Уч.пособие-по-ОДМ-2012
.pdfДля ориентированного графа первым в упорядоченной паре стоит вершина, являющаяся началом ребра, а вторым - конец ребра. Дуги перечисляются в круглых скобках.
При изображении графов, заданных списком ребер, сначала определяют множество вершин. Графы, задаваемые списком ребер, при изображении различаются в зависимости от расположения вершин на рисунке. При этом все изображенные по одному списку графы являются изоморфными.
Чаще всего вершины на рисунке располагают по кругу и соединяют соответствующими ребрами из списка.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Для удобства изображения граф можно нарисовать так, чтобы |
|||||||||||
количество пересекающихся ребер в нем было минимальным. |
|||||||||||
Пример 9.12. |
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
||
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
а) |
|
|
|
|
|
|
В |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
G1 = {{v1, v2}, {v1, v3}, {v1, v4}, {v2, v3}, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
{v2, v4.}, {Аv3, v4}, {v4, v5}} |
|||
|
- неориентированный граф. Его изображение: |
|
|||||||||
|
|
|
|
v2 |
|
|
С |
|
|||
|
|
"" |
""" |
|
s@@ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
||
|
G1 v1 |
scc |
ccc |
|
|
|
sv3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
v |
s5 |
v |
|
s4 |
|
|
|
|
|
|
Барашев |
|
|
|
|
|
|||||
|
= {(Унучекv1, v2), (v1, v5), (v2, v3), {v3 |
, v4}, |
|
||||||||
|
МИРЭА |
|
{v3, v5}, (v3, v1), {v4, v5}}
- ориентированный:
171
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
- |
-s@ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
@ |
@ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
G2 |
v1 |
sE |
|
|
|
% |
sv3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
-% |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
- |
% |
|
|
- |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
% - |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
E |
%% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4). Матрица инцидентности. |
|
vEE |
s5 |
|
|
-v |
s4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пусть V |
= {v1, v2, . . . , vn} - множество вершин графа.G; |
|
|||||||||||||||||
|
|
E = {e1, e2, . . . , em} - множество его ребер. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m×n |
.П |
|
|
|||
Тогда граф можно задать матрицей Am×n = |
{aij}, называемой |
||||||||||||||||||
матрицей инцидентности. A |
|
|
В |
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
имеет m строк и n столб- |
||||||||||||||||
цов; столбцы соответствуют вершинам графа, строки - ребрам. |
|||||||||||||||||||
|
|
Барашев0, в остальных случаях . |
|
|
|
= |
{aij} инцидент- |
||||||||||||
Элементы матрицы |
|
Am×n |
|
|
|
||||||||||||||
ности |
1, |
неориентированного |
|
|
|
графа.АG |
равны |
||||||||||||
aij |
= |
2, |
если ребро ei |
- петля,vj |
- инцидентная ей вершина ; |
||||||||||||||
a) G1 = {V1, EУнучек1}, где V1 = {v1, v2, v3, v4, v5, v6}, |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
0, |
в остальных случаях . |
|
|
|
|
С |
|
|
|
|||||||
В |
матрице |
Am×n |
|
|
|
|
|
|
= |
|
{aij} |
инци- |
|||||||
дентности |
|
МИРЭА |
|
G |
|||||||||||||||
ориентированного |
|
графа |
|||||||||||||||||
|
|
|
−1, если вершина vj |
- начало ребра ei; |
|
|
|||||||||||||
a |
|
|
1, |
если вершина vj - конец ребра ei; |
|
|
|
||||||||||||
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||
|
ij |
|
2, |
если ребро ei - петля,vj |
- инцидентная ей вершина ; |
Пример 9.13.
E1 = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10, e11}.
172
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 v2 v3 v4 v5 v6 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 |
|
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 |
|
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
||
|
|
|
e"1" |
"@ |
e5 |
|
|
|
|
|
|
e3 |
|
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|||||||
|
|
|
|
es |
|
|
|
|
|
|
e4 |
|
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
||||||||
|
"" |
|
|
|
|
6@@ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
G1 v1 se |
|
|
|
e 2 |
|
|
|
|
sv3 |
|
|
|
e5 |
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
||||||
|
e4 |
e e3 |
|
e7 |
|
e8 |
A11×6 |
|
= e6 |
|
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
||||||||||
|
vs6 |
e |
|
e |
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
e e 1 0 e 9 |
|
|
|
|
|
v4 |
|
|
|
e7 |
|
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
vs5 |
|
|
|
|
|
e11 |
|
|
e8 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e9 |
|
0 |
. |
1 |
0 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e10 |
|
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e11 |
|
0 |
0 |
|
0 |
2 |
0 |
0 |
|
б) G2 = {V2, E2}, |
|
где |
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
V2 = {v1, v2, v3 |
, v4,.v5, Пv6}, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
E = {e1 |
, e2 |
, e3 |
, e4, e5, e6 |
, e7, e8, e9, e10, e11, e12.}. |
|
|
||||||||||||||||||
|
Барашев |
|
|
|
|
. |
v3 |
v4 v5 v6 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 |
v2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 |
|
-1 |
1А0 0 0 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 |
|
-1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
||
|
|
|
e 1 |
|
e5 |
- |
|
|
|
e3 |
|
1 |
0 |
|
0 |
0 |
-1 |
0 |
|||||||||
|
|
- e 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
||||||||
G2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e4 |
|
0 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
-e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
se2-aa- |
|
|
-e s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
-1 1 0 0 0 |
||||||
|
v1 a |
a |
|
|
|
|
|
|
v3 |
|
|
|
e5 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A12 6 |
|
= e6 |
|
0 |
-1 0 |
0 1 0 |
|||||||
|
e3 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
7 |
|
e8 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
"" vs4 |
e9 |
|
|
МИРЭА |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
- |
e 10 |
|
@ |
@ |
|
- |
|
|
|
e |
7 |
|
0 |
0 |
-1 1 0 0 |
|||||||||||
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
" |
" |
- e 11 |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
|||||
|
vs5 |
|
|
-s |
v6 |
|
|
|
e8 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
e12 |
|
|
e9 |
|
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
-1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e10 |
|
0 |
0 |
|
0 |
1 |
-1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e11 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
-1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e12 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
2 |
|
Свойство матрицыУнучекинцидентности неориентированного графа: |
• Сумма элементов любого столбца равна степени соответству-
ющей вершины, то есть |
|
deg(vj) = ∑i |
aij |
. |
|
173
5). Матрица смежности.
Определение 9.13. Матрицей смежности неориентированного графа G = < V, E > называется матрица An×n = (aij), где aij - число ребер, соединяющих вершины i и j; n - количество вершин в графе.
Пример 9.14.
Для графа G1 из предыдущего примера матрица смежности равна
|
|
v1 v2 |
v3 |
v4 |
v5 |
v6 |
||||
|
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
П |
|
|
|
|
v1 |
|
1 |
.1 |
|
|||||
|
v2 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
|
0 |
|
A6×6 = v3 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
v4 |
0 |
0 |
В |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
.2 0 |
|
|
||||||
|
v5 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
v6 |
1 |
0 |
0 |
|
2 |
0 |
А |
||
|
|
|
0 . |
|||||||
Барашев∑i aij = deg(vj) |
. |
|
||||||||
Свойства матрицы смежности неориентированного графа: |
• Все элементы матрицы - неотрицательные числа. |
|
• Матрица является симметрической, тоСесть AT = A. |
|
Унучек |
|
• Сумма элементов i-той строки (столбца) равна степени соот- |
|
МИРЭА |
|
ветствующей вершины : |
|
∑j |
aij = deg(vi) |
Матрицы инцидентности и смежности задают единственный с точностью до изоморфизма граф.
174
9.3Графы специального вида
В этом разделе мы будем рассматривать только простые графы (то есть графы без кратных ребер и петель).
Определение 9.14. Граф G1 = < V1, E1 > называется подграфом
графа G = < V, E > (обозначается G1 4 G), если V1 V, E1 E.
Каждая вершина подграфа G1 является вершиной исходного графа |
||||||||||||||||
G, каждое ребро G1 - ребро G. |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
Пример 9.15. Графы G1, G2 и G3 являются подграфами графа G. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
v2 . |
||||||
Барашевv2 |
|
|
|
|
|
s@ |
|
|
|
|
||||||
G |
"" |
""" |
s@@ |
В"""s@@ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
@ |
"" |
|
|
|
|
@ |
|
|
|||
v1 |
sA aaa |
|
|
sv3 |
v1 sA |
|
С |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
.Аsv3 |
|||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AAA |
|
|
a |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vs4 |
|
|
|
AA |
|
vs4 |
|
|
|
|
|||
v1Унучекsaaaa |
|
|
A |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
AA |
|
|
|
|
AA |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
vs5 |
|
|
|
|
vs5 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
G2 МИРЭАvs5 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
"" |
""" |
s |
|
v1 aa |
aaa |
|
@@ |
s |
v3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vs4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G3 |
|
|
|
|
|
175
Определение 9.15. Пусть задан неориентированный граф
G= < V, E >, V = { v1, v2, . . . , vk }, E = { e1, e2, . . . , el }.
Маршрутом из вершины vi в вершину vj называется конечная по-
следовательность ребер {vi, vi1 }, {vi1 , vi2 }, . . . , {vis−1 , vis }, {vis , vj}. Количество ребер в маршруте называется его длиной.
Вершину vi называют начальной вершиной маршрута, vj - его
конечной вершиной.
Определение 9.16. Пусть задан ориентированный граф
G = < V, E >, V = { v1, v2, . . . , vk }, E = { e1, .e2, . . . , el }.
Путем из вершины vi в вершину vj называется конечная последова-
тельность ребер (vi, vi |
), (vi |
, vi |
), . . . , (vi |
, vi ), (vi |
, vj). Количество |
||||
|
1 |
1 |
2 |
|
s−1 |
.s Пs |
. |
||
ребер в пути называется его |
длиной. |
|
|
|
|||||
|
|
А |
|||||||
б) |
Вершину vi называют начальной вершиной пути, vj |
- его конеч- |
|||||||
Барашев{v1, v4}, {v4, v2}, {v2, v3}, {v3, v5}; |
|
|
|||||||
ной вершиной. |
|
|
|
В |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
Путь или маршрут часто указывают, перечисляя его вершины: |
||||||||
|
vi → vi1 → vi2 → · · · → vis−1 → vis → vj. |
|
|
||||||
|
Унучек |
|
, vik } |
и {vik , vik+1 } |
|||||
Каждые 2 последовательных ребра маршрута {vik−1 |
|||||||||
имеют общую вершину vik и являются смежными. |
|
|
|
||||||
|
|
МИРЭА |
|
|
|||||
Пример 9.16. Последовательности ребер |
|
|
|
|
|||||
а) |
|
{v1, v5}; |
|
|
|
|
|
||
в) |
{v1, v4}, {v4, v2}, {v2, v3}, {v3, v4}, {v4, v5} |
являются маршрутами из v1 в v5 в графе G из примера 9.15. v1 - начальная вершина маршрута, v5 - его конечная вершина.
Определение 9.17. Тривиальным называется маршрут длины 0.
176
Определение 9.18. Маршрут называется цепью, если все его ребра различны; простой цепью - если все его вершины различны, за исключением, быть может, начальной и конечной.
Если начальная и конечная вершины цепи совпадают, цепь называют замкнутой.
Циклом в графе называют замкнутую цепь, содержащую по крайней мере одно ребро; простым циклом - цикл, в котором все вершины, за исключением начальной и конечной, различны.
Пример 9.17. Маршруты из п. а), б), в) предыдущего примера - цепи, |
|||||
причем а) и б) - простые цепи. |
|
|
П |
|
|
. |
. |
||||
г) {v1, v4}, {v4, v2}, {v2, v1}, {v1, v4}, |
|
|
|||
{v4, v5} |
- пример маршрута, не |
||||
являющегося цепью. |
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) Последовательность ребер {v1, v4 |
}, {v4, v5 |
}, {v5 |
, v1} является про- |
||
стым циклом. |
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
. |
|
ва получимБарашевмаршрут из vi в vj. |
|
. |
|
||
|
|
С |
|
|
|
Теорема 9.3. Пусть G = < V, E > - граф. Если существует марш- |
рут из вершины vi в вершину vj, тогда существует и простая соединяющая их цепь.
Доказательство. Пусть маршрут из vi в vj не является простой цепью. Тогда существует по крайней мере одна вершина vm, встречающаяся в нем не менее двух раз, и маршрут имеет вид
vi → vi1 → . . . → vm → vm+1 → . . . → vm → . . . → vj.
Удалив из маршрута последовательность ребер vm+1 → . . . → vm, сно-
Если при этом он не будет простой цепью, процедуру можно повторить. Так как число ребер в конечном маршруте конечно, процесс
удаления ребер конечен. |
|
Унучек |
|
В результате получим простую цепь из vi в vj. |
|
Определение 9.19. |
МИРЭА |
|
Граф G называется связным, если имеется маршрут между любыми его двумя различными вершинами.
177
Пример 9.18. а) G1 - связный граф.
б) Граф G2 - не является связным, так как не существует маршрута, например, из v2 в v4, из v1 в v6 и так далее.
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
v2 |
v4 |
|||
G1 |
@s |
@ |
sv3 |
G2 |
|
|
|
s |
|
|
s |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 s@@ |
|
vs6 |
v1 |
s@@ |
|
|
v |
|
s5 |
||
|
vs4 |
v |
s5 |
|
|
.vs3 |
|
|||||
|
@ |
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
П |
@ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
||
Теорема 9.4. Граф G является связным тогда и только тогда, когда |
между любыми двумя его вершинами существует простая цепь. |
||||||
Барашев |
|
|
А |
|||
Доказательство. непосредственно следует из теоремы 9.3 и определе- |
||||||
ния 9.19 связного графа. |
. |
|||||
|
С |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Определение 9.20. Подграф G1 графа G называется компонентой |
||||||
|
Унучекvs6 vs3 vs5 |
|
||||
(компонентой связности), если G1 |
- максимальный связный под- |
|||||
граф графа G. |
|
МИРЭА |
||||
Пример 9.19. |
|
s2 |
|
s4 |
|
|
|
|
v |
v |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Граф G2 |
|
v1 s@@ |
|
|
из предыдущего примера |
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
имеет три компоненты связности. |
|
|
|
|||
Определение 9.21. |
Пустым (вполне несвязным) называется |
|||||
граф, в котором нет ребер. |
|
|
|
Пустой граф с n вершинами обычно обозначается Nn.
178
Пример 9.20.
|
|
|
|
|
vs1 |
|
vs2 |
|
vs5 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
N5 |
s |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
v3 |
|
v4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Замечание 9.3. У пустого графа все вершины изолированы. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
||
Определение 9.22. Полным называется граф, любые две вершины |
||||||||||||||||||
которого смежны. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||
Обозначение полного графа с n вершинами Kn. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
||
Свойство полного графа с n вершинами |
Kn: |
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
n(n−1) |
|
|
|
|
|||
• Число ребер в графе |
Kn равно Cn |
= |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
Барашев |
|
|
|
|
|
|
.АsB@ |
||||||||||
Пример 9.21. |
|
s@ |
|
s@ |
|
s |
|
|
|
|
|
v5 |
|
|
||||
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
s@ B s |
||||||||
|
v1 |
v1 |
v1 |
|
v3 |
|
|
|
v1 |
B @ v3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
B @ |
|
||
v1 |
|
|
|
@ |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
@ |
B |
|
|||
s |
|
|
|
Унучек |
|
|
@ B |
|
||||||||||
|
|
|
@ |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
v |
s2 |
v |
s2 |
vs2 |
@ |
v |
s4 |
|
|
|
v |
s2 |
|
v |
s4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ B |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
@B |
|
K1 |
K2 |
|
K3 |
МИРЭА |
|
|
||||||||||||
|
|
|
K4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
K5 |
Определение 9.23. Двудольным называется граф, множество вершин которого можно разбить на два непересекающихся подмножества V1 и V2 ( на две доли) и при этом каждое ребро графа соединяет какую-либо вершину из V1 с какой-либо вершиной из V2, но никакие две вершины из одного множества не являются смежными.
Заметим, что вершины двудольного графа можно "раскрасить" (каждой вершине приписать некоторый цвет) в два цвета так, что вершины из одного подмножества (доли) будут окрашены в один цвет, а каждое ребро будет иметь концы разного цвета.
179
Определение 9.24. Полным двудольным графом называется двудольный граф, в котором каждая вершина из V1 смежна с каждой вершиной из V2.
Полный двудольный граф, у которого |V1| = n, |V2| = m (n и m - количество вершин в соответствующей доле), обозначается через Kn;m.
Очевидно, что в графе Kn;m количество ребер равно n · m.
|
Пример 9.22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
v1 |
XXX |
|
|
|
w1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
s |
|
|
XXXX |
|
|
s |
|
|
G1 - двудольный граф, не являющийся пол- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
v |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
w |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
HXX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
s |
H X |
|
|
|
|
|
s |
|
|
ным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
H XXX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.П |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
s |
|
|
|
H w |
3 V1 |
= v1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, w4 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
HH |
|
|
s |
|
, v2, v3, v4 ; W1 |
= w1, w2, w3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
v4 |
s |
|
|
G1 |
|
|
H |
sw4 |
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
{ |
|
. |
} |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ТеоремаБарашев9.5 (Д.Кёнинг). Граф является двудольным тогда и только |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 9.23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
K1;2, K2;2, K2;3 |
|
и K3;3 - полные двудольные графы.А |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
w1 |
v |
1 s@ |
|
|
|
w |
v |
|
|
H |
|
|
|
|
w |
v |
|
H |
|
|
|
w |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
1 |
|
1 |
|
s@HH |
|
|
s |
1 |
|
1 |
s@HH s 1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
Унучек |
|
|
|
@ H |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
v1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
H |
|
|
|
|
@ |
H |
|
|
|
||||
PP |
PPP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
@ w2 |
v2 HH @ w2 |
|
|
|||||||||||||||
|
s |
|
|
|
Psw2 v2 |
s |
|
|
s |
|
|
|
|
s |
|
|
|
s |
|
|
|
s |
H |
|
s |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
@@ |
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
H@ |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
w2 |
v2 |
|
|
|
|
|
w3 |
v3 |
|
w3 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
K1;2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
K2;2 |
|
|
МИРЭА |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K2;3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
K3;3 |
|
|
тогда, когда в нем отсутствуют циклы нечетной длины.
Определение 9.25. Звёздным называют граф K1;n.
Пример 9.24.
180