имеет вид ДНФ. Каждой тупиковой ДНФ соответствует логическое слагаемое в преобразованной функции Патрика.
62
Пример 4.9. Найти все тупиковые и минимальные ДНФ для функций a) f1(xe) = (1001 0001)
б) f2(xe) = (0101 0111) из примера 4.4, используя функцию Патрика. в) f3(xe) = (0110 1110)
Решение.
а) f1(xe) = (1001 0001)
z
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(001) |
|
|
*(011) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
(111) |
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uk |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|||
(101) |
-e |
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
I2 |
|
|
|
|
u |
|
|
|
- |
|
y |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(010) |
В |
|
|
|||||
|
|
х |
*(000) |
|
e |
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(100) |
|
|
|
|
(110) |
|
|
|
А |
|
|||||||
Барашевr(ДНФ (f1)) = 5. |
|
||||||||||||||||
Носитель функции f1 содержит 3 вершины, каждая покрыта только |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
в искомой |
одним интервалом. Значит, каждый из трех сомножителей. |
|||||||||||||||||
КНФ содержит одну импликанту, покрывающую данную вершину. Пе-
речисляя наборы в порядке их следования в таблице истинности, по- |
|||||||||||||||||||||||||||
б) f2(xe) = (0101 Унучек0111) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
лучаем функцию Патрика |
Pf1 = (K2)(K1)(K1) = K1K2. Последнее |
||||||||||||||||||||||||||
тождество получили, применяя закон идемпотентности K1 · K1 = K1. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
МИРЭА(001)*u ? *(011) |
||||||||||||||||||||||||||
Так как полученная ДНФ содержит одно слагаемое K1K2, соответ- |
|||||||||||||||||||||||||||
ствующее и ядровой, и тупиковой ДНФ, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ДНФмин(f1) = ДНФтуп(f1) = K1 K2 = x2x3 |
x |
1 |
x |
2 |
x |
3; |
|||||||||||||||||||||
|
мин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zI1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(111) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(101)* |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
- |
y |
||||||||||||
|
(000)e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e(010) |
|||||||||||||||||||||
|
|
e |
|
u |
|
|
|
|
|
|
I2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
63 |
|
|
|
*(110) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
(100) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
х
Соответствующие наборам носителя сомножители в функции Патрика опять зададим в порядке возрастания их номеров. Вершина (111) покрыта двумя интервалами I1 и I2 (ей соответствует последняя скобка в КНФ), остальные наборы носителя покрываются одним интервалом.
Pf2 = (K1)(K1)(K1)(K2)(K1 K2) = K1K2.
Упрощая формулу, сначала применили тождество A · A = A, затем закон поглощения A(A B) = A.
Аналогично предыдущему примеру, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ДНФмин(f2) = ДНФтуп(f2) = K1 K2 = x1.x2 x3; |
|||||||||||||||
r(ДНФмин(f2)) = 3. |
|
||||||||||||||
в) f3(xe) = (0110 1110) |
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
.П . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Барашев |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(001)*u |
|
|
|
|
(011) |
|
||||||
I |
1 |
- |
|
|
|
|
e |
С |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(111) |
|
|
|
|||
(101) |
|
u |
|
|
e |
*- |
|
y |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
I2 |
|
- |
|
|
(000)e |
|
|
|
u(010) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Унучек |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
I4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(100) |
|
|
|
(110) |
|
|
|||||||||
(K3 K4). |
|
|
МИРЭА |
||||||||||||
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
I3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Каждый из наборов носителя (001) и (010) покрывается только одним интервалом . Этим вершинам соответствуют в функции Патрика сомножители (K1) и (K4). Вершина (100) покрыта интервалами I2 и I3, соответствующий ей сомножитель - (K2 K3). Аналогично, вершинам (101) и (110) сопоставлены дизъюнкции (K1 K2) и (K3 K4). Задавая вершины в стандартном порядке, получаем
Pf3 = (K1)(K4)(K2 K3)(K1 K2)(K3 K4) = K1K4(K2 K3).
В этой формуле импликанта K1 поглотила скобку (K1 K2), а K4 - Выражение K1K4 перед скобками задает ядровую ДНФ
ДНФядр(f3) = K1 K4 = x2x3 x2x3.
64
Раскроем скобки в функции Патрика. Получаем 2 логических слагаемых K1K2K4 и K1K3K4, которым соответствуют две тупиковые ДНФ
ДНФтуп1 (f3) = K1 K2 K4 = x2x3 x2x3 x1x2;
ДНФтуп2 (f3) = K1 K3 K4 = x2x3 x2x3 x1x3.
Вычислив их ранг, определяем, что обе тупиковые ДНФ являются минимальными.
ДНФмин1 |
(f3) = x2 |
|
3 |
|
|
2x3 |
x1 |
|
2 |
; |
|
x |
x |
x |
. |
||||||||
ДНФмин2 |
(f3) = x2 |
|
3 |
|
2x3 |
x1 |
|
3. |
|||
x |
x |
x |
|
||||||||
Пример 4.10. Найти сокращенную, ядровую, все тупиковые и все
минимальные ДНФ для функции f(x) = x |
|
|
|
x |
x x x x x |
x x . |
|||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
e |
|
|
В |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
.2 П3 1 2 1 3 2 3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
вычис- |
Построим таблицу истинности заданной функции. Сначала. |
|||||||||||||||||||
Барашев |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||
лим все конъюнкции, затем просуммируем все столбцы по модулю 2, |
|||||||||||||||||||
учитывая, что сумма пар одинаковых слагаемых равна нулю. |
|
||||||||||||||||||
|
x1 x2 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
||||
|
|
|
x1x2 x1x3 x2x3 |
|
f |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
||
|
Унучек |
0 |
|
1 |
|
|
|||||||||||||
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
||||
0 |
1 |
МИРЭА |
|
|
|||||||||||||||
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||||
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
||||
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
||||
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
||||
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
||||
Носитель функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nf = { (001), (010), (011), (100), (101), (110) }. |
|
||||||||||||||||||
Изобразим функцию на булевом кубе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(001) |
u |
|
|
|
(011) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(111) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(101) |
u |
|
e |
|
|
|
- |
|
y |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
(000)e |
|
|
u(010) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(100) |
u(110) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Объединим вершины носителя в максимальные интервалы. Максимальных интервалов, покрывающих все 8 вершин (весь куб) или 4 вершины (грань куба), нет. Все максимальные интервалы соединяют пары соседних вершин и являютcя ребрами куба (1-мерными гранями булевого куба). Таких интервалов шесть - I1, I2, I3, I4, I5, I6.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zI6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(001) |
u |
? |
|
|
|
|
(011) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
I |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
I5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
y |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(101) |
|
|
|
|
|
|
(111) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
I2 |
|
- |
|
|
(000)e |
|
|
|
|
u(010) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
I4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
.П |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
. |
|||||||
(100) |
|
|
|
|
(110) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
I3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
||||||||
Барашев |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Выпишем наборы, покрытые этими интервалами, и найдем соответ- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
||
ствующие данным ребрам простые импликанты. . |
|
|
|||||||||||||||||||||||
I1 = { (001), (101) } |
|
↔ |
|
K1 = |
|
2x3 |
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||
Унучек= x2x3 x1x2 x1x3 x2x3 |
x1x2 x1x3. |
||||||||||||||||||||||||
I2 = { (101), (100) |
} |
|
|
↔ |
|
K2 |
= x1 |
x |
2 |
||||||||||||||||
I3 = { (100), (110) } |
|
↔ |
|
K3 |
= x1 |
x |
3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
МИРЭА |
||||||||||||||||||||||
I4 = { (110), (010) |
} |
|
|
↔ |
|
K4 |
= x2 |
x |
3 |
||||||||||||||||
I5 = { (010), (011) } |
|
↔ |
|
K5 = |
x |
1x2 |
|||||||||||||||||||
I6 = { (011), (001) } |
|
↔ |
|
K6 = |
x |
1x3 |
|||||||||||||||||||
Дизъюнкция всех простых импликант образует сокращенную ДНФ. ДНФсокр(f) = K1 K2 K3 K4 K5 K6 =
Каждая вершина носителя покрыта ровно двумя интервалами. Вершин, покрытых только одним интервалом, нет. Значит, нет и ядровых интервалов и импликант. Ядровой ДНФ также нет.
Для нахождения всех тупиковых ДНФ воспользуемся функцией Патрика. Так как носитель состоит из 6 наборов, функция Патрика содержит 6 сомножителей. Каждая вершина покрыта дву-
66
мя интервалами, поэтому каждый сомножитель представляет собой дизъюнкцию двух импликант. Для удобства упрощения функции, наборы в функции Патрика перечислим в следующем порядке: (001),(101),(100),(110),(010),(011).
P = (K1 K2)(K2 K3)(K3 K4)(K4 K5)(K5 K6)(K6 K1)
Рассмотрим любые две соседние скобки. В общем виде их произведение имеет вид (A B)(B C) = AB BB AC BC. Так как BB = B, и AB B = B, то (A B)(B C) = B AC.
Перемножив пары соседних скобок и, упорядочив простые импли- |
||
канты в порядке возрастания номеров (в силу коммутативности. |
конъ- |
|
юнкции), получим |
|
|
P = (K1 K2)(K2 K3)(K3 K4)(K4 K5)(.K5ПK6)(K6 K1) = |
||
= (K1K3 K2)(K3K5 K4)(K1K5 K6) = |
|
|
Барашев |
ВK2K4)(K1K5 .K6) = |
|
= (K1K3K5 K2K3K5 K1K3K4 |
|
|
= K1K3K5 K1K2K3K5 K1K3K4K5 K1K2K4K5 |
|
|
|
С |
|
K1K3K5K6 K2K3K5K6 K1K.3KА4K6 K2K4K6
Эту функцию можно упростить, применив закон поглощения к подчеркнутым слагаемым:Унучек
K1K3K5 K1K2K3K5 = K1K3K5
K1K3K5 K1K3K5K6 = K1K3K5.
P = K1K3K5 K1K2K4K5 K2K3K5K6 K1K3K4K6 K2K4K6.
Остается еще 5 логических слагаемых, соответствующих пяти тупиковым ДНФ
ДНФтуп1 (f) = K1 K3 K5 = x2x3 x1x3 x1x2; r1 = 6;
ДНФтуп2 (f) = K1 K2 K4 K5 = x2x3 x1x2 x2x3 x1x2;
K1K3K5 МИРЭАK1K3K4K5 = K1K3K5
r2 = 8;
ДНФтуп3 (f) = K2 K3 K5 K6 = x1x2 x1x3 x1x2 x1x3; r3 = 8;
67
ДНФтуп4 (f) = K1 K3 K4 K6 = x2x3 x1x3 x2x3 x1x3; r4 = 8;
ДНФтуп5 (f) = K2 K4 K6 = x1x2 x2x3 x1x3; r5 = 6.
Две тупиковые ДНФ (ДНФтуп1 и ДНФтуп5 ) имеют наименьший ранг,
равный 6, и являются минимальными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ДНФмин1 (f) = ДНФтуп1 |
(f) = |
|
2x3 x1 |
|
|
3 |
|
|
1x2; r(ДНФмин1 ) = 6 |
||||||||||
x |
x |
x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
||
ДНФмин2 (f) = ДНФтуп5 (f) = x1 |
x |
2 x2 |
x |
3 |
x |
1x3 |
; r.(ДНФмин2 ) = 6. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
||||||||
4.3 Задачи для самостоятельного решения |
|||||||||||||||||||
|
|
Барашев |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
||||||
Геометрическим методом найти сокращенную, ядровую, все тупиковые |
|||||||||||||||||||
и минимальные ДНФ булевых функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
С |
|
|
|||||||||||||
1. |
f1 = ( 1001 1100 ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
fe2 |
= ( 1011 0101 ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
e |
Унучек |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
fe3 |
= ( 1011 1101 ); |
МИРЭА |
|
||||||||||||||||
4. |
fe4 = ( 1111 1100 ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
fe5 = ( 1001 1110 ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
fe6 = ( 0011 1110 ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
fe7 = ( 0101 1111 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы к задачам для самостоятельного решения
1.ДНФсокр(f1) = ДНФядр(f1) = ДНФтуп(f1) = ДНФмин(f1) =
=x1x2x3 x2x3 x1x2;
r(ДНФтуп) = r(ДНФмин) = 7.
68
2.ДНФсокр(f2) = x1x3 x1x2 x2x3 x1x3;
ДНФядр(f2) = x1x3 x1x3;
|
ДНФтуп1 |
(f2) = ДНФмин1 (f2) = |
|
1 |
|
3 |
|
1x2 x1x3; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
x |
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
r(ДНФтуп1 ) = r(ДНФмин1 ) = 6; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ДНФтуп2 |
(f2) = ДНФмин2 (f2) = |
|
1 |
|
3 x2x3 x1x3; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
r(ДНФтуп2 ) = r(ДНФмин2 ) = 6. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
ДНФсокр(f3) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
1 |
x |
3 |
x |
2 |
x |
3 x1 |
x |
2 x1x3 x2x3 |
x |
1x2 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ДНФядр(f3) − отсутствует; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
ДНФтуп1 (f3) = |
|
|
1 |
|
3 x1 |
|
2 .x1xП3 |
|
|
1x2; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x |
x |
x |
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r(ДНФтуп1 ) = 8; |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|||||||
Барашевсокр ядр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
туп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мин |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
ДНФтуп2 (f3) = x1x3 x2Вx3 x1x3 |
x2x3 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r(ДНФтуп2 ) = 8; |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
ДНФтуп3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(f3) = ДНФмин1 (f3) = x1x3 |
x1x2 x2x3; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
r(ДНФтуп3 ) = r(ДНФмин1 ) = 6; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Унучекr(ДНФ ) = r(ДНФ |
|
|
|
|
) = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
ДНФтуп4 (f3) = |
x |
2 |
x |
3 x1 |
x |
2 x2x3 |
|
x |
1x2 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x1xМИРЭА2x3 x2x3 x1x2 x1x3; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r(ДНФтуп4 ) = 8; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
ДНФтуп5 |
(f3) = ДНФмин2 (f3) = |
x |
2 |
x |
3 x1x3 |
x |
1x2; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
r(ДНФтуп5 ) = r(ДНФмин2 ) = 6. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
4. ДНФ |
(f4) = ДНФ (f4) = ДНФ |
|
|
|
|
|
(f4) = ДНФ |
|
|
|
|
(f4) = |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
x |
2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
туп |
|
|
|
мин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5. ДНФсокр(f5) = ДНФядр(f5) = ДНФтуп(f5) = ДНФмин(f5) =
r(ДНФтуп) = r(ДНФмин) = 9.
69
6. |
ДНФсокр(f6) = |
|
1x2 x2 |
|
3 x1 |
|
|
3 x1 |
|
2; |
|
|
|||||||||||||
x |
x |
x |
x |
||||||||||||||||||||||
|
|
ДНФядр(f6) = |
|
1x2 x1 |
|
2; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ДНФтуп1 |
(f6) = ДНФмин1 (f6) = |
|
1x2 x2 |
|
3 x1 |
|
2; |
|||||||||||||||||
|
x |
x |
x |
||||||||||||||||||||||
|
|
r(ДНФтуп1 ) = r(ДНФмин1 ) = 6; |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
ДНФтуп2 |
(f6) = ДНФмин2 (f6) = |
|
1x2 x1 |
|
3 x1 |
|
2; |
|||||||||||||||||
|
x |
x |
x |
||||||||||||||||||||||
|
|
r(ДНФтуп2 ) = r(ДНФмин2 ) = 6. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
7. ДНФсокр(f7) = ДНФядр(f7) = ДНФтуп(f7) = ДНФмин(f7) = |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= x1 x3 |
; |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
r(ДНФ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
В |
) = 2. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
туп |
|
|
|
|
|
|
|
мин |
|
|
П |
|
|
|
||||||||
|
Барашев |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Унучек |
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
МИРЭА |
|
|
|
||||||||||||||||||||
70