Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Уч.пособие-по-ОДМ-2012

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

2.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 275 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

3.5Различные алгоритмы построения многочлена Жегалкина

3.5.1Алгоритм 1 (посредством СДНФ)

1. Строим СДНФ функции, отличной от нуля (функция f(xe) ≡ 0 уже представлена в виде многочлена Жегалкина).

2.	Заменяем все символы " " на " ".
3.	Выносим за скобки одинаковые сомножители и упрощаем полу-
								.П
	ченную формулу, применяя тождество								.

			xy xy	= x(y y) = x · 1 = x.
4.	Все отрицания переменных					i	заменяем на выражение xi 1 (в
4.	Все отрицания переменных				x	i	заменяем на выражение xi 1 (в
	силу равенства		i = xi 1).					В	.
	силу равенства	x	i = xi 1).
5.	Раскрываем скобки, учитывая сочетательный и распределитель-
	ный законы функций алгебры логики.								.А

ПредставимБарашевфункцию в виде СДНФ		С
6. Приводим подобные члены, вычеркивая пары одинаковых слага-
емых (согласно тождеству x x = 0).
Унучек
7. В результате проведенных преобразований получаем многочлен
Жегалкина заданной функции.
f(xe) = x·y·z x·y·z x·yМИРЭА·z x·y·z = x·y·z x·y·z x·y·z x·y·z =
Пример 3.11. Представить функцию	f = (01001101) в виде много-
члена Жегалкина.	e

Решение.

fсднф = x · y · z x · y · z x · y · z x · y · z

Упростим представление данной функции , используя приведенный выше алгоритм:

=x · y · z x · y · z xz(y y) = x · y · z x · y · z x · z =

=(x 1)(y 1)z x(y 1)(z 1) xz =

=xyz yz xz z xyz xz xy x xz = yz xz z xy x.

Итак, f(xe) = yz xz z xy x- представление заданной функции многочленом Жегалкина.

3.5.2Алгоритм 2 (метод неопределенных коэффициентов)

1.Выписываем в общем виде многочлен Жегалкина функции n переменных

	P	x) =						.a13x1x3 . . .
		(e= a0 a1x1 a2x2 . . . anxn a12x1x2						.a13x1x3 . . .
					n		П
						.
							. . . a12:::nx1x2 · · · xn.
2. Для каждого набора α B						составляем уравнение P (α) = f(α),
	где P (α)- выражение, получаемое из многочлена Жегалкина P (x)
тов.		Барашевe							А		систе-
	при подстановке		вместо x	двоичного набора α. Получаем.							систе-
	при подстановке		e			В	.			e	e
		2n									коли-
	му из e линейных уравнений (количество уравнений равно										e
	честву двоичных		наборов) с 2n неизвестными (неизвестными яв-
	честву двоичных		e				e
						С
	ляются коэффициенты a0, a1, a2 . . . a12:::n).						Определитель системы
	равен 1, система имеет единственное решение.
		УнучекМИРЭА
3. Решая систему, находим все коэффициенты.
4.	Подставляя найденные коэффициенты в P (x), получаем искомый
4.	многочлен Жегалкина.						e

Пример 3.12. Представить функцию f = (01001101) из примера 3.11 в виде многочлена Жегалкина методом неопределенных коэффициен-

Решение.

1.Многочлен Жегалкина функции 3 переменных в общем виде задаётся формулой

P (x, y, z) =

= a0 a1x1 a2x2 a3x3 a12x1x2 a13x1x3 a23x2x3 a123x1x2x3.

2.Для наглядности зададим функцию таблично. x y z f

																		0			0		0				0
																		0			0		1				1
																		0			1		0				0
																		0			1		1				0
																		1			0		0				1								.
																		1			0		1				1								.
																		1			0		1				1						П
																		1			1		0				0						П
																		1			1		0				0
																		1			1		1				1			.
																														.
Последовательно подставляя наборы в стандартном (лек-
сикографическом)										порядке,													получаем										систему						уравнений.
	f(000) = a0				a1			a·		0				a2						0 a3 · 0 a12 · 0 · 0 a13																			· 0 · 0
								a·		23	0						0·		a123 · 0В· 0 · 0 = 0 .
	Барашев· · ·																															·		·					·		·
	Барашев· · ·																															·		·					·		·
f(001) = a0					a1					0	·			a·2						0			a3			1				a12			0		0		a13			0	1
				· · ·																													.						· ·
				· · ·																												· ·							· ·
							a					0					1				a					0			0		1 = 1					А
							a				·	0			·		1				a				·	0		·	0	·	1 = 1
											·				·										·			·		·
									23														123
					a				23					a						1			123			0				a			0		1					0	0
f(010) = a					a			·		0				a				·		1			a		·	0				a		·	0	·	1		a		·	0	0
								·										·							·							·		·					·		·
			0			1										2								3							12							13
			0			1		a				1				2					a			3		0			1		12							13
								a			·	1			·		0				a				·	0		·	1	·	0 = 0
											·				·										·			·		·
										23												123								aС0
										23												123
Заметим:		Унучек																																	1		a			0	1
f(011) = a					a			·		0				a				·		1			a		·	1									1		a		·	0	1
								·										·							·							· ·							·		·
			0			1										2								3							12							13
			0			1		a				1				2					a			3		0			1		12							13
								a			·	1			·		1				a				·	0		·	1	·	1 = 0
										23	·				·							123			·			·		·
										23												123
учитывая, что 0 0 =МИРЭА0 и 1 1 = 0.																																					a			1	0
f(100) = a					a			·		1				a				·		0			a		·	0				a		·	1	·	0		a		·	1	0
								·										·							·							·		·					·		·
			0			1										2								3							12							13
			0			1										2								3							12							13
f(101) = a0					a1			a23			·	0 0 a123 · 1 · 0 · 0 = 1																							0		a13			1	1
f(101) = a0					a1					1	·			a·2						0			a3			1				a12			1		0		a13			1	1
				· · ·																												· ·							· ·
				· · ·																												· ·							· ·
								a				0					1				a					1			0		1 = 1
								a			·	0			·		1				a				·	1		·	0	·	1 = 1
											·				·										·			·		·
										23												123
										23												123
f(110) = a					a					1				a						1			a			0				a			1		1		a			1	0
			0			1										2								3							12							13
			0			1		a				1				2					a			3		1			1		12							13
								a			·	1			·		0				a				·	1		·	1	·	0 = 0
											·				·										·			·		·
										23												123
										23												123
					a					1				a						1			a			1				a			1		1		a			1	1
f(111) = a					a			·		1				a				·		1			a		·	1				a		·	1	·	1		a		·	1	1
								·										·							·							·		·					·		·
			0			1										2								3							12							13
			0			1										2								3							12							13
								a				1					1				a					1			1		1 = 1
								a			·	1			·		1				a				·	1		·	1	·	1 = 1
										23	·				·							123			·			·		·
										23												123
		если строго											придерживаться																		стандартного										порядка,

каждое последующее уравнение содержит ровно один новый неизвестный коэффициент. Решаем полученную систему уравнений,

		a0 = 0
						a3
	a0					a3			= 1
	a0			a2 = 0


						a				a					a			= 0
	a					a				a					a			= 0
			0					2			3						23
			0					2			3						23
			0			a		1	= 1
	a					a			= 1
		a0				a1				a3					a13 = 1
	a0			a1					a2			a12 = 0
																																a
	a																															a


						a				a					a				a			a				a			a = 1
	a					a				a					a				a			a				a			a = 1
			0					1			2						3			12			13				23		123
			0					1			2						3			12			13				23		123
			0 = 0																																0	= 0
																															.
		0			a3 = 1								23																					23		= 1
													23																					23
																																a3
		0	a2 = 0																													a2 = 0

																																			1
							1																												1

		0			0 1 a = 0
		0			0 1 a = 0																										a = 1
		0			a = 1																											a				= 1


		0 1 1 a13 = 1																													Пa13 = 1
		0			1				0	a12 = 0																			.a12								= 1
																																					.

3.
3.		0			1				0			1				1			1		1			a = 1
		0			1				0			1				1			1		1			a = 1							a = 0
																									123			В					123
																									123								123
			БарашевУнучек																												(	) получаем много-
	Подставляя									найденные коэффициенты в																					(	) получаем много-
																														P x ,
	член Жегалкина заданной функции																														.e А
																f(x) = x z xy xz yz.
														слагаемых, многочлен совпал с формулой, полу-
	С точностью до																	e											С
	ченной в примере 3.11.

3.5.3 Алгоритм 3 (метод треугольника)

1.Выписываем левую часть таблицы истинности. Напомним, что она одинакова для всех булевых функций n переменных.

2.Вектор значений функции размещаем в правой части, но не вертикально, а в той же строке, что и набор, состоящий из всех нулей. Эта строка в таблице истинности первая.

3.Попарно складываем по модулю 2 пары соседних значений в стро-МИРЭА

0 0 = 0

0 1 = 1

ке, учитывая, что 1 0 = 1 .

1 1 = 0

Результат записываем на 1 строку ниже. Получаем строку, содержащую на 1 элемент меньше, чем в векторе значений.

4. Складываем соседние значения в полученной строке, каждый раз записывая результат в нижней строке и уменьшая на 1 число элементов. Последняя строка, расположенная соответственно набору из всех единиц, содержит только одну цифру.

5. Левые значения полученных строк равны коэффициентам много-

члена Жегалкина n переменных P (x). Подставляя вычисленные
коэффициенты в P (x), получаем многочлен Жегалкина исходной
	e	e	П
функции.			.

Пример 3.13. Представить функцию f = (01001101) из предыдущих
примеров в виде многочлена Жегалкина, используя.											метод треуголь-
ника.							e	В			.
Решение.											.
Решение.
x	y	z							1 .1А0
x	y	z
0	0	0		0 1	0		0					1
0	0	0		0 1	0		0					1
0	0	1		1 1		0		1	0		1	1
									С
0	1	0		0 1			1		1	1 0
0	1	1		1		0		0	0		1
1	0	0			1		0		0	1
1	0	1	Барашев					0	1
1	0	1				1		0	1
1	1	0					1		1
				Унучек
1	1	1						0
	Выделенные в правой части числа равны значениям коэффици-

ентов при соответствующихМИРЭАконъюнкциях в многочлене Жегалкина. Индекс многочлена равен номеру ненулевой переменной в левой части. Например,(000) α0, (010) α2, (110) α12 (переменные нумеруются слева направо). И значения коэффициентов

a0 = 0

a3 = 1

a2 = 0

= 1

, и представление функции в виде многочлена Жегалкина

a13 = 1

a12 = 1

123

= 0

уже получено в предыдущем примере.

f x

xy xz

( ) =

3.6 Задачи для самостоятельного решения

.П

1.Найти СДНФ, СКНФ и многочлен Жегалкина булевых функций, заданных вектором значений:

1.fe1 = ( 1100 1100 );

2.fe2 = ( 1101 1010 );

3.fe3 = ( 1001 0001 );

4.fe4 = ( 0110 1111 ).

2.Построить таблицу истинности, найти носитель функции, СДНФ, СКНФ и многочлен Жегалкина булевой функции, заданной формулойБарашев В

УнучекМИРЭА

f5 = ((x y) (x&z)) ((x → y) | (y ↓ z)).

e Ответы к задачам для самостоятельного решения

1.1. fсднф1

· z x ·

x ·

· z; rсднф1

= 12;

fскнф1

= (x

z)&(x

)&(

z)&(

); rскнф1

= 12;

fмн.Жег.1 = 1 y.

1.2.fсднф2 = x · y · z x · y · z x · y · z x · y · z x · y · z;

rсднф2 = 15; fскнф2 = (x y z)&(x y z)&(x y z); rскнф2 = 9; fмн.Жег.2 = 1 y yz xz xy xyz.

1.3.fсднф3

fскнф3 rскнф3

= x · y · z x · y · z x · y · z; rсднф = 9;

=(x y z)&(x y z)&(x y z)&(x y z)&(x y z);

=15; fмн.Жег.3 = 1 z y x xz xy xyz.

1.4.fсднф4 = x · y · z x · y · z x · y · z x · y · z x · y · z x · y · z;

rсднф4 = 18; fскнф4 = (x y z)&(x y z); rскнф4 = 6; fмн.Жег.4 = z y x xz xy.

2. f5 = ( 1111 0111 );

feсднф5

·z

·y ·

·y ·z x·

·z x·y ·

x·y ·z;

rсднф5

= 21; fскнф5

y z; rскнф5

= 3;

fмн.Жег.5 = 1 x xz xy xyz.

В .

Барашев

Унучек

МИРЭА

Глава 4 Геометрический метод минимизации

булевых функций			.
			.
4.1	Постановка задачи минимизации
			П
		.
4.1.1	Основные определения	В		.

цию, не являющуюся константой, можно представить.Ав виде ДНФ (например, СДНФ). Кроме того, представление функции в виде ДНФ не

Ранее (см. главу 3) мы уже показывали, что любую двоичную функ-

является однозначным для данной функции. СРазличные ДНФ, реализующие одну и ту же булеву функцию, могут иметь различный ранг

называется импликантойУнучекбулевой функции f(xe), если её носитель является подмножеством носителя функции f:

(см. замечание 3.3 на стр. 29). Совершенная ДНФ имеет максимальный
Барашев
		МИРЭА
ранг среди ДНФ данной функции.
Попытаемся представить любую функцию алгебры логики в виде
ДНФ, имеющей как можно меньший ранг.
Определение 4.1. Элементарная конъюнкция
i1	i2	is	, 1 6 i1 < i2 < . . . < is 6 n
K = xi1	xi2	· · · xis

		NK Nf .
Другими словами, если K- импликанта, то на всех двоичных наборах
выполняются тождества:			K · f = K.
a)	K f = f	б)	K · f = K.

Из определения следует, что на всех двоичных наборах, на которых импликанта обращается в единицу, функция f также обращается в единицу. На тех наборах, на которых функция обращается в нуль, импликанта также обращается в нуль, значит, нулей у импликанты функции не меньше, чем у самой функции.

Все элементарные конъюнкции, входящие в СДНФ функции f, являются импликантами данной функции.

Пример 4.1. Дана двоичная функция f(x, y, z) = (0101 0001).

K1 =

- её импликанты,

Элементарные конъюнкции

· ·

K2 =

так как

NK1

= { (001) } Nf = { (001), (011), (111) },

NK2

= { (001), (011) } Nf = { (001), (011), (111) }.

не является, по-

Конъюнкция K3 = yz импликантой функции f

скольку

NK3

= { (001), (101) } ̸ Nf = { (001), (011), (111) }.

Определение 4.2. Импликанта K булевой функции

f(x) назы-

вается простой, если конъюнкция, полученная из KАвычеркиванием

хотя бы одной переменной или её отрицания, уже не является импли-

кантой для функции f.

Пример 4.2. Дана двоичная функция f(x, y, z) = (0101 0001).

Импликанта

K1 =

z не является простой для функ-

ции f(x, y, z)

(0101 0001)·

·из примераe

4.1, так как импликанта

K2 =

образованная вычеркиванием

из K1 также является

импликантойe ·

для f.

Барашев

Импликанта K2 =

· z, является простой импликантой функ-

ции f, поскольку импликанты

K4 =

и K5 = z, полученные

Унучек

Множество

NK = {σ МИРЭАB | K(σ) = 1} называется интер-

из K2 удалением x и z соответственно, не являются импликантами данной функции.

Определение 4.3. Пусть K - импликанта функции f(x).

		n		e
валом функции f, соответствующим импликанте K.
Другими словами,	интервал		носитель конъюнкции.
	e		- это e

Определение 4.4. Если вершина булевого куба является подмножеством интервала, говорят, что вершина покрывается интервалом.

Определение 4.5. Интервал, не содержащийся ни в каком другом интервале функции f, называется максимальным интервалом.

Максимальные интервалы функции f взаимно однозначно соответствуют её простым импликантам.

Определение 4.6. ДНФ, являющаяся дизъюнкцией.всех простых

импликант, называется сокращенной ДНФ (обычно обозначается

ДНФсокр ).

Из определения следует, что сокращенная ДНФ для каждой логи-

ческой функции определяется однозначно.

Определение 4.7. Импликанта называется

избыточной., если после

Барашев

её удаления получается ДНФ, реализующая ту же самую функцию,

что и исходная ДНФ.

Пример 4.3. Рассмотрим функцию

2 x1

2x3 x2x4

fднф1

(x) = x1

Унучек

из замечания 3.3 на стр. 29.

можно представить также в

Мы уже показали, что эту функцию

МИРЭА

виде

fднф2

(x) = x1

x2x4. Значит, импликанта

K1 = x1

2x3 -

избыточна для функции f.

Удаление

любой из импликант K

= x

при-

водит к функциям, не тождественным исходной функции f (убедиться в этом можно, сравнив носители функций). Поэтому K1 и K2 не являются избыточными для f.

Определение 4.8. Простая импликанта K называется ядровой, если

существует хотя бы один набор α такой, что								K(α) = 1, и в то же
время K	(α) = 0,	K	= K,		где K		- простая импликанта для
функции f.i			i ̸	e		i		e

Используя понятие избыточной импликанты, можно определить

ядровую импликанту следующим образом:

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 275 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.09.2019613.38 Кб5УМК ИЭУ УРАО.doc
#
28.09.20191.3 Mб2УМК МАКРОЭКОН УРАО.doc
#
12.09.2019131.58 Кб2Ур-я в ЧП билеты.doc
#
28.08.201953.25 Кб3Уроки Московского восстания(В.И.Ленин).doc
#
10.05.20152.36 Mб48уч пос ч1.doc
#
10.05.20152.36 Mб54Уч.пособие-по-ОДМ-2012.pdf
#
10.05.201512.87 Mб45Учебник_Информатика.doc
#
22.08.20191.43 Mб12учебник_Культурология__со_вставками.doc
#
10.05.201512.95 Mб1573Учебное пособие РСП-6М2.pdf
#
30.04.20196.79 Mб7Учебное пособие Скуратов 26 фев.doc
#
10.05.2015762.88 Кб7Фдз по АиГ1.doc