Уч.пособие-по-ОДМ-2012

горитм заканчивает работу. Вес остова равен

∑

= 3 × 2 + 2 × 3 + 2 × 4 = 20.

l

Замечание 10.1. При другой нумерации вершин мы получили бы другую последовательность ребер, и остов получился бы отличным от построенного. Несмотря на то, что минимальный остов

не единственнен для данного графа, вес всех полученных остовов будет одинаков.

191

6. Все вершины включены в остов, заканчиваем работу алгоритма.

Вес полученного дерева

Пример 10.5. Построить минимальный остов графа, изображенного

192

s

v5

3. Включаем в остов T ребро {v0, v1} - первое ребро из списка.

193

s

v5

5.Ребра {v0, v4} и {v2, v5}длины 5 включаем в остов, а ребра {v5, v7} и {v4, v8} - нет (образуются циклы). Количество ребер на данном

этапе работы алгоритма равно 7.

194

195

10.3Задачи для самостоятельного решения

1. Найти минимальный остов графа, заданного списком взвешенных ребер:

196

197

Глава 11 Алгоритм поиска кратчайшего пути

11.1Постановка задачи

Данную задачу, как и большинство задач логистики, можно решать

с помощью графов.

число - его вес. КаждомуМИРЭАнаселенному пункту A, B, . . . , S соответствует вершина графа v0, v1, . . . , vn. Стоимость проезда - вес (длина) соответствующего ребра. Если автосообщения между пунктами нет, то и соответствующее ребро в графе отсутствует.

Рассмотрим простойУнучеквзвешенный граф G, то есть граф без кратных ребер и петель, каждому ребру которого приписано неотрицательное

На языке графов задача формулируется следующим образом: Требуется найти маршрут из вершины v0 в вершину vn графа G такой, что сумма длин ребер, входящих в этот путь, минимальна.

Такой путь обычно называют кратчайшим.

Кратчайший путь удобно находить с помощью алгоритма Дейкстры. Существует несколько версий данного алгоритма, рассмотрим одну из них.

В процессе изучения алгоритма мы будем использовать символ "∞\. Под "∞\ в этом алгоритме понимают величину, для которой выполнены свойства:

198

а) min(n, ∞) = n, n > 0, то есть все целые числа n меньше "∞\.

б) min(∞, ∞) = ∞

в) n + ∞ = ∞ + ∞ = ∞

В процессе работы алгоритма каждой вершине vi ставим в соответствие метку λ(vi) = ρ(v0, vi) - расстояние от вершины v0 до vi. Длину ребра {vi, vj} обозначим через l(vi, vj).

11.2Алгоритм Дейкстры

вершину vis постоянной. Остальные вершины (за исключением v0) - временные.МИРЭА

4. Находим расстояние от вершины v0 до каждой вершины vin, смежной с vis, вдоль пути, проходящего через вершину vis. Это расстояние равно

ρ(v0, vin) = l(v0, vis) + l(vis, vin).

Если найденное расстояние меньше, чем значение метки вер-

λ(vin) = ρ(v0, vin).

Среди всех вершин выбираем вершину с наименьшим значением метки (наименьшим расстоянием до v0). Данная вершина становится постоянной.

199

5. Пусть вершина vk, имеющая метку λ(vk) = ρ(v0, vk) является постоянной на данном этапе алгоритма. Для каждой вершины vj, смежной с vk, проверяем метку.

Если выполнено неравенство λ(vk)+l(vk, vj) < λ(vj) (или, что то же самое, ρ(v0, vk) + l(vk, vj) < ρ(v0, vj)), то значение метки вершины vj заменяем на λ(vk) + l(vk, vj). Таким образом, величина метки вершины vj уменьшится.

6. Находим временную вершину с наименьшей меткой. Делаем

разностиУнучекметок вершинМИРЭАего концов. Вершина vjs входит в кратчайший путь: vn → vjs.

2.Пусть вершина vjk входит в кратчайший путь. Изучая смежные с ней ребра, находим ребро {vjk, vjl}, для которого верно равенство l(vjk, vjl) = λ(vjk) − λ(vjl). Это означает, что вершина vjl также входит в кратчайший путь:

vn → vjs → . . . → vjk → vjl.

3.Продолжаем искать вершины аналогично предыдущему шагу алгоритма, пока не дойдем до вершины v0.

200