Уч.пособие-по-ОДМ-2012

если удаление из неё любой элементарной конъюнкции или переменной

.

приводит к ДНФ, не реализующей данную функцию.

П

Очевидно, что тупиковую ДНФ можно получить из сокращенной

.

путем отбрасывания избыточных импликант. Следующее определение

эквивалентно определению 4.11 :

В

Определение 4.12. ДНФ данной функции называется тупиковой,

если она не содержит избыточных импликант.

.

Определение 4.13. Минимальной называется ДНФАфункции ал-

.

гебры логики, имеющая наименьший ранг среди всех ДНФ, реализу-

ющих данную функцию.

С

на.

Барашев

Унучек

МИРЭА

Барашевa) f1(x) = (1001 0001);

А

.

4.2.1 Задание функции на двоичном кубе

Решение.

Унучекe

на стр. 15

). Напомним, что для функций, зависящихС

от 4 и более

а) 1(e) = (1001

Nf1 =МИРЭА{ (000), (011), (111) }

б)

e

0111);

f2(x) = (0101

в)

f3

(e) = (0110

1110)

x

.

f x

0001)

x

y

z

f

z

0

0

0

1

6

u

0

0

1

0

(001)

e

(011)

0

1

0

0

0

1

1

1

(111)

(101)

e

u

-

y

1

0

0

0

(000)u

e(010)

1

0

1

0

(100)

(110)

1

1

0

0

e

e

1

1

1

1

х

б)

f

2

(e) =

Nf2

П

= { (001), (011), (101), (110), (111) }

x

(0101

0111)

.

x

y

z

f

z

.

0

0

0

0

6

u

Барашев

uВ

(011) .

0

0

1

1

(001)

0

1

0

0

0

1

1

1

(101)

u

(111)

u

.- Аy

(000)e

e(010)

1

0

0

0

1

0

1

1

Унучек

1

1

0

1

(100)

С(110)

e

u

1

1

1

1

х

в)

МИРЭА

f

3

(e) =

Nf3

= { (001), (010), (100), (101), (110) }

x

(0110

1110)

x

y

z

f

z

0

0

0

0

6

e

0

0

1

1

u

(001)

(011)

0

1

0

1

(111)

0

1

1

0

(101)

u

e

- y

1

0

0

1

(000)e

u(010)

1

0

1

1

(100)

(110)

1

1

0

1

u

u

1

1

1

0

х

Определение 4.15. Пусть

(σi1 , σi2 , . . . , σis ), 1 6 i1 < i2 < . . . < is 6 n

- фиксированный двоичный набор.

n-мерного булево-

−

e

, α2, . . . , αn)

Множество всех вершин

α = (α1

го куба Bn таких, что αi1

= σi1 , αi2

= σi2 , . . . , αis

= σis называется

(n s)- мерной гранью двоичного куба.

Очевидно, что любой

интервал

является гранью куба. Поэто-

му между интервалами

П

взаимно-

и гранями можно установить.

однозначное соответствие.

.

.

метрически, вершины куба, принадлежащие носителю, объединяют в

геометрические фигуры, состоящие из

2k, 0 6 k 6 3 вершин -

Барашевв) f3(e) = (0110 1110)

А

k-мерные грани :

В

.

куб

(объединение 23 = 8 двоичных наборов - 3-мерная грань B3)

грань

(объединение 22 = 4 двоичных наборов - 2-мерная грань B3)

ребро

(объединение 21 = 2 двоичных наборов - 1-мерная грань B3)

изолированная вершина (20 = 1 двоичный набор - 0-мерная грань B3).

а)

f1(x) = (1001Унучек0001)

I1 = { (011), (111) } - 1-мернуюМИРЭАгрань B .

Пример 4.5. Изобразить на булевом кубе все максимальные интерва-

лы для функций

a)

f1(x) = (1001 0001)

б)

f2(x) = (0101 0111)

e

x

из примера 4.4

e

Решение.

единим их,

выделяя

на кубе. Получили

максимальный

интервал

e

3

Набор (000)

объединить с другими наборами носителя в реб-

ро невозможно.

Эта

вершина образует

максимальный

интервал

I2 = { (000)

}, содержащий только один набор (0-мерная грань B3).

6

(001)

e

(011)

u

I1

(111)

(101)

-e

u

-

y

I2

(000)

e(010)

uk

(100)

e(110)

e

.

х

П

б) f2(x) = (0101 0111)

ции, но не образуют максимальные интервалы, так как они вошли

А

в бoльший интервал. Поэтому отдельно данные ребра.не помечаем.

Барашев(000)e e(010)

(000)e

e(010)

Ребро, соединяющее вершины (110) и (111), не вошло в I1

и является

максимальным интервалом. Обозначим его I2С= { (110), (111) }.

Унучек

Кроме выделенных, максимальных интервалов нет.

z

zI1

куба (1-мерные грани B3)

МИРЭА

6

u

6

u

(001)u

(011)

(001)u

?

(011)

(111)

(101)

(111)

(101)u

u

- y

u

u

- y

e

u

e

u

I2

(100)

(110)

(100)

(110)

х

х

6

(001)u

(011)

I1

=

(001),

(101)

I1

-

e

{

}

I2

= { (101),

(100) }

(101)

(111)

-

u

e

-

y

I3

= { (100),

(110) }

I2

(000)e

u(010)

I

=

{

(110),

(010)

}

u

I4

4

u

(100)

(110)

.

х

I3

П

.

В

Как упоминалось ранее (см. стр. 50), каждому максимальному интер-

А

валу функции взаимно однозначно соответствует простая.импликанта.

Барашев

.

При нахождении простых импликант двоичные наборы в макси-

a)

f1(x) = (1001 0001)

б)

f2(x) = (0101 0111)

в)

x

f3(e) = (0110 1110)

из примера 4.4

Унучекe

e

Решение.

МИРЭА

а)

f

(x) = (1001 0001)

1

e

I1

=

(011)

↔

K1 = x2x3

{

(111) }

б)

f2(xe) = (0101 0111)

(001)

I =

(011)

↔

K

= x

3

1

(101)

1

(111)

(110)

}

↔

K2 = x1x2 .

I2 = {

(111)

в)

ДНФсокр(f2) = K1 K2 = x3

x1x2

f

3

(e) = (0110

I1 =

(001)

K1 =.x2Пx3

x

1110)

В

.

{

(101)

}

↔

ЗамечаниеБарашев4.3. Чем больше вершин покрыто максимальным интер-

I2 = {

(101)

}

↔

K2 = x1

.2 А

(100)

x

(100)

Унучек

I3 = {

(110)

}

↔

K3 =Сx1x3

МИРЭА

I4 = {

(110)

}

↔

K4 = x2

3

(010)

x

Пример 4.7. Построить ядровые

ДНФ для функций

a)

f1(x) = (1001 0001)

.

б)

x

e

f2(x) = (0101 0111) из примера 4.4 .

П

в)

e

f3(e) = (0110 1110)

.

ющие этим интервалам импликанты являются ядровыми. Дизъюнкция

ядровых импликант - ядро функции.

В

.

а) f1(xe) = (1001 0001)

z

.А

6

*(011) С

(001)

e

u

I1

(111)

(101)

-e

*

I2

u

-

y

(010)

*(000)

uk

e

(100)

(110)

e

e

х

Барашев

- ядровые.

Унучек

МИРЭА

6

u

(001)*u

?

*(011)

(111)

y

(101)*u

(000)e

u

-

e(010)

e

u

I2

(100)

*(110)

х

.

П

Вершина (110) покрыта только интервалом I2

. Согласно определе-

нию, этот интервал и соответствующая импликанта K2 = x1x2 - ядро-

вые.

.

В

.

Вершина (111) содержится в двух интервалах и "*" не отмечена.

Остальные вершины входят только в ядровый интервал I1, импли-

канта K1 = x3 - ядровая.

Барашевх

ДНФядр(f2) = ДНФсокр(f2) = K1 K2 = x1x2 x3

С

в) f3(xe) = (0110 1110)

z

.А

Унучек

(001)*

6

I

-

u

e(011)

1

(111)

(101)

u

e

*-

y

I2

-

(000)e

u(010)

u

I4

u

(100)

(110)

помечены. Интервалы I2

и I3 не содержат отмеченных "*" вершин и

ядровыми не являются.

МИРЭА

e

П

из примера 4.4.

.

.

Решение.

В .

а) f1(xe) = (1001 0001)

z

I

А

Барашев

6

ui

1 .

(001)e

@

*

@(011)

С

@ (111)

-e

uki

e

(101)

*

@

@

-

I2

ui

y

@

(010)

*(000)

= x2x3 x1x2x3;

Унучек

e

e

(100)

(110)

х

МИРЭА