ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев

2. Функции, включающие модуль переменного Определение. Модулем положительного числа является само это число, а модулем отрицательного числа

является это число, взятое со знаком минус, и, наконец, модуль нуля равен нулю. Вводится обозначение модуля числа x в виде |x|.

Задание. Построить графики функций: y=|x|, y=|x-1|

3. Квадратный трехчлен

Определение. Функция вида y=ax2+bx+c при a 0 называется квадратным трехчленом или квадратичной функцией. График этой функции называется параболой.

Для исследования этой функции выделим в правой части полный квадрат. После чего уравнение квадратного трехчлена примет вид

1.Если a>0, то a(x+ 2a )20, тогда при x=- 2a квадратный трехчлен имеет наименьшее значение.

3.Если a>0, то при x y + , - это означает, что ветви параболы направлены вверх.

Построить график квадратного трехчлена у=-2(х-2)2+8 методом преобразования графиков функций. Необходимо последовательно строить:

1) у=х2.

2) Полученный график сдвинуть вдоль оси Ох вправо на 2 ед. длины. 3) Полученный график сдвинуть вдоль оси Оу вниз на 4 ед. длины.

4) Полученный график вытянуть вдоль оси Оу в два раза.

5) Сделать зеркальное отображение графика относительно оси Оу. Последний график будет искомым.

4. Гипербола. Дробно-рациональная функция

Определение. График функции y=k/x называется гиперболой. Область определения X={x|x R, x 0}, функция нечетная, при k>0 y + , если x +0 и y - , если x -0.

Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой графика. При x + y +0 и при x - y -0, т.е. прямая y=0 является горизонтальной асимптотой.

При k>0 график функции y=k/x

имеет вид (смотри рисунок).

При k<0 графиком функции

является зеркальное отображение приведенного графика относительно оси 0X.

Замечание.

k

k

2. Для построения графика функции y= x с необходимо график функции y=k/x сдвинуть вдоль оси OX

на |c| единиц влево, если c>0, и вправо, если c<0.

ax b

3. Для построения графика дробно-линейной функции y= cx d нужно выделить целую часть дроби, а

затем вести построение путем преобразования графиков.

2x 3

Пример. Построить график функции y= x 1 .

Затем последовательно нужно построить графики функций: y=1/x; y=5/x; y=5/(x-1); y=2+5/(x-1).

5. Степенная функция

Определение. Функция вида y=xn, где n R, называется степенной.

Отметим некоторые свойства степенной функции с натуральным показателем степени, т.е. n N : область определения X R; функция четная, если n четное,

и нечетная, если n нечетное; при x>0 и любом n N функция x возрастающая, при x<0 и n=2k-1 функция возрастающая, а при n=2k - убывающая; графики всех степенных функций проходят через точки (0; 0) и (1; 1), имеет также место следующая асимптотика: y + при x + и любых n N, y + при x - и n=2k, y -

6. Показательная и логарифмическая функции

Определение. Функция вида y=ax, где a>0 и a 1, называется показательной функцией. Свойства показательной функции:

1.Область определения X R.

2.y=ax>0 при всех x из R.

3.Если x=0, то по определению имеем a0=1, т.е. график функции проходит через точку (0; 1).

4.Если a>1, то y=ax>1 при x>0 и y=ax<1 при x<0.

5.Если a>1, то функция возрастает во всей области определения.

Отметим, что при a>1 график функции y=ax лежит тем ближе к оси OY, чем больше основание a , а при 0<a<1 график функции y=ax лежит тем ближе к оси OY, чем меньше основание a.

По теореме существования обратной функции, функция y=ax имеет обратную, которая называется логарифмической и обозначается следующим образом: y=logax.

Все свойства логарифмической функции можно получить как свойства обратной функции к показательной.

ригонометрические функции

Для определения тригонометрических функций возьмем окружность единичного радиуса с центром в начале координат. На этой окружности выберем начало отсчета - точку пересечения окружности с осью OX - и положительное направление обхода окружности - против часовой стрелки. Тогда каждой точке M(x) на окружности можно поставить в соответствие

вещественное число по модулю 2 , т.е. M(x) x+2 k, k Z, а каждому вещественному числу - единственную точку окружности, т.е. x M(x), причем точка M(x) такова, что длина дуги АМ равна x. Заметим, что длина дуги берется в радианах, а отрицательным числам соответствуют точки M такие, дуга окружности АМ которых откладывается в отрицательном направлении, т.е. по часовой стрелке. Указанная окружность называется числовой окружностью.

Определение. Ордината точки M(x) на числовой окружности называется синусом числа x и обозначается sin x, а абсцисса этой точки называется косинусом числа x и обозначается cos x.

Отношение sin x/cos x называется тангенсом числа x и обозначается tg x, отношение cos x/sin x называется котангенсом числа x и обозначается ctg x.

Таким образом определяются тригонометрические функции: синус, конус, тангенс и котангенс. Функции 1/sin x и 1/cos x называются соответственно «косеканс» и «секанс» числа x и обозначаются cosec x и sec x.

а. Свойства функции синус.

1.Область определения X R.

2.Периодическая с периодом Т=2 .

3.Нечетная, т.к. sin(-x)=-sin x.

4.Возрастает при x [2k - /2; 2k + /2] и убывает при x [ /2+2k ; 3 /2+2k ], k Z.

5.Область изменения y [-1;+1].

6.Выпукла вверх при x [2k ; +2k ] и выпукла вниз при x [- +2k ; 2k ].

б. Свойства функции косинус.

1.Область определения X R.

2.Периодическая с периодом Т=2 .

3.Четная, т.к. cos(-x)=cos x.

4.Возрастает при x [2k - ; 2k ] и убывает при x [2k ; +2k ], k Z.

5.Область изменения y [-1; +1].

6.Выпукла вверх при x [- /2+2k ; /2+2k ] и выпукла вниз при x [2k + /2; 3 /2+2k ], k Z.

в. Свойства функции тангенс и котангенс. 1. Область определения: тангенса - x /2+k , k Z;

котангенса - x k , k Z.

2.Периодические с периодом T0= .

3.Нечетные.

4.Тангенс - кусочно возрастающая функция, котангенс - кусочно убывающая функция.

5.Область изменения (-; +).

6.Тангенс и котангенс выпуклы вверх при x(-/2+k , k), и выпуклы вниз при x(k ; /2+k ), k Z.

8. Обратные тригонометрические функции

На участках монотонности функции y=sinx, y=cosx, y=tg x и y=ctg x допускают обратные, которые обозначаются соответственно:

y=arcsin x, x [-1;1], y [-/2; /2]; y=arccos x, x [-1;1], y [ 0; ]; y=arctg x, x (-; +), y (-/2; /2); y=arcctg x, x (-;+ ), y (0; ).

1

1 2+2 3+ ... +k(k+1)= 3 k(k+1)(k+2).

Покажем, что имеет место равенство для n=k+1, т.е.

1

1 2+2 3+...+k(k+1)+(k+1)(k+2)= 3 (k+1)(k+2)(k+3).

Для этого преобразуем левую часть

k k

1 2+2 3+...+k(k+1)+(k+1)(k+2)= 3 (k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(1+ 3 )=

Последнее означает справедливость доказываемого равенства.

Таким образом, мы доказали, что исходное равенство справедливо при n=1 и из справедливости его для n=k следует справедливость при n=k+1. Следовательно, вследствие принципа математической индукции исходное равенство истинно при всех натуральных значениях n.

Пример 2. Доказать тождество

Докажем справедливость его при n=k+1, т.е.