ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев

В математике эти факты можно записать символами: у=1/х0, при х; у=х+1 2, при х1.

Это свойство можно строго сформулировать математически и оно имеет большое значение в математике. Определение предела (по Коши). Функция f(x) х Х имеет своим пределом число А при стремлении x к предельной точке х0 множества Х, если для каждого числа >0 существует число ( )>0 такое, что при всех х из окрестности |x-x0|< , x x0 имеет место неравенство |f(x)-A|< .

Символически этот факт записывают в виде

lim f (x) A . x x0

Геометрическая интерпретация.

Если функция у=f(x) х Х имеет своим пределом число А при х х0, то разность значений функции и ее предела А достаточно мала, если значение аргумента х близко к х0.

Геометрически это означает, что график функции y=f(x)

виден в «окошке» плоскости OXY c координатами: х(х0- ; х0+ ), х х0, =min( 1, 2); y (A- ; A+ ), А - предел функции, - любое положительное число.

Особо отметим, что график функции может «выйти» из указанного «окошка» только через боковые стороны. Только

через них!

Отметим еще одну особенность: при рассмотрении предела функции в точке х0 само значение функции в точке х0 исследователя не интересует. Это значение f(x0) может быть, в общем случае, равным А или не равным А, или, наконец, функция f(x) в точке х0 может быть не определена.

Определение предела (по Гейне). Функция f(x) х Х имеет своим пределом число А при стремлении х к предельной точке х0, если для любой последовательности xn сходящейся к х0, причем xnх0 ( xn X )

2.Некоторые задачи.

1.Доказать по определению предела, что

Доказательство.

а. По определению имеем: для любого числа >0 найти ( )>0, чтобы из неравенства |x-1|< (x 1) следовало |3x- 4+1|< . Решаем неравенство |3x-4+1|< или 3|x-1|< . Последнее показывает, что как только |x-1|< /3, имеет место

неравенство |3x-4+1|< . Таким образом, достаточно выбрать = /3, так как при |x-1|< = /3 справедливо |3x-4+1|=3|x- 1|<3 = .

Здесь мы воспользовались неравенством |sin x|<|x| при хR. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству |x-

/6|<, необходимо будет следовать

|sin x-1/2|<. Таким образом за число , которое фигурирует в определении предела, достаточно взять =, чтобы при всех х из -окрестности точки х0= /6 имело место |sin x-1/2|<, что и доказывает утверждение.

2. Доказать, что f(x)=sin 1/x не имеет предела в точке х0=0.

Доказательство. Данное доказательство лучше провести по определению по Гейне, т.е. если мы укажем две последовательности xn* и xn**, которые сходятся к х0=0, а последовательности f(xn*) и f(xn**) будут сходится

к разным пределам, то это будет означать (по Гейне), что функция f(x)=sin 1/x не имеет предела в точке х0=0 (или при х 0). Для этого возьмем последовательности

Последнее доказывает утверждение.

3. Односторонние пределы.

Может оказаться, что функция y=f(x) в окрестности предельной точки х0 области определения функции может быть задана либо только правее х0, либо только левее х0. Тогда исследования поведения функции вблизи предельной точки х0 (вычисление предела) возможно лишь при х х0, х>x0 (правее х0), и при х х0, х<x0 (левее х0), Эти пределы называются обычно односторонними, а конкретнее правым и левым пределами.

Определение. Число А называется правым (левым) пределом f(x) при xх0+0 (xх0-0), если по любому числу >0 можно указать число () такое, что как только x0<x<x0+( x0-<x<x0), то имеет место неравенство

Примеры.

Итак, из приведенных примеров мы видим, что существование односторонних пределов не зависит друг от друга, а зависит лишь от поведения функции в правой и левой полуокрестностях.

Хотелось бы выяснить условия существования предела функции

f(x) в зависимости от существования односторонних пределов. На этот вопрос дает ответ следующая теорема.

Теорема. Для того, чтобы существовал предел функции f(x) при х х0 необходимо и достаточно равенства односторонних пределов в точке х0.

Эта теорема дает необходимое и достаточное условие существования предела в точке.

Доказательство.

А. Необходимость. Пусть lim f(x)=А, тогда по определению предела имеем: >0, ( )>0, что при |x-

x x0

x0|< , x x0 выполняется |f(x)-A|< . Откуда следует а. >0, ( )>0, что при 0<x-x0< => |f(x)-A|< т.е.

Как следствие определения предела имеет место следующая теорема.

Теорема. Если функция f(x) имеет конечный предел в точке х0 , то существует окрестность этой точки (быть может с выброшенной точкой х0), в которой f(x) ограничена, т.е. существует число М такое, чтобы выполнено неравенство |f(x)|<M при всех х( х0).

0 х0- 1, х0- х0 х0+ ) х 4. Пределы функции с предельной точкой на бесконечности.

Возможно функция y=f(x) определена на множестве, которое имеет предельную точку на бесконечности ( ; + ; - ), тогда при стремлении аргумента к этой точке мы будем иметь предел на бесконечности.

Например.

1. lim f(x)=А < = > для >0, ( )>0 такое, что при всех х, удовлетворяющих условию |x| > ( ), имеет

x

место неравенство |f(x)-A|< .

2. lim f =+ < = > для >0, ( )>0 такое, что при всех х, удовлетворяющих условию x <- ( ), имеет

x

место неравенство f(x) > .

место неравенство |f(x)| > .

Вычитаем неравенства Откуда -2 0<B-A<2 0, т.е |B-A|<2 0.

Очевидно, последнее неравенство не имеет места при В А. Следовательно наше предположение о том, что функция f(x) имеет два различных предела неверно. Таким образом А=В.

После рассмотрения односторонних пределов и предела на бесконечности мы сможем сформулировать 36 типов предела при стремлениях аргумента и функции:

х {x0; x0-0; x0+0; ; + ;- } y {A; A-0; A+0; ; + ;- }

Например.

1). х х0+0; yА-0 < = > для >0, ( ; x0)>0 такое, что при всех х, удовлетворяющих условию x0< x<x0+ , имеет место неравенство 0<A-y< .

2).х+ ; у А+0 < = > для >0, ( )>0 такое, что при всех х, удовлетворяющих условию x> ( ), имеет место неравенство 0<y-А< .

3). .х х0; у < = > для >0, ( )>0 такое, что при всех х, удовлетворяющих условию 0<|x-x0|< ( ), имеет место неравенство |y|> .

6. Бесконечно малые функции.

К современному понятию бесконечно малых мы подошли благодаря французу Огюсту Луи Коши (17891857 г.г.). Он пришел к выводу, что бесконечно малую нужно рассматривать не с точки зрения ее размеров, а с точки зрения ее изменения - неограниченно убывающей, так как она становится, и затем всегда остается, по абсолютному значению меньше любого положительного числа.

Предположим, что нам задана некоторая функция f(x) на промежутке Х с предельной точкой х0 , которая может принадлежать, а может и не принадлежать множеству Х.

Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой (б.м.) функцией (или просто бесконечно малой) при х х0, если ее предел равен нулю, т.е.

Замечание. Необходимо помнить, что при стремлениях аргумента к различным предельным точкам функция может быть бесконечно малой, ограниченной или неограниченной.

x2 1

Например. Функция

x3

1. при х или х1 , будет бесконечно малой, 2. при х2 или х а, а0; а1, будет ограниченной, 3. при х0 будет неограниченной.

2

ограниченной, т.к. при xn= (4n 1) , f(xn) + ; однако f(x) является бесконечно малой при х.

-ограниченная при х0 и при х -1.

6.y=tg x- является неограниченной при х ;

-является бесконечно большой при х /2;

-является ограниченной при х /4;

-является бесконечно малой при х 0.

8. Свойства бесконечно малых.

1. Теорема. Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. Доказательство. Пусть (х) и (х) - бесконечно малые при х х0, тогда

для /3>0, 1()>0, что при 0<|x-x0|< 1 => | (x)|< /3;

Следствие. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая функция.

3. Теорема. Обратная величина бесконечно малой функции есть бесконечно большая функция. Доказательство. Пусть (х)>0 - бесконечно малая при х х0, т.е.

для по >0, *( )>0, что при всех х из 0 < |x-x0| < *=> | (x)| < ;

Возьмем Е=1/ > 0 (оно сколько угодно большое и >0) и = *, тогда для всех х из 0<|x-x0|< => | (x)| < или

1. Теоремы о пределах.

Предположим, что нам заданы две функции f(x) и q(x) на некотором промежутке Х с предельной

Очевидно, что числитель является бесконечно малой функцией при х х0, т.к. является суммой двух бесконечно малых.

x x0

(x0, )>0 такое, что в окрестности 0<|x-x0|< имеет место |q(x)-B|<. Или, выбирая конкретное 0, получим B-0<q(x)<B+0, причем здесь можно положить

Доказательство. Так как f(x) q(x) (x), то f(x)-А q(x)-А (x)-А, причем (f(x)-A) и ((x)-A),

бесконечно малые функции при х х0. Значит (q(x)-A) - бесконечно малая при х х0, а тогда имеет место

lim q(x)=A.

x x0

2. Первый замечательный предел. lim sin x =1

x 0 x

Рассмотрим тригонометрический круг. Имеем

|AC|=sin x