Уч.пособие-по-ОДМ-2012

2.3.5Алгоритм определения таблицы истинности булевой функции по формуле

1.Определяем множество всех переменных X = {x1, x2, . . . , xn}, входящих в формулу.

Решение.

1.Очевидно, что f(xe) - функция трех переменных x1, x2, x3.

2.Определим порядок действий. С

ние (&), потом логическое сложение ( ). Отрицание выполняется последним, так как инвертируется формула, а не переменная.

3. Разобьём формулу на 5 элементарных функций: f1 = x1 → x2;

f3 = f2&x2; f4 = f1 f3;

Каждой из этих функций соответствует столбец в таблице истинности:

21

Nf = {(100), (101)}

Пример 2.10. Построить таблицу истинности функции

1. Функция g(xe) также является функцией трех переменных.

22

2. Определим порядок действий.

e

3. Построим таблицу истинности функции g(xe).

Определение 2.9. Функция, принимающая значение "ложь" на всех двоичных наборах, называется тождественно-ложной. Функция, принимающая значение "истина" на всех двоичных наборах, называется тождественно-истинной.

2.3.6Основные эквивалентности (законы) алгебры логики

1.Коммутативность (переместительный закон)

x ◦ y = y ◦ x, где ◦ {&, , , , |, ↓}

2.Ассоциативность (сочетательный закон)

23

(x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), где ◦ {&, , , }

3.Дистрибутивность (распределительный закон)

(a)дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции

x&(y z) = (x&y) (x&z)

(b) дистрибутивность конъюнкции относительно сложения по модулю 2

24

11. Закон склеивания

xy xy = y

12. Законы сложениия по модулю два

x x = 0 x x = 1 xy xy = y

В справедливости этих эквивалентностей можно убедиться путем построения таблиц истинности соответствующих им функций..

гичные арифметические действия, а иногда - нет.ПТак, например, пере-

местительный и сочетательный законы будут выполняться при замене

констант, а для "1" верно только свойство умножения (x · 1 = x).

2.4Задачи для самостоятельного решения

eУнучекследующихМИРЭАфункций:

1.f1 = (x&y) (x → z) ↓ ((y z) | (x z)) ;

2.fe2 = ((x ↓ y) & (y z)) (x z) → (y|z);

3.fe3 = (x y) | (y z) & ((x ↓ z) (y → x)) ;

4.fe4 = (x ↓ y) (y|z) → ((x z) (y · z)) ;

5.fe5 = ((x|y) ↓ (z → x)) (x z) & (y z).Найти вектор значений

Ответы к задачам для самостоятельного решения

1. fe1 = ( 0000 0110 );

25

2.fe2 = ( 1110 0011 );

3.fe3 = ( 0010 0110 );

4.fe4 = ( 1101 1111 );

5.fe5 = ( 1010 1100 ).

26

Глава 3

Специальные представления

27

Определение 3.1. Логическое произведение переменных и их отри-

входить одинаковые переменные, а также одновременно переменная и её отрицание. Например, конъюнкции K4 = x1x3x1 и K5 = x1x2x3x1 не относятся к элементарным.

Определение 3.3.УнучекКоличество переменных и их отрицаний, входя- МИРЭА

щих в элементарную конъюнкцию (элементарную дизъюнкцию) называется её рангом.

Пример 3.3. Вычислим ранг элементарных конъюнкций из приме-

r1 = 2; r2 = 3; r3 = 3.

Определение 3.4. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) -это формула, в которой логическая функция представлена в виде дизъюнкции элементарных конъюнкций.

Пример 3.4. feднф = K1 K2 = x1x3 x1x2x3.

28

Определение 3.5. Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) -это формула, в которой булева функция представлена в виде конъюнкции элементарных дизъюнкций.

Пример 3.5. feкнф = D2D3 = (x1 x2 x3)(x1 x2 x3).

Замечание 3.2. Учитывая приоритет выполнения булевых операций

юнкций), входящих в дизъюнктивную нормальную форму (конъюнктивную нормальную форму) называется рангом или сложностью

r(кнф) = r2 + r3 = 3 + 3 = 6 - ранг КНФ функции из примера 3.5.

Замечание 3.3. РассмотримУнучекнекоторую функцию алгебры логики, заданнуюeв виде ДНФ, и упростимМИРЭАформулу:

fднф(x) = x1x2 x1x2x3 x2x4 = x1x2(1 x3) x2x4 = x1x2 x2x4.

Так как формула, полученная в результате преобразований, также является ДНФ исходной функции, то представление булевой функции в виде ДНФ , вообще говоря, не единственно. При этом ранг исходной ДНФ равен 7, а упрощенной - 4.

Аналогично можно показать, что и КНФ задает функцию во многих случаях не единственным образом, причем различные КНФ одной и той же функции могут иметь разные ранги.

29

3.2Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Теорема 3.1. О разложении булевой функции по одной переменной Всякую функцию алгебры логики f(x1, x2, . . . , xn) при любом m (1 6 m 6 n) можно представить в виде

αm может принимать 2 значения: 0 или 1. Рассмотрим оба варианта.

αm = 0 αm = 1

αm · f(α1, . . . , αm−1, 1, αm+1, . . . , αn) =

=0 · f(α1, . . . , αm−1, 0, αm+1, . . . , αn)

0 · f(α1, . . . , αm−1, 1, αm+1, . . . , αn) =

=1 · f(α1, . . . , αm−1, 0, αm+1, . . . , αn)

0 · f(α1, . . . , αm−1, 1, αm+1, . . . , αn) =

=f(α1, . . . , αm−1, 0, αm+1, . . . , αn) =

=f(α1, . . . , αm−1, αm, αm+1, . . . , αn).УнучекМИРЭА

30