Уч.пособие-по-ОДМ-2012

Получаем формулу для "конъюнкции": g(x, y, 0) = f(0, 0, g(x, y, 0)) =

=f(g(x, x, x), g(x, x, x), g(x, y, 0)) =

=f(g(x, x, x), g(x, x, x),g(f(g(x, x, x), g(x, x, x), x),

из основных замкнутых классов T0, T1, S, M и L, и, согласно критерию Поста, полна.

161

II.Выразим функции 0, 1, ¬, &, через функцию f.

1.Так как f(000) = 1 > f(111) = 0, на паре наборов (000) и

(111)нарушается монотоннность.

{αe = (000)

чение функции f равно 1, нет, для выражения константы 1 воспользуемся тождествомМИРЭА0 = 1 :

f(x, x, x) ≡ 0 f(x, x, x) ≡ 0 ≡ 1

φ3(x) = f(x, x, x) ≡ 1.

f(f(x, f(x, x, x), x), f(x, f(x, x, x), x), f(x, f(x, x, x), x)) ≡ 1

- формула для выражения функции 1 через функцию f (заметим, что функции 0 и x уже выражены через f)

4. f(x1, x2, x3) = 1 x2 x1x3 x1x2x3.

Возьмем кратчайшую конъюнкцию K = x1x3. Оставляем переменные x1 и x3 без изменения, вместо x2 подставим 0. Вычислим значение функции f на наборе γe = (x1, 0, x3) :

f(x1, 0, x3) = 1 0 x1x3 x1 ·0·x3 = 1 x1x3 = x1x3 = x1 x3

162

Заменим x1 ↔ x; x3 ↔ y; φ4(x, y) = f(x, 0, y) = x y

f(x, f(x, x, x), y) =

=f(f(x, x, x), f(x, f(x, x, x), x), f(y, y, y)) = x y

-формула для выражения функции "дизъюнкция" через функцию f

8.3 Задачи для самостоятельного решения

1. Проверить полноту системы функций = {f1, f2}. В случае полноты системы представить формулами над функции 0, 1, ¬, &, .

163

164

ражаются точками, а ребра - отрезками, соединяющими соответствующие вершины.

Пример 9.1. Граф G1 = < V1, E1 >, где V = { v1, v2, v3, v4, v5 },

E = { {v1, v2}, {v1, v3}, {v2, v3}, {v3, v4} } можно изобразить следующим образом:

Рассмотрим ребро lij = {vi, vj} графа G = < V, E >.

Определение 9.2. Вершины vi и vj, соединенные ребром, называются

смежными.

165

Ребро lij = {vi, vj} называют инцидентным к вершинам vi и vj, вершины vi и vj - инцидентными к ребру lij.

Говорят, что ребро lij соединяет вершины vi и vj; vi и vj называют

концами ребра lij.

Пример 9.2. В графе G1 = < V1, E1 > из примера 9.1 вершины v1 и v2 являются смежными; v1 и v3, v2 и v3, v3 и v4 - также пары смежных вершин. При этом вершины v1 и v4 смежными не являются. Вершина v5 не смежна ни с одной вершиной из G1.

ребро {v4, v4} - петля; ребра, соединяющие вершины v2 и v3, - кратные.

Замечание 9.1. Если граф содержит кратные ребра, более удобным способом задания графа является указание кратности ребер в фигурных скобках после перечисления концов ребра. Например, граф G2 из примера 9.3 удобнее задать следующим образом:

G2 = < V2, E2 >, V = { v1, v2, v3, v4, v5 },

E = { {v1, v2, 1}, {v1, v3, 1}, {v2, v3, 2 }, {v3, v4, 1}, {v4, v4, 1} }.

166

Определение 9.4. Два различных ребра называются смежными, если они имеют по крайней мере одну общую вершину.

Замечание 9.2. Все кратные ребра в графе являются смежными.

Пример 9.4. Ребра {v1, v2} и {v1, v3} из предыдущх примеров смежные, так как имеют общую вершину v1. Ребра {v1, v3} и {v3, v4} также

Определение 9.6. Граф G = < V, E >, множество E ребер которого является неупорядоченными парами вершин, называется неориентированным графом.

Пример 9.6. Графы G1 и G2 из предыдущих примеров - неориентированные.

167

Определение 9.7. Граф G = < V, E >, множество E ребер которого является упорядоченными парами вершин, называется ориентированным графом.

Ребра ориентированного графа обычно называются дугами. Для ориентированного графа (vi, vj) ≠ (vj, vi).

При графическом изображении направление дуги ориентированного графа обычно указывают стрелками.

168

Определение 9.10. Вершина v графа называется изолированной, если deg(v) = 0.

Пример 9.9. Вершина v5 графа G4 из предыдущего примера является изолированной.

Определение 9.11. Вершина v называется висячей, если deg(v) = 1.

Доказательство. Так как каждое ребро графа соединяет 2 вершины (не обязательно различные), степень каждой вершины увеличивается на 1 за счет каждого ребра. Таким образом, в сумму степеней всех

Следствие 9.1.1. Сумма степеней вершин графа всегда четное число.

Пусть утверждениеУнучектеоремыМИРЭАневерно, тогда имеется нечетное количество вершин, степени которых нечетны.

Теорема 9.2. В любом графе число вершин нечетной степени четно. Доказательство. Докажем теорему от противного.

По следствию к предыдущей теореме, сумма степеней вершин с четными степенями четна. Сумма степеней всех вершин графа равна сумме степеней вершин с нечетными степенями плюс сумма степеней вершин с четными степенями. Так как сумма нечетного числа и четного всегда нечетное число, то сумма степеней всех вершин графа - нечетное число, что противоречит следствию 9.1.1 к теореме 9.1.

Таким образом, теорема верна.

169

Определение 9.12. Графы G1 = < V1, E1 > и G2 = < V2, E2 > называются изоморфными, если существует такое взаимнооднозначное отображение φ : V1 → V2, при котором для любых двух вершин первого графа vi, vj V1 число соединяющих их ребер равно числу ребер, соединяющих соответствующие им вершины второго графа φ(vi) и φ(vj).

В предыдущемБарашевпункте уже рассмотрены 2 способа задания графов:

1). Перечисление элементов множеств вершин и ребер G = < V, E >;

2). Графический.

При рассмотрении первого способа становится очевидным, что для графа, не содержащего изолированных вершин, задание множества вершин V является избыточным. Отсюда следует еще один способ задания графа:

3). Список ребер графа.

Каждый элемент этого списка соответствует ребру; в нем заданы номера вершин, инцидентных данному ребру.

Для неориентированного графа порядок вершин в каждом элементе произволен, ребра задаются в фигурных скобках.

170