ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев

Из определения непрерывности f(x) следует, что при х0 (х х0) имеет место у0 (f(x) f(x0)), т.е.

Непрерывность функции в изолированной точке.

Определение. Точка х=х0 Х называется изолированной точкой этого множества, если существует окрестность точки х0, в которой кроме точки х=х0 нет ни одной точки множества Х.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в изолированной точке х=х0, если она принимает в ней конечное значение.

2. Непрерывность функции справа - слева.

До сих пор при определении непрерывности функции в точке х=х0, мы полагали, что предельная точка х0 является внутренней точкой множества Х. Пусть теперь предельная точка х=х0 является граничной точкой множества Х и принадлежит этому множеству.

Например, граничными точками отрезка [a, b] будут точки а и b.

Понятие непрерывности функции f(x) в точке х=а вводится как непрерывность справа, а в точке х=b - как непрерывность слева, хотя понятие непрерывности справа - слева можно ввести для любой точки х0 Х.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке х=х0 , если правый (левый) предел функции в этой точке существует и равен значению функции f(x) в точке х=х0, т.е.

данная функция будет непрерывной.

2. Разрыв 1ого рода (скачок).

Определение. Точка х0 называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция y=f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы.

Это следует понимать как выполнение условий:

Замечание. Геометрически разрыв первого рода характеризуется «скачком», если мы будем «проходить» по графику функции через точку х0 справа налево или слева направо.

3. Разрыв 2ого рода.

Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2ого рода функции y=f(x) , если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов этой функции в точке х0 является бесконечным.

Например.

Значит функция у=f(x) терпит в точке х0=0 разрыв второго рода, т.к. правый ее предел не существует.

2. y=tg x.

Эта функция в точках х=к/2, кZ, терпит разрыв второго рода, т.к. оба односторонних предела в этих точках бесконечны.

5. Непрерывность суммы, разности, произведения и частного функций.

Теорема. Если две функции f(x) и g(x) определены в области Х и непрерывны в точке х0Х, то их сумма (разность), произведение и частное (при дополни-тельных условиях g(x) 0, g(x0) 0) являются непрерывными в точке х=х0.

Замечание. Доказательство теоремы следует из соответствующих теорем о пределах суммы (разности), произведения и частного функций.

6. Непрерывность суперпозиции функций.

Теорема. Если функция у= (x) непрерывна в точке х0, а функция z=f(y) непрерывна в точке y0= (x0), тогда суперпозиция функций f и , т.е. функция z=f( (x)) F(x), является непрерывной в точке х=х0.

Доказательство. Так как функция у= (х) непрерывна в точке х0, то для любой последовательности хn сходящейся к х0 имеем у(xn) (х0) при хnх0 (по Гейне). В силу того, что функция f(y) непрерывна в точке y0= (х0) также имеем: f(yn) f(y0) f( (x0)) при любой последовательности yn сходящейся к (х0)=у0.

Наконец, выберем произвольно последовательность xn сходящуюся к х0. Тогда последовательность yn= (xn) будет сходится к (х0), а последовательность zn=f(yn)=f( (xn)) будет сходится к f(y0)f( (x0)). Или для xnx0 =>zn=f( (xn))f(y0)f( (x0)), что означает для xnx0

=>F(xn)f( (xn))=>f( (x0))F(x0). Последнее означает, что функция z=F(x) непрерывна в точке х=х0 (по Гейне).

7. Непрерывность функции на множестве.

Кроме понятия непрерывности в точке, существует понятие непрерывности функции на множестве. Определение. Функция f(x) , х Х, называется непрерывной на множестве Х, если она является

непрерывной в каждой точке этого множества.

Замечание. Если Х отрезок [, ], то непрерывность f(x) в точках и понимается как непрерывность справа и слева.

8. Непрерывность обратной функции.

Теорема. Если у=f(x) непрерывна, строго монотонна на отрезке [a, b] и f(a)= , f(b)=, причем множество [ , ] является областью изменения f(x), то на промежутке [, ] определена обратная функция x=f-1(y), которая также является непрерывной и монотонной.

Замечание. Доказательство этой теоремы можно найти в соответствующих пособиях по математическому

анализу.

Важная роль этой теоремы достаточно очевидна, когда приходится доказывать непрерывность обратных функций.

9. Два важных замечания.

Замечание. Монотонная возрастающая или убывающая функция может иметь в области определения лишь разрывы первого рода.

Замечание. Отметим, что функция у=f(x) называется кусочно непрерывной на промежутке [a, b], если она определена в каждой точке [a, b], непрерывна во всех внутренних точках этого промежутка, кроме быть может

конечного числа точек, в которых она может иметь разрыв 1ого рода. Например: y=x-[x].

10. Непрерывность элементарных функций.

1. y=Pn(x) axn+bxn-1+...+dx+e.

Каждое слагаемое правой части вида схк непрерывно как произведение непрерывных функций: с, х, ..., х. Тогда в силу непрерывности суммы непрерывных функций получим, что полином Pn(x) - непрерывная функция в любой

точке х R.

2. у= Pn (x) Qm (x)

Эта функция непрерывна в любой точке x R, кроме нулей знаменателя, т.е. кроме точек х0, в которых Qm(x0)=0. Это следует из теоремы о непрерывности частного и предыдущего пункта.

3. Функции y=sin x и y=cos x непрерывны в любой точке множества вещественных чисел.

доказывает утверждение.

Для функции у=cos x доказательство аналогично. 4. у=ах, а 1.

Находим у=ах(а х-1) ~ axln a x. Тогда у=ax ln a x 0 при х0 и функция будет непрерывна при всех x R.

5. Функция y=logax, x>0; a>0, a1, является непрерывной при всех x>0 как обратная функция к у=ах.

6. Функции y=arcsin x, x [-1, 1], y=arccos x, x [-1, 1],

y=arctg x , x (- , + ), y=arcctg x , x (- , + ).

Являются непрерывными в своих областях определения как обратные к функциям y=sin x; y=cos x; y=tg x, x (-

/2, /2); y=ctg x, x (0, )

7. Если представить функцию y=uv в виде y=ev(x)ln u(x), то эта функция является непрерывной в общей области непрерывности функций u(x) и v(x), если u(x)>0 как суперпозиция непрерывных функций: показательной и логарифмической.

Замечание. Из последнего пункта следует объяснение предельного перехода в

Лекция 11. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ.

1. Локальные свойства.

Теорема. Если функция f(x) в точке х0 непрерывна, то она ограничена в некоторой окрестности этой

точки х0.

Доказательство этой теоремы непосредственно следует из определения непрерывности функции f(x) в точке х0. Теорема. Если функция f(x) непрерывна в точке х0 и f(x0)0, то в некоторой окрестности точки х0 эта

функция удовлетворяет условию:

1. f(x)<0 при x ( x0-, х0+), если f(x0)<0;

2. f(x)>0 при х ( x0-, х0+), если f(x0)>0.

Доказательство. Положим, что f(x0)>0. По определению непрерывности f(x) в точке х0 следует: для любого числа >0, найдется число (,х0)>0 такое, что при |x-x0|< имеет место неравенство |f(x)-f(x0)|< или

f(x0)- <f(x)<f(x0)+. Если взять =1/2 f(x0), после чего получим 0< 1/2 f(x0)<f(x)<3/2 f(x0) при х(х0-, х0+). Что и доказывает теорему.

2. Глобальные свойства.

Теорема 1. (1ая теорема Больцано-Коши)

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a, b] и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков. Тогда между точками а и b найдется хотя бы одна точка с, в которой функция f(x) обращается в нуль, т.е. f(c)=0, с(a, b).

Доказательство.

Положим f(a)<0, f(b)>0. (см рисунок далее).

f(a1) 0, то возьмем далее один из отрезков [a, a1] или [a1, b], на концах которого функция принимает значения разных знаков