Уч.пособие-по-ОДМ-2012

v0

2

v2

2

v4

.

s

@s

@

s

3

2

@4

1

v

vs3

@@

v

s5.П

s1

4

3

В

.

Барашев

А

Решение.

.

I Прямой ход (нахождение длины кратчайшего пути).

1.

Всем

вершинам

Унучек

@

графа

v0

v1

v2

v5

v0, v1

, . . .С, v5

∞

∞

∞

∞ ∞ ∞

ставим в

соответствие

0 ∞ ∞ ∞ ∞МИРЭА∞ vs1 4 vs3 3

vs5

метку, равную "∞\.

2. Вершине v0 приписываем метку 0, метки остальных вер-

шин по-прежнему равны

"∞\. Вершина v0 - постоянная, все

остальные вершины - временные.

Для наглядности постоянные вершины помечаем в таблице

и на графе.

v0

s

s

s

0l

2

v2

2

v4

@

v0

v1

v2

v3

v4

v5

1

3 2

@4

1

∞

∞

∞

∞

∞

∞

@@

@

v0

s

s

s

v2

v4

0l

2

@

2

П

.

1

3

2

@@4

1

.

@@

vl

В

.

1s

4 vs3

@

3 vs5

1

.

вершиной v1.

С

А

Унучек

∞,

Поскольку

λ(v3)

=

МИРЭА

Вершины v0 и v1 ранее

ные метки и из дальней-

0

∞

∞

∞

∞

∞

−

1

2

∞

∞

∞

шего

рассмотрения ис-

−

−

2

5

∞

∞

ключаются.

v0

v2

s

s

s

2

2

2

v4

0l

@l

1

3

@

@4

2

1

vl

@@@

4 vs3

3 vs5

1s

1

значит, метку уменьшаем:

λ(v3) = λ(v2) + l(v2, v3) = 2 + 2 = 4;

λ(v4) = ∞, λ(v2) + l(v2, v4) = 2 + 2 = 4 < ∞ = λ(v4).

λ(v4) = 4;

.

П

λ(v5) = ∞, λ(v2) + l(v2, v5) = 2 + 4 = 6 < ∞ = λ(v5),

λ(v5) = 6.

В

В нашей таблице две вершины имеют.метку, равную 4. В ка-

честве постоянной можно выбрать любую из этих вершин.

А4

Выберем вершину, расположенную в таблице левее,.то есть

Барашев

.

v0

v1

v2

v3

v4

v5

v0

v2

s

s

s

∞

∞

∞

∞

∞

∞

0l

2

@l

2

v

2

0

∞

∞

∞

∞

∞

1

3

@@4

−

1

2

∞

∞

∞

С2

@

1

−

@@

−

2

5

∞

∞

1

s

4s

3 v

s5

4

4

6

4

−

−

−

vl

vl

1

3

0

1

4

5

1

−

1

2

∞

МИРЭА∞ 1 3 2 @4

λ(v

5) =

+ l(v3

, v5) = 4 + 3 = 7 > 6 = λ(v5);

v5)

без изменений.

v

v

v

v

v0

v2

v4

0

l

@l

l

∞

∞

0

2

2

2

4

∞

∞

∞

s

s

@

s

@@

−

6

1

s

4s

@

s5

4

3 v

−

−

−

v1

v3

v0

v1

v2

v3

v4

v5

∞

∞

∞

∞

∞

∞

v0

v2

@

v4

−

∞

∞

∞

s

s

s

1

2

l

@l

l

−

−

2

5

∞

1

3

2

1

−

4

−

−

4

6

l

l

@@

l

5

−

−

−

−

4

6

1

s

4

4s

3

@

s5

В

.

−

−

−

−

−

v1

.v3П v5

Прямой ход алгоритма завершен.

вБарашевкратчайший путь: v5 → v4.

II Обратный ход (нахождение кратчайшего пути).

1. Вершина v5 смежна с тремя вершинами

.v2, vА3, v4. Проверим,

для какой из вершин выполнено равенство

Унучекs s

s

λ(v5)

−

λ(vi) = l(vС5, vi).

v2:

v3:

МИРЭА1s 4 4s 3 @s5

, v3);

λ(v5) − λ(v3) = 5 −

4 = 1

̸= 3 = l(v5

v4:

λ(v5) − λ(v4) = 5 − 4 = 1 = l(v5, v4).

Так как только для вершины v4 равенство верно, она входит

1

v0

v2

v4

0l

2

@l

2

l

2

4

1

3

2

1

vl

l

@@

l

v

v

1

3

5

1

2

v5 → v4 → v2.

v0

v2

v4

l

@l

s

l

s

2

s

2

1

3

2

@@4

1

@

П

1

s 4

4s

3

@@

s5

vl

vl

v l

1

3

.

5

v0:

λ(v2) − λ(v0) = 2 − 2

В= 0 = l(v2, v0); .

Барашев1s 4 4s

3

@s5

, v1);

v1:

λ(v2) − λ(v1) = 2 − 1 = 1

.

̸= 3 = l(v2

v3:

λ(v2) − λ(v3) = 2 − 4 = −2 ̸= 2 =Аl(v2, v3).

Вершина v0 входит в кратчайший путь:

v5

1

2

2

→ v4

→ v2

→Сv0.

Унучек

v4

v0

v2

0l

@l

l

МИРЭА

s

2

s

2

s

2

4

1

3

2

@@4

1

vl

vl

@@

l

v

1

3

5

v1

4

v3

2 @s

@s

@3

@1

1

@

@

@

@

v0 s@@

3 @@

2

2 sv5

4

@

@

@

@

v

s2

6

v

s4

Решение.

.

I Прямой ход (нахождение длины кратчайшего пути).

П

1. Как в предыдущем примере, метки вершин будем перечис-

лять в таблице:

Всем

.

вершинам

v

0

v

1

v

2

v

3

v

4

v

5

графа

v0, v1, . . . , v5

∞

∞

∞

∞

∞

∞

ставим

в соответствие

1

А3

метку,Вравную

"∞\..

Барашев

2

s

@3

s

@1

2.

.

v

4

v

2 @s @3

@s

@1

v0

v1

v2

v3

v4

v5

1

@

vs4

@

−

2

4

Унучек∞ ∞ ∞

vs2

6

0

@

2

@

v0l@

С@

v5

∞

∞

∞

∞ ∞ ∞

s

@

3 @

2

s

0

∞

∞

∞ ∞ ∞

3.

МИРЭА

vs4

vs2

6

2

v1

4

v3

@l

@

v0

v1

v2

v3

v4

v5

0

1

@

@

@

2

@

v0l@

@

v5

∞

∞

∞

∞

∞

∞

s

@

3 @

2

s

0

∞

∞

∞

∞

∞

4@@

@@