Уч.пособие-по-ОДМ-2012
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
1 |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
0 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ↑ 1 |
↑ 0 |
0 ↑ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 5 4 2 5 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
↓ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
2 |
3 |
4 |
6 |
||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
5 |
4 |
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
5 |
2 |
|
3 |
4 |
|
||||||||||
|
6 |
|
|
↓ 7 |
4 |
|
|
3 |
7 |
4 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
4 3 7 4 6 |
|
||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
↓ 4 |
3 |
|
|
5 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4 |
|
|
↓ 5 |
2 |
|
|
6 |
5 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
6 5 |
2 |
3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Опять находим элементы, равные сумме меток. Строим граф G3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и находим полное паросочетание П1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
HH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
s@A HH |
s |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
s |
|
H5 |
|
s |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
s |
|
HAH |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
H |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
A@ H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
v2 HA @ HH w2 |
|
|
|
|
|
|
|
v2 H |
H |
|
|
|
|
HH w2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
A H@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
3 |
|
|
|
|
A @H w |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
v |
3 |
H |
|
В |
H w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
П3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
H |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
s@HH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
s |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
s |
@ HA |
sw4 |
|
|
|
|
|
|
|
v4 s |
|
|
|
|
|
H |
H |
|
sw4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
v4 |
|
|
@ A H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
@ A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
v4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|||||||
sБарашевAAHsw4 и w5, увеличиваем количество ребер в па- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
@A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
v5 s |
|
|
G3 |
@Asw5 |
|
|
|
|
|
|
|
v5 s |
|
|
|
П31 |
|
|
sw5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
10. Для |
построения максимального паросочетания воспользуемся |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
УнучекМИРЭА |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
венгерским алгоритмом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
v1 |
sA |
5 |
|
|
|
|
sw1 |
Поскольку существует путь |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
AA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
v2 sHHAHH sw2 |
|
|
|
|
|
|
v |
4 |
|
|
|
|
w |
|
|
|
v |
|
|
w |
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
s |
|
|
AA H7H |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7→ |
2 |
7→1 |
7→ |
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
HH |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
v3 H |
|
A |
|
|
w3 |
соединяющий ненасыщенные вершины v4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 HAH |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
v5 s |
|
|
|
|
AA |
sw5 |
росочетании, заменив ребро {v1, w2} на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
П32 |
|
ребра |
{ |
v4, w2 |
} |
и |
{ |
v1, w5 |
} |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11.Маршрут v5 7→w2 7→v4 7→w4 7→v3 7→w1 соединяет ненасыщенные вершины v5 и w1.
231
v1 sA5 |
H |
4 sw1 |
||||
|
s |
A |
|
|
s |
|
v2 |
HA |
|
|
|
w2 |
|
|
|
HA |
|
|
||
|
|
A H7H |
|
|||
v3 s AA Hsw3 |
||||||
v4 |
s A3AA |
|
sw4 |
|||
|
|
|
|
|
A |
|
v5 s6 |
|
|
Asw5 |
|||
Заменим ребра {v4, w2} и {v3, w4} на три ребра {v5, w2}, {v4, w4} и {v3, w1}.
|П3| = 5 = |V | = 5,
паросочетание П3 - совершенное.
|
П3 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
12. Оптимальное распределение работ между работниками: |
||||||
П3 = {( {v1, w5}, 5), ({v2, w3}, 7), ({v3, w1}, 4), |
|
|||||
|
|
|
|
= ({v4., w4П}, 3), ({v5, w2}, 6) }; |
||
|
|
|
эфф = 5 + 7 + 4 + 3 + 6 = 25 |
. |
||
|
Барашев |
|
|
А |
||
- суммарная максимальная эффективностьВ |
всех выполняемых ра- |
|||||
бот. |
|
|
|
С |
|
|
13. Проверка: |
i∑5 |
|
|
. |
||
|
|
5 |
|
|
|
|
эффективности |
|
ai = 3 + 6 + 4 + 3 + 4 = 20; |
|
|
||
Унучек5 11 4 3 3 |
|
|
||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
j∑4 |
bj = 0 + 2 + 1 + 0 + 2 = 5; |
|
|
|
Решение. |
=1 |
МИРЭА |
||||
|
|
∑1 |
ai + bj = 20 + 5 = 25 = эфф (верно). |
|||
Пример 12.8. Решить задачу об оптимальном назначении с матрицей
|
|
4 |
6 |
7 |
5 |
1 |
|
|
2 |
9 |
4 |
5 |
2 |
||
C = |
|
4 |
7 |
8 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
3 |
2 |
8 |
|
1. Найдем и подчеркнем максимальные элементы в строке.
232
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
7 |
4 |
6 |
7 |
5 |
1 |
||
|
9 |
2 |
9 |
4 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
4 |
7 |
8 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
5 |
11 |
4 |
3 |
3 |
|
|
|
||||||
|
8 |
4 |
1 |
3 |
2 |
8 |
|
2. Строим граф G1, находим в нем максимальное паросочетание П1. |
||||||||||||||||||||||
|
|
v1 |
|
s@ |
|
|
sw1 |
|
|
|
v1 |
|
s@ |
|
|
sw1 |
|
|
|
|
||
|
|
v2 |
s @@@ |
sw2 |
|
|
|
v2 |
s |
@@@ |
|
sw2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
@. |
|
|
|
|
|||
|
|
v3 |
s |
@ |
sw3 |
|
|
|
v3 |
|
s |
|
|
@sw3 |
|
|
|
|
||||
|
|
v4 s |
|
sw4 |
|
|
|
v4 |
.s Пsw4 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
v5 |
s |
|
|
sw5 |
|
|
|
v5 |
|
s |
|
|
|
sw5. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
G1 |
|
|
|
В |
П1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|П1| = 3 ̸= |V | = 5, паросочетание П1 |
не является совершенным. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
||
3. Находим множества S и φ(S): |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
S = {v1, v2, v3, v4}, φ(S) = {w2, w3}; |СS| = 4 > |φ(S)| = 2. |
|
|
|||||||||||||||||||
4. Изменяем метки, приписанные вершинам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
↑ 0 ↑ 0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 4 |
6 7 |
5 |
1 |
||||||||||||
6 |
|
7 |
4 |
5 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
↓ |
6 |
7 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8 |
9 |
2 |
9 |
4 |
5 |
2 |
|
|
|
|
8 2 |
9 4 |
5 |
2 |
|
|||||||
|
7 |
↓ |
8 |
4 |
7 |
8 |
2 |
3 |
|
|
|
|
7 |
4 |
7 |
8 |
2 |
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Барашев |
|
|
|
|
10 |
5 |
11 |
4 |
3 |
3 |
|
||||||||||
|
10 |
↓11 |
5 |
11 |
4 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
8 |
4 |
1 |
3 |
2 |
8 |
|
|||
|
8 |
↓ |
8 |
4 |
1 |
3 |
2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это означает, что ребраМИРЭАв двудольном графе не добавляются, граф G2 совпадает с G1, паросочетание П2 - с П1.
Неподчеркнутых элементов матрицы, значение которых равно |
|
|
|
сумме соответствующихУнучекметок, на данном шаге алгоритма нет. |
|
5. Множества S и φ(S) также остаются без изменений:
S = {v1, v2, v3, v4}, φ(S) = {w2, w3}; |S| = 4 > |φ(S)| = 2.
233
|
Повышаем и понижаем метки, приписанные тем же вершинам , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
что и на предыдущем шаге. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
2 |
|
0 |
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 ↑ 1 ↑ 1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
4 6 7 5 1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
↓ 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4 |
7 |
8 |
2 |
|
|
|
6 |
|
|
|
4 |
|
7 |
8 |
|
2 |
|
3 |
||||||||||||||||
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
5 |
↓ |
6 |
|
|
4 |
6 |
7 |
5 |
1 |
|
|
7 |
|
|
2 9 4 5 2 |
|
||||||||||||||||||
|
7 |
8 |
|
2 |
9 |
4 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
8 |
↓ |
8 |
|
4 |
1 |
3 |
2 |
8 |
|
8 |
|
|
|
4 |
|
1 |
3 |
|
2 |
|
8 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
9 |
↓10 |
5 11 |
4 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
5 |
11 |
4 |
|
3 |
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Добавилось одно новое ребро. Строим двудольный граф G3. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
v1 sJ@J@ |
|
|
sw1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 |
|
sJJ |
|
|
.sw1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
J@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
s |
|
J @ |
sw2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
s |
ПJ |
sw2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J @ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.J |
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
v3 s |
JJJ@sw3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v3 s |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JJJ sw3 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Барашев |
Вv4 s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
v4 s |
|
Jsw4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jsw4 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
v5 |
s |
|
|
|
sw5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v5 |
|
s |
|
.Аsw5 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Унучек |
|
|
= 4 > |φ(S)| = 3. |
||||||||||||||||||||||||
S = |
{v1, v2, v3, v4}, |
φ(S) = |
{w2 |
, w3, w4}; |S| |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МИРЭА |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
8. Изменяем метки, приписанные вершинам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
3 |
1 |
|
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 0 |
0 |
4 |
|
4 6 7 5 1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
4 |
6 |
7 |
5 |
1 |
|
|
6 |
|
2 9 4 5 2 |
|
||||||||||||||||||
|
6 |
↓ 7 |
2 |
9 |
4 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
↓ 6 |
4 |
7 |
8 |
2 |
3 |
|
|
5 |
|
4 |
|
7 8 2 3 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8 |
↓ 9 |
5 11 |
4 |
3 |
3 |
|
|
8 |
|
5 11 4 3 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
8 |
↓ 8 |
4 |
1 |
3 |
2 |
8 8 |
|
4 |
|
1 3 2 8 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. Строим граф G4 и находим в нем полное паросочетание П4 .
234
v1 |
sJ@J@ |
|
sw1 |
|
v1 sJJ |
|
|
sw1 |
||
v2 |
s |
J@ |
sw2 |
|
v2 |
s JJJ |
|
|
sw2 |
|
|
JJ@@ |
|
|
|
||||||
v3 |
s |
|
JJ @ |
sw3 |
|
v3 |
s |
JJ |
sw3 |
|
v4 s JJsw4 |
|
v4 s |
|
JJsw4 |
||||||
v5 |
s |
|
|
sw5 |
|
v5 |
s |
|
|
sw5 |
|
|
|
G4 |
|
|
П4 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. Паросочетание П4 является максимальным, но не является со- |
||||||||||
вершенным. Значит, по теореме Холла существует такое мно- |
||||||||||
жество S |
V : |S| > |φ(S)|. Так как окружение множества |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
В |
|
. |
||
S = {v1, v2, v3, v4} состоит из 4 вершин:.φ(ПS) = {w1, w2, w3, w4} |
||||||||||
(то есть |S| = 4 = |φ(S)|), данное множество нам не подходит. |
||||||||||
В качестве множества S возьмем, например, вершины v2 и v4, |
||||||||||
Барашев |
|
|
|
|
|
|||||
смежные с одной вершиной w2 |
: |
|
|
|
|
|
||||
S = {v2, v4}, φ(S) = {w2}; |S| = 2 >.|φ(АS)| = 1.
11. Понижаем метки у вершин v2 и v4, повышаем метку вершины w2.
|
|
|
|
|
|
Унучек |
|
С |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
4 |
3 |
1 |
0 |
|
|
|
3 |
1 |
0 |
|
|||||
|
|
|
0 |
↑ 3 |
3 |
1 |
0 |
|
0 |
4 |
|
|||||||||
|
|
|
4 |
4 |
6 |
7 |
5 |
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5 |
6 |
2 |
9 |
4 |
5 |
2 |
5 |
4 |
7 |
8 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||
|
4 |
|
4 |
4 |
6 |
7 |
МИРЭА |
2 |
|
|||||||||||
|
5 |
1 |
|
5 |
2 |
9 |
4 |
5 |
||||||||||||
|
5 |
|
5 |
4 |
7 |
8 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
8 |
↓ |
8 |
4 |
1 |
3 |
2 |
8 |
|
8 |
4 |
1 |
3 |
2 |
8 |
|
||||
|
|
|
7 |
5 |
11 |
4 |
3 |
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
8 |
5 |
11 |
4 |
3 |
|
|
|
||||||||||
7 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Новые ребра не появились; граф G5 совпадает с G4, паросочетание П5 - с П4.
Множества S и φ(S) также остаются без изменений:
S= {v2, v4}, φ(S) = {w2}; |S| = 2 > |φ(S)| = 1.
12.Изменяем метки, приписанные вершинам.
235
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
5 |
3 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
5 |
3 |
1 |
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 ↑ 4 |
3 |
1 |
0 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
4 6 |
7 5 1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
5 |
2 |
|
|
9 |
4 |
5 |
2 |
|
4 7 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
4 |
4 |
4 |
|
|
6 |
7 |
5 |
1 |
|
5 |
8 2 3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
2 9 4 5 2 |
|
||||||||||||||||||||
|
5 |
|
5 |
4 |
|
|
7 |
8 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
8 |
↓ |
8 |
4 |
|
|
1 |
3 |
2 |
8 |
|
|
8 |
4 1 |
3 2 8 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
5 |
11 |
4 |
3 |
3 |
|
|||||
|
|
|
7 |
5 11 |
4 |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. Строим граф G6 и находим в нем максимальное паросочетание П6 |
||||||||||||||||||||||||||||
. |
|
|
|
|
sJ@J@ |
|
sw1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
.sw1 |
|
||||||
|
|
|
v1 |
|
|
|
|
|
|
|
v1 |
|
|
4 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
J@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
s@ J @ |
sw2 |
|
|
|
|
|
|
v2 s@ |
5 |
|
|
11 sw2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
@ J @ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
@ J @ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П@ 8 |
|
|
||||
|
|
|
v3 |
s |
|
|
@J |
sw3 |
|
|
|
|
|
|
v3 |
.s @ |
|
|
sw3 |
|
||||||||
|
|
|
v4 s @J@Jsw4 |
|
|
|
|
|
|
Вv4 s @@sw4. |
||||||||||||||||||
|
|
Барашев |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
v5 |
s |
|
|
|
|
sw5 |
|
|
|
|
|
|
v5 |
s |
|
. |
sw5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
А |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
G4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Унучек |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
14. Оптимальное распределение работ междуСработниками: |
||||||||||||||||||||||||||||
П6 = |
|
|
|
|
j∑4 |
|
|
МИРЭА |
|
|||||||||||||||||||
{( {v1 |
, w1}, 4), ({v2 |
, w4}, 5), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
({v3, w3}, 8), ({v4, w2}, 11), ({v5, w5}, 8) }; |
|||||||||||||||||
эфф = 4 + 5 + 8 + 11 + 8 = 36 - суммарная максимальная эф- |
||||||||||||||||||||||||||||
фективность всех выполняемых работ. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
15. Проверка: |
|
i∑5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ai = 4 + 4 + 5 + 6 + 8 = 27; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bj = 0 + 5 + 3 + 1 + 0 = 9; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑1 |
ai + bj = 27 + 9 = 36 = эфф |
(верно). |
|
||||||||||||||||||
236
12.4Задачи для самостоятельного решения
Решить задачу об оптимальном назначении с заданной матрицей эффективностей.
|
|
|
7 |
6 |
9 |
6 |
|
|
|
|
|
1. C = |
6 |
4 |
5 |
7 |
; |
|
|
|
|||
|
5 |
4 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
4 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
5 |
8 |
6 |
7 |
|
|
|
|
П |
|
|
|
3 |
2 |
4 |
3 |
|
|
|
|
. |
2. C = |
|
4 |
7 |
4 |
5 |
|
; |
|
|
||
|
|
|
4 |
3 |
5 |
3 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
3 |
6 |
3 |
|
|
|
В . |
|
3. C = |
4 |
1 |
5 |
1 |
; |
|
|||||
|
4 |
2 |
5 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.А |
|
|
Барашев |
|||||||||
|
|
|
6 |
5 |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
6 |
4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
3 |
4 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C = |
|
Унучек3 1 6 |
|
|||||||
4. |
|
|
2 |
3 |
5 |
1 |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
МИРЭА |
||||||||
|
|
|
3 |
4 |
6 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
10 |
7 |
|
5 |
7 |
|
|
|
|
|
7 |
12 |
11 |
8 |
10 |
|
|
|||
5. |
C = |
|
9 |
11 |
8 |
|
5 |
8 |
|
; |
|
|
8 |
7 |
10 |
6 |
6 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
8 |
7 |
|
5 |
9 |
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
4 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
4 |
5 |
9 |
|
|
|
||
6. |
C = |
|
|
; |
|
|
|||||
|
4 |
5 |
7 |
3 |
8 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
237
|
|
|
6 |
9 |
4 |
7 |
7 |
|
|
|
9 |
12 |
6 |
11 |
10 |
||
|
|
|
5 |
9 |
5 |
6 |
6 |
|
7. |
C = |
|
. |
|||||
|
6 |
6 |
3 |
7 |
5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
6 |
7 |
10 |
7 |
|
Ответы к задачам для самостоятельного решения
1. |
эфф |
= 26; |
|
|
|
. |
||
2. |
|
эфф = 22; |
|
|
|
|||
|
|
|
П |
|
||||
3. |
|
эфф |
= 17; |
|
|
|
||
4. |
|
= 26; |
|
В |
. |
|||
|
|
эфф |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
. |
|
|
||
5. |
эфф = 46; |
|
|
|
|
|
||
6. |
|
Барашев |
|
|
|
|
||
|
эфф |
= 24; |
|
|
. |
|
||
7. |
|
эфф = 40. |
|
С |
А |
|||
|
|
|
|
Унучек |
|
|
|
|
|
|
|
|
МИРЭА |
|
|||
238
Глава 13
Сети. Потоки.
.
13.1Основные определения.
|
П |
. |
|
В |
|
Рассмотрим ориентированный граф G =< V, E > без петель, в ко- |
|
тором каждой дуге (ребру, имеющему направление) l ставится в со- |
||
Барашев |
А |
спо- |
ответствие неотрицательное число c(l), называемое пропускной. |
||
собностью дуги. |
. |
|
Обозначим через M+(v) множество дуг, для которых вершина v |
|
|
С |
является началом; через M−(v) - множество дуг, для которых v - конец. |
|
Определение 13.1. Транспортной сетью G =< V, E > назы- |
|
Унучек |
|
вается ориентированный граф без петель, все дуги l которого имеют |
|
пропускную способность c(l) > 0, и имеющий две выделенные верши- |
|
ны v0 и vn такие, что: |
МИРЭА |
|
|
1. |
M−(v0) = 0; |
2. |
M+(vn) = 0. |
Вершина v0 называется источником (все дуги в этой вершине только начинаются и ни одна не заканчивается).
Вершина vn называется стоком (все дуги заканчиваются в стоке и ни одна не начинается).
Все вершины в транспортной сети, отличные от источника и стока, называются промежуточными.
Определение 13.2. Потоком в транспортной сети называется неотрицательная функция φ(l), заданная на дугах сети, такая, что:
239
1.для любой дуги l E выполнено неравенство φ(l) 6 c(l);
2.для всех промежуточных вершин v V выполнено равенство
∑∑
φ(l) = |
φ(l). |
l M−(v) |
l M+(v) |
Таким образом, поток по каждой дуге не превышает пропускной способности дуги. Сумма потоков по дугам, заходящим в произволь-
ную промежуточную вершину, равен сумме потоков по дугам, исходя- |
||
щим из этой вершины. |
. |
|
|
П |
|
Замечание 13.1. Поток не возникает и не накапливается в промежу- |
||
точных вершинах. |
. |
. |
|
||
|
|
|
Транспортная сеть является математической моделью распределения жидкости (например, нефти) или газа в трубопроводе, движения
Барашев |
|
|||
потоков транспорта по сети автодорог и такВдалее. |
||||
Определение 13.3. Величиной потока |φ| называют.Асумму пото- |
||||
ков по дугам, исходящим из источника: |
||||
|
|φ| = |
|
|
φ(l). С |
Унучек |
||||
|
|
M+(v |
) |
|
|
l ∑ 0 |
|
|
|
|
МИРЭА |
|||
Замечание 13.2. Величина потока равна также суммарному потоку, |
||||
заходящему в сток: |
|
∑ |
|
|
|
|φ| = |
M−(vn) |
φ(l). |
|
|
l |
|
||
Определение 13.4. Поток φ в транспортной сети G =< V, E > называется максимальным потоком, если его величина не меньше величины любого потока φ в этой сети: |φ| > |φ|.
Замечание 13.3. Очевидно, что в одной и той же сети может быть несколько максимальных потоков, но их величины совпадают.
240