Уч.пособие-по-ОДМ-2012

φ(x) = f(x, x, . . . , x, αk+1, . . . , αn).

131

Покажем,что φ(x) = x :

{

φ(0) = (0, 0, . . . , 0, αk+1, . . . , αn) = f(αe) = 1 = 0

e

φ(1) = (1, 1, . . . , 1, αk+1, . . . , αn) = f(β) = 0 = 1

x φ(x)

Так как таблица истинности 0 1 полученной функции φ(x) сов-

10

падает с таблицей истинности функции f(x) = x, то φ(x) = x.

1 способ (с использованием алгоритма 1)

а) Найдем хотя бы одну пару наборов, на которой нарушается мо-

нотонность. Такой парой являются наборы σ1 = (000) и α1 = (001) :

e e

первые две координаты в наборе оставляем без изменений. Третью

координату заменяем на функцию x. Получаем набор γ = (0, 0, x). Найденная функция одной переменной φ(x) = f2(0, 0, x) - искомая

полученной функции φ(x) совпадает с таблицей истинности функции f(x) = x, то есть φ(x) = x.

б) fe3 = (0101 1011)

Наборы, на которых нарушается монотонность функции f3, уже по-

132

Наборы σe1 и αe1 различаются в первой координате; соответствующую этой координате переменную x1 заменяем на функцию x. Остальные координаты входят в набор γ = (x, 0, 1) без изменений.

φ(x) = f3(γ) = f3(x, 0, 1)

Индексы (000) и (001) при наборах α единичной длины соответствуют

б) При установлении немонотонности функции f3 в примере 7.11,

Замечание 7.15. Несмотря на то, что с помощью алгоритма 2 проще устанавливать монотонность функции, чаще используют алгоритм 1, так как в процессе его работы не только определяется монотонность, но и сразу находятся наборы, на которых она нарушается. Данные наборы мы используем для выражения функции x. Это особенно важно, когда x нужно выразить из немонотонной функции всеми возможными способами.

133

Решение.

1.Сначала исследуем функцию g(xe) на монотонность, применяя алгоритм 1.

Найдем носитель функции

Ng = {(0110), (0111), (1100), (1111)}.

Каждому набору σe из носителя сопоставим класс монотонности.

чит, других способов получить x в данном примере не имеется.

134

7.5Класс L линейных функций

Определение 7.9. Функция f(xe) называется линейной, если её многочлен Жегалкина не содержит конъюнкций.

Например, функции f1(x) = x1 x2 x4, f2(x) = 1 x1 x3 являются

функции.

fm = am0 am1x1 am2x2 . . . amnxn

135

F= f(f1, . . . , fm) = a00 a01f1 a02f2 . . . a0mfm =

=a00 a01 · (a10 a11x1 a12x2 . . . a1nxn)

a02 · (a20 a21x1 a22x2 . . . a2nxn) . . .

a0m · (am0 am1x1 am2x2 . . . amnxn).

Приведем подобные слагаемые, вынося за скобки одинаковые переменные:

Теорема 7.8. Число линейных функций, зависящих от n переменных, равно 2n+1, то есть

двоичным набором (α0, α1, . . . , αn) длины n + 1.

Число различных линейных функций равно количеству различных двоичных наборов длины n + 1, то есть 2n+1.

Получили:

|L| = 2n+1.

136

Теорема 7.9 (необходимое условие линейности функции). Если линейная функция f(x1, . . . , xn) отлична от константы, то количество единиц в её векторе значений равно числу нулей, то есть

|Nf | = 122n.

Доказательство. Пусть

f(x1, . . . , xn) = α0 α1x1 α2x2 . . . αnxn L.

Добавим к обеим частям уравнения выражение α2x2 . . . αnxn α0

x1 = α2x2 . . . αnxn α0 1.

Так как значение переменной x1 однозначно определяется из данного уравнения коэффициентами α2, . . . , αn, число различных решений равно количеству двоичных наборов (α2, . . . , αn) длины n − 1. Всего таких наборов 2n−1, то есть

Замечание 7.17. Условия теоремы являются необходимыми, но не достаточными. То есть, из того, что вектор значений функции содержит поровну нулей и единиц, не следует, что функция линейна.

137

fe1 = (1010 1010) = 1 x3 L

Например, fe2 = (0001 0111) = x2x3 x1x3 x1x2 / L , хотя число нулей и единиц в векторе значений обеих функций совпадает

(|Nf1 | = 4 = 22 = 23−1 = |Nf2 |).

Для получения многочлена Жегалкина булевых функций fe1 и fe2 мы использовали алгоритм 3 - метод треугольника (см. п. 3.5.3 на стр. 44). Выделенная в таблице колонка соответствует коэффициентам много-

В дальнейшем мы будем пользоваться следующим следствием:

Следствие 7.9.1. Если количество нулей и единиц в векторе значений функции, отличной от константы, различно, то функция нелинейна.

138

Лемма L (лемма о нелинейной функции).Из нелинейной функции f(x1, . . . , xn) путем подстановки в неё вместо переменных x1, . . . , xn функций одной переменной x, y, 0, 1, x и y можно получить одну из нелинейных функций: конъюнкцию или дизъюнкцию. Точнее, существует представление конъюнкции или дизъюнкции в виде суперпозиции констант, отрицаний и функции f.

Доказательство. Пусть f(x1, . . . , xn) / L. Это означает, что её многочлен Жегалкина содержит хотя бы одну конъюнкцию. Согласно теоре-

где α, β, γБарашев{0, 1} - коэффициенты, зависящие от конкретной функции f.

Все возможные функции φ(x, y) (в зависимости от значений коэффициентов α, β, γ) перечислены в следующей таблице:

139