Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

4.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2618 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

					x
	Пример. Найти производную функции F(x)= sin t dt
					2
		х	'
Из последней формулы sin tdt				=sin x. При непосредственном вычислении
		2	x
х		'
sin tdt		cosx cos2 '			=sin x.
2	x		x
2	x

3. Основная формула интегрального исчисления.

Как только что было показано: если функция у=f(x) непрерывна на [a, b], то функция F(x)= f (s)ds

является одной из первообразных для f(x) на [a, b]. Тогда любая другая первообразная Ф(х) представима в виде : Ф(х)=F(x)+С, откуда С=Ф(х)-F(x) для всех х[a, b].

При х=а имеем С=Ф(а)-F(а); но F(a)=0, значит С=Ф(а).

Тогда Ф(х)=F(x)+Ф(а) или F(x)=Ф(х)-Ф(а).

Но так как F(b)=Ф(b)-Ф(а) и F(b)= f (s)ds, то

f (х)dх Ф(b) Ф(а)

где Ф(х) - одна из первообразных для f(x) .

Последнее равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.

4. Правила вычисления определенного интеграла.

А) Замена переменной.

Теорема. Пусть дан интеграл f (х)dх , где f(x) непрерывна на [a, b]. Введем новую переменную t по

формуле х= (t).

Если: 1) (t) пробегает множество значений от a до и b: ( )=а , ( )=b;

2) (t)	и (t) непрерывные функции t		на [ , ] ,
	b
то имеет место равенство f (x)dx		f ( (t)) (t)dt

Доказательство. Пусть F(x) первообразная для f(x), т.е. F (x)=f(x), тогда

f (х)dх F(b) F(a)


Затем вычислим F( (t)) t F t	f ( ) t , т.к. F (x)=f(x).
Значит F( (t)) является первообразной для		f( (t)) (t) и

f ( (t)) '(t)dt F( (t))		F( ( )) F( ( )) F(b) F(a)

Сравнивая (*) и (**) получим требуемое равенство.


	1
	1		x2 dx .
	Пример.	1	x2 dx .
	0
Подстановка x=sin t; t [0; /2].
	1)sin t [0; 1]; sin 0=0; sin /2=1.
	2) sin t и sin t=cos t непрерывны на [0; /2].
Значит возможно сделать такую замену переменных . Итак =0;								= /2,
1		/ 2			/ 2		/ 2		1
				1		1				1		2
	1 x2 dx		cos2 tdt	1		1				1
					dt		cos2td2t				sin2t		.
					dt		cos2td2t				sin2t		.
0		0		2	0	4	0		2 2	4		0	4
0		0		2	0	4	0		2 2	4		0	4

Замечание. Функция cos t 0, т.к. t [0; /2].

Б) Интегрирование по частям.

Теорема. Если f(x) и g(x) имеют непрерывные производные на [a, b], то

	b				b
	f (x)g'(x)dx f (x)g(x)			b f '(x)g(x)dx.
	f (x)g'(x)dx f (x)g(x)			b f '(x)g(x)dx.
	a			a	a
				a

	Доказательство.
			b
Так как d(f(x)g(x))=df(x) g(x)+f(x) dg(x), то			d f (x)g(x) f (x)g(x)					b	, а
Так как d(f(x)g(x))=df(x) g(x)+f(x) dg(x), то			d f (x)g(x) f (x)g(x)					b	, а
			a					a
								a

b		b			b
	df (x) g(x) f (x) dg(x) f '(x)g(x)dx f (x)g'(x)dx								Откуда получим
a		a			a
	b				b
	f (x)g'(x)dx f (x)g(x)			b f '(x)g(x)dx
	f (x)g'(x)dx f (x)g(x)			b f '(x)g(x)dx
	a			a	a
				a

	e	u ln x, u' 1 / x,				2e	e
	Пример. ln xdx				xln x	2e	dx e-2ln2-e+2=2(1-ln2).
	2	v' 1,	v x				2

(*)

(**)

5. Оценка определенного интеграла.

Из свойств определенного интеграла и теоремы о среднем следуют некоторые оценки значения интеграла

Римана.

1) m(b-a) f (x)dx M(b-a), где

m= inf

f (x) , M= sup f (x) .

[a,b]

2) Если f(x) М0, то

f (x)dx М0(b-a).

3) Если f(x) m0, то

f (x)dx m0(b-a).

f (x)dx

f (x)

dx .

3 х3dx .

Пример. Оценить значение

3 х3

3 х3dx 2

Решение.

Так как 2

30 , то 4

30 , т.к. b-a=2.

6. Примеры.

1. Вычислить

1 x2

arctg1

arctgx

3 arctg

Решение.

1 1 x2

2. Вычислить

Решение. Замена х=2u

приводит интеграл к виду:

dx 2du

u sec t,

x2 4

u2 1

/ 3

2du

16 u4

sin t

cos

																							v sin t;																3
	1		/ 3										1	/ 3									v sin t;							1	3 / 2				1 v	3		2
			/ 3											/ 3																	3 / 2					3
=				sin2 t costdt										sin2 td sin t t												0		/ 3					v2dv


	4 0											4 0																	4		0				4 3

																							v			0		3 / 2									0
																							v			0											0

							3
	1					3	3		3 3					3
=	1					3			3 3					3		.
=																.
	12			2				12 8						32
											2 / 4
3. Вычислить по частям													sin				xdx .
												2
																									0		2 / 4
																			х	t 0, x
																			х	t 0, x
Решение. Сначала сделаем замену																											/ 2
Решение. Сначала сделаем замену
																	x t2							t	0
																	x t2							t	0

2 /4										/2							t	u,				v'sin t,										0 /2		/2
2 /4										/2							t	u,				v'sin t,												/2
		sin			xdx 2 t sin tdt																							2 t cost						costdt					2
					xdx 2 t sin tdt																							2 t cost						costdt
	2						0										dt du, v cost																	2
4. Какой интеграл больше												1						1			3
												1			xdx ;			1			3
															xdx ;				x dx .
												0						0
																					1			1				3
Решение. Т.к.							3														1			1				3
Решение. Т.к.								х х на отрезке [0; 1], то															xdx x dx .
																					0	0
												1		ex2dx<e.
5. Доказать неравенство.1<														ex2dx<e.
												0

Решение: Так как (ex2)=(2xex2)>0, то ex2>e0=1, при x>0.

При чем ex2e1, т.к. х2 1. Откуда следует что	1 ех2 е	1	ex2dxе1.
		и 11
		0


			1		x7dx	1
6. Доказать неравенство 0<							(*)

					3 x8 1
			0		3 x8 1
		x7
Решение: т.к. 0				х7 1, при х [0; 1], то отсюда следует (*).

	3 x8
	3 x8		1

7. Оценить			19		sin x
			10				dx
			10	1 x8			dx
Решение.
Имеет место цепочка неравенств:
					sin x					1			1		1	10 8
					sin x					1			1		1
					1 x8								108
					1 x8				1 x8				108	1 108
Тогда:
		sin x						19			sin x		19	10 8 dx 10 8 9 10 7 .
	19							19					19
						dx						dx
						dx						dx
	10	1 x8						10			1 x8		10
	10	1 x8						10			1 x8		10

Лекция 24 ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

§1. Понятие площади, объема и длины кривой.

1. Квадрируемость фигуры.

Рассмотрим произвольную фигуру F на плоскости, границу которой будем представлять в виде некоторой замкнутой кривой.

Будем рассматривать всевозможные многоугольники Рвнутр, целиком лежащие в F и Рнаруж, целиком содержащие в себе фигуру F. Если Рв и Рн обозначают соответственно их площади, то очевидно Рн>Рв.

точную верхнюю грань, рвн=sup Pв, соответственно для чисел

фигуры F, а число рвн - внутренней площадью фигуры F. квадрируемой или имеющей площадь, если ее внешняя и внутренняя

площади совпадают, а значение р=рнар=рвн называются площадью фигуры F.

2. Кубируемость тела.

Рассмотрим некоторое конечное тело Т, т.е. часть пространства, ограниченного замкнутой поверхностью. Предположим, что известна площадь сечения S(x) этого тела любой плоскостью, параллельной координатной плоскости Oyz, проходящей через точку (х, 0, 0), причем х [a, b].

Разделим тело Т на слои при помощи секущих плоскостей, заданных уравнениями х=х0=а, х=х1, х=х2, ...,х=хn=b, где x0<x1<x2<...<xn=b. При этом объем некоторого слоя будет равен Vk=S( k)(xk-xk-1), k=1, 2, ..., n, а сумма

объемов слоев - Vn= S( k )(xk xk 1) .

Определение. Объемом данного тела Т называется предел последовательности Vn при n (xk-xk-

1 0).

Замечание. 1. Если тело имеет объем, то оно называется кубируемым.

3. Спрямляемость кривой.
Пусть в прямоугольных координатах задана кривая уравнением	у=f(x) , причем х[a, b] .
	n			S = M M
Проведем разбиение кривой точками М1, М2, ..., M , тогда LAB= S		i	,	S = M M		i 1	.
n	1	i		i	i	i 1
	1

Определение. Длиной дуги называется предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда n

длина ее наибольшего звена стремится к нулю; т.е. L= lim Si . max x 0 i 1

Замечание. Если кривая имеет длину, то она называется спрямляемой.

К этим трем пунктам необходимо сделать следующее замечание: если фигура, тело или кривая достаточно сложны, то для вычисления их площади, объема и длины следует разбивать их на некоторое число частей составляющих исходный объект.

§ 2. Приложения определенного интеграла.

1. Вычисление площади плоской фигуры. А. Вычисление площади в декартовых координатах.

Если плоская фигура ограничена кривыми y=f1(x), y=f2(x) и прямыми линиями

b	f2 (x) f1 (х) dx .
х=а, x=b, то площадь S ее вычисляется по формуле S=	f2 (x) f1 (х) dx .
a

Б. Вычисление площади при параметрическом задании границ.

Если граница фигуры задана параметрическими уравнениями х=х(t), y=y(t), t [ , ], то площадь S

вычисляется по одной из трех формул:

S=- y(t)x©(t)dt

S x(t)y©(t)dt

S	1

	2	x(t)y (t) y(t)x (t) dt

где и - значения параметра t, соответствующие началу						положительном направлении
(при котором фигура остается слева)
В. Вычисление площади в полярных координатах.
В полярных координатах площадь S сектора, ограниченного дугой кривой r=r( )						и лучами 1= и 2= ,
				1
вычисляется по формуле			S		r2 ( )d

			2

2. Вычисление объема тела.

А. Объем тела выражается интегралом

V= S(x)dx , где S(x) - площадь

сечения тела плоскостью, ортогональной оси Ох в точке с абсциссой равной х,

а и b - границы изменения х. Функция S(x) известна и непрерывно меняется на отрезке [a, b].

Б. Объем Vx тела, образованного

вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

у=0, у=f(x) 0, х=а, х=b, (b>a),

выражается интегралом Vx= f 2 (x)dx .

В. Объем Vx тела, образованного

вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: х=а, x=b, y=f(x), y=f2(x), (f2(x)>f1(x); b>a)

b f 2 (x) f 2 (х) dx

выражается интегралом: Vx= 2 1 .

Г. Объем Vy тела, образованного

вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции ограниченной линиями

у=0, у=f(x) 0, х=а, x=b, (b>a), выражается

интегралом: Vу= 2 xf (x)dx

3. Вычисление длины дуги плоской кривой

А. Если плоская кривая задана уравнением у=f(x) (f(x) С1), то длина дуги этой кривой выражается

b
b	1 (f '(x))2 dx ,
интегралом l=	1 (f '(x))2 dx ,
a
где a и b абсциссы конечных точек дуги.
Б. Если кривая задана параметрически уравнениями х=(t), y= (t) и производные		(t), (t) непрерывны

при t [ , ], то длина дуги кривой выражается интегралом l= (x (t)) 2 (y (t)) 2 dt , где , , > -

значения параметра t, соответствующие концам дуги.

В. Если кривая задана уравнением r=r()				в полярной системе координат, то длина дуги кривой
2
	(r( ))	2			2	d , где
выражается интегралом							1, 2, 2>1 - значения угла , в концах дуги, а
			(r ( ))
1

r () существует и непрерывна.

4. Вычисление площади поверхности вращения.

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги l некоторой кривой, представляется интегралом:

b
b	1 f '(x) 2 dx , если дуга
а. S=2 f (x)	1 f '(x) 2 dx , если дуга						l задана уравнением у=f(x) при х[a, b];
a

		( '(t))2 ( '(t))2 dt , если дуга l задана параметрически х=(t), у=(t) ,
б. S=2 (t)								t [ , ].

2
2				2		2
в. S= r( ) sin			(r( ))	2		2	d , если дуга l задана в полярной системе координат в
в. S= r( ) sin			(r( ))		(r ( ))		d , если дуга l задана в полярной системе координат в
1
виде r=r( ), [1,2].

5. Приближенное вычисление интеграла Римана.

а. Формула трапеций.

Отрезок [a, b] , на котором задана функция у=f(x) , разбиваем на n равных частей точками хк=а+kh, где

b a

, k

1; n 1

, a=x0, b=x n, тогда интеграл Римана от функции f(x) по промежутку [a, b] можно

вычислить приближенно по формуле

f (x)dx

f (x0) f (x1) ... f (xn 1)

f (xn ) .

Погрешность R формулы имеет оценку |R|

(b a)3

, где М0= sup f (x), если |f (x)| M1.

12n3

б. Формула Симпсона.

Отрезок [a, b], на котором задана функция f(x) , разбиваем на 2n равных частей точками xk=a+kh,

	b a
h=		, k		1;2n 1		, a=x0, b=x2n. Тогда на промежутке [a, b] имеет место приближенная формула:
	2n

b			b a		f (x 0 ) f (x 2n ) 4 f (x1) f (x 2 ) ... f (x 2n 1) ... +
f (x)dx
			6n
a

2 f (x2 ) f (x4 ) ...f (x2n 2 ) .

Погрешность R формулы имеет оценку \|R\|	M	0	(b a)5	, где М0= sup f
		0
	180 (2n)4
	180 (2n)4			x

§3. Избранные задачи.

1.Найти среднее значение функции y=cos x на отрезках: [0; /2], [0; ]. Решение: Среднее значение M[f] функции f(x) на промежутке [a, b] дается

IV	IV
(x), если \|f	(x)\| M1.

			1		b
			1		f (x)dx . Тогда
формулой M[f]=
формулой M[f]=
				b a a
M1 f	2	/2				2		/2		2			f	1			1		0.
	2		cosxdx			2	sin x			2		, M2		1	cosxdx		1	sin x
			cosxdx				sin x					, M2			cosxdx			sin x
			0					0						0					0
			0											0
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
х=0; х=2; у=2х; у=2х-х2
Решение. Так как у1>y2					при всех значениях х [0; 2], то
S		2	(2x dx (2x x 2 ))dx									3	4
												3	4

		0									ln 2		3
		0
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
у1=х+1, у2=cos x; y=0.
Решение:
Искомая площадь показана на рисунке.
Тогда
0					/2				3
S=S1+S2= (х			1)dx cosxdx						3
S=S1+S2= (х			1)dx cosxdx						2
1					0				2
1					0
4. Определить площадь между параболой у=-х2-2х+3, касательной
Решение. Уравнение касательной к данной параболе в точке (x0; f(x0))																имеет вид у=f(x0)+f '(x0)(x-x0) или y=-5-
														2		7 6x x 2 2x 3 dx
6(x-2), следовательно у=7-6x. Поэтому площадь фигуры равна														S		7 6x x 2 2x 3 dx
														0

3 .

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2618 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.20151.1 Mб126Лекции-История и методология языкознания.doc
#
03.05.2015366.08 Кб155Лекции-ст.doc
#
13.08.201973.73 Кб8Лекции.doc
#
09.11.20184.19 Mб47лекции.doc
#
27.03.2015223.47 Кб36Лекции.docx
#
27.03.20154.74 Mб73ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев.pdf
#
27.03.2015274.94 Кб7Лекции_по_ИЭ_2.doc
#
11.03.20162.17 Mб28Лекции_тервер.pdf
#
27.03.20153.81 Mб123ЛекцииМО.doc
#
27.03.2015473.6 Кб10Лекционный курс для подготовки (студентам).doc
#
27.03.2015222.15 Кб17Лекция 02 Кинематика криволинейного движения..pdf