Уч.пособие-по-ОДМ-2012

Это означает, что существует хотя бы один набор αe = (α1, . . . , αn) та-

кой, что f(α1, . . . , αn) ≠ f(α1, . . . , αn) f(α1, . . . , αn) = f(α1, . . . , αn).

В наборе αe = (α1, . . . , αn), αi {0, 1} заменим все αi = 1 на x1 = x, а все αi = 0 - на x0 = x.

Полученная функция одной переменной φ(x) = f(x 1 , . . . , x n ) является константой.

Проверим это. Так как x = x α 1, то

{0 = 0 α 1 = α 1 = α 1 = 1 α 1 = α 0 = α

φ(0) = f(0 1 , . . . , 0 n ) = f(α1, . . . , αn) = f(α1, . . . , α.n) =

= f(1 1 , . . . , 1 n ) = φ(1).

а) Несамодвойственность функции f1 = (0011 0111) установлена в

нарушается самодвойственность. Так как самодвойственные функции расположены симметрично относительно середины таблицы, просматриваем значения функции, двигаясь от краев таблицы к её середине (либо наоборот), пока не найдем пару одинаковых значений функции (таким образом можно устанавливать самодвойственность функций -

121

Такой парой наборов являются наборы (010) и (101): f1(0, 1, 0) = f1(1, 0, 1) = 1. Значение функции на этих наборах равно 1, поэтому по лемме S мы можем получить только константу 1.

Из пары противоположных наборов α1 = (010) и α2 = (101) выбираем тот, в котором количество единиц больше, то есть набор α2 = (101).

на функцию x, все нули - на x.

Барашев СамодвойственностьУнучекнарушается на паре крайних наборов (000) и

(111), так как f2(0, 0, 0) = fМИРЭА2(1, 1, 1) = 0.

Получим функцию "тождественный ноль"на наборе, состоящем из

большего количества единиц, то есть на наборе α2 = (111). Опять

Замечание 7.7. Самодвойственность функции f2 нарушается на всех парах противоположных наборов.

Пример 7.9. Выразить из функции fe = (1100 1101 0011 1101) константу всеми возможными способами.

Решение.

122

Проверим, что f / S, применяя второй алгоритм определения самодвойственности функции:

(1 1 0 0 1 1 0 1 | 0 0 1 1 1 1 0 1)

←−−−−−−−−−−

(1 0 1 1 1 1 0 0)

(1 1 0 0 1 1 0 1) ̸≡(0 1 0 0 0 0 1 1) f / S.

Самодвойственность нарушена, можно применять лемму S. Для

удобства изображения отметим на рисунке только те наборы, на которых нарушается самодвойственность.

Мы получили 8 различных способов выражения константы из несамодвойственной функции.

123

7.4Класс M монотонных функций

Определение 7.7. Для наборов α = (α1, . . . , αn) и β = (β1, . . . , βn)

Замечание 7.9. Не любые пары наборов находятся в отношении пред-

e e

Замечание 7.10. Следование в таблице истинности является необходимым, но не достаточным условием предшествования наборов.

Подтверждением этому является пример из замечания 7.9. Набор αe

e e e

расположен в таблице истинности раньше набора β, но α β.

124

Определение 7.8. Функция f(x) называется монотонной, если для

Замечание 7.11. Очевидно, что функции одной переменной 0, 1, x являются монотонными, а f(x) = x - немонотонная функция, так как

(0) 4 (1), но f(0) = 1 > 0 = f(1).

1.Находим носитель функции Nf = {σe Bn | f(σe) = 1}.

2.Для каждого набора σ из носителя находим соответствующий ему класс монотонности, в который помещаем все наборы длины n, которым предшествует набор σ :

σNf 7→M = {αe Bn | σe 4 αe}.

3.Проверяем, является ли класс монотонности M подмножеством носителя. Если да, алгоритм продолжаем (переход к пункту 2).

4.Если для всех классов M выполнено условие M Nf , то функция f(xe) монотонна (f(xe) M).

Как только встречается набор αe такой, что σe 4 α,e но f(αe) / Nf ,

алгоритм прекращает свою работу. Функция f(xe) немонотонна, так как не выполняется определение монотонной функции:УнучекМИРЭА .

σe 4 α,e

но

f(σe) = 1 > 0 = f(αe) .

| {z } | {z }

т.к.e Nf т.к.e=Nf

Пример 7.10. Являются ли функции

125

а) fe1 = (0011 0111)

б) fe2 = (1010 1010)

в) fe3 = (0101 1011)

монотонными?

126

5. M 2 Nf1 , значит, берем следующий набор носителя σe3 = (101). σe3 7→M 3 = {(101), (111)} Nf1 .

M 1 = B3 = {(000), (001), (010), (011), (100), (101), (110), (111)}.

3.Набор αe1 = (001) M 1 , но αe1 = (001) / Nf2 , значит, функция f2 немонотонна, поскольку σe1 = (000) 4 αe1 = (001),

при этом f2(000) = 1 > 0 = f2(001).

2.σe1 = (001) 7→M 1 = {(001), (011), (101), (111)}.

127

Замечание 7.12. Количество наборов в классе монотонности M равно 2k, где k - количество нулей в наборе σ.

Замечание 7.13. Классу монотонности, соответствующему набору

7.4.2 Алгоритм 2 определения монотонности булевой функции

1.Делим вектор значений функции f(xe) = (α0α1 . . . α2n−1) на две

равные части. Получаем два набора αe0 = (α0α1 . . . α2n−1−1) и

αe1 = (α2n−1 α2n−1+1 . . . α2n−1).

2.Если отношение предшествования αe0 4 αe1 для полученных векторов αe0 и αe1 не выполнено, то функция не является монотонной.

3.В противном случае каждый из векторов αei0 , i0 {0, 1} делим на две равные части; получаем наборы αei0i1 , i0 {0, 1}, i1 {0, 1}, длина которых равна половине длины наборов αei0 , и проверяем, выполнено ли отношение предшествования у полученных пар векторов αei00 4 αei01; i0 {0, 1}.

Если не выполнено хотя бы одно из отношений αei00 4 αei01, то функция не принадлежит классу монотонных функций.УнучекМИРЭА

128