Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

4.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Доказательство. (для положительной функции f(x)>0)

Пусть f(x) не ограничена на [a, b], тогда существует по крайней мере один отрезок [xk-1, xk] длины хк, на котором f(x) - не ограничена для любого Т[a, b]. Затем возьмем произвольно последовательность Mn + при

n . Затем для любого разбиения Т[a, b]	составим интегральную сумму
к	k
n=f( 1) x1+..+f( n) xn+f( k) xk	или n =M0+f( k) xk,
k
выбирая к [xk-1, xk] так, чтобы n =M0+ xkf( k)>Mn (это можно сделать, т.к f(x) - не ограничена).
Таким образом, получим, что из последовательности интегральных сумм можно выделить расходящуюся
k		lim n (T, k )	при произвольном Т и к. .
последовательность n , т.е. не существует предела		lim n (T, k )	при произвольном Т и к. .
		n

Что доказывает не интегрируемость функции f(x) на [a, b], если она не ограничена.

Замечание. Существуют ограниченные функции, которые не являются интегрируемыми по Риману.

5. Суммы Дарбу.

Пусть f(x) - ограниченная на [a,b] функция, Т[a,b] - произвольное разбиение [a,b]. Замечание. Т.к. f(x) - ограничена на [a, b] , то она ограничена и на

[xk-1, xk], а значит существуют mk	inf	f (x)	и Mk=	sup	f (x) .
	[xk 1,xk ]			[x k 1,x k ]
Определение. Нижней суммой Дарбу функции у=f(x)			на [a, b] будем называть число s=

Определение. Верхней суммой Дарбу функции у=f(x) на [a, b] будем называть число S

Заметим, что эти определения формулируются для данного разбиения Т [a, b] .

6. Свойства сумм Дарбу.

1. Если (Т, к) - интегральная сумма для некоторого разбиения Т [a, b] , а s и

S - нижняя и верхняя суммы Дарбу ее, то имеет место s (Т, к) S .

Т.к. mk xk f ( k ) xk M k xk .

2. При измельчении разбиения Т [a, b] верхняя сумма Дарбу для f(x) может только уменьшиться, а нижняя - только увеличиться.

mk xk . k 1

M k xk .

Геометрическая интерпретация.
а) нижняя сумма Дарбу	б) верхняя сумма Дарбу
может увеличиться.	может уменьшится.

3. Для двух произвольных разбиений Т1[a, b] и Т2[a, b] нижняя сумма Дарбу одного из этих разбиений не превосходит верхней суммы Дарбу другого, т.е. sT1 ST2 и sT2 ST1.

	Доказательство. Пусть даны разбиения Т и Т для [a, b] , а S ,s ; S , s - верхняя и нижняя суммы Дарбу
этих разбиений, и Т=Т Т для [a, b] , а S, s - верхняя и нижняя суммы Дарбу разбиения Т. Тогда S S и										S
S; s s;	s s, а также s S, значит			s s S S и s s S S .
7. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции по Риману.
					b
	Теорема. Для существования интеграла f (x)dx					необходимо и достаточно чтобы		lim (S-s)=0.
					a			n
					a
	Доказательство.
1. Необходимость. Пусть f(x) интегрируема на [a, b] , Тогда						lim	n(T, k)=J. А также существуют пределы
						n
						(d 0)
сумм Дарбу lim s=J,		lim	S=J как пределы подпоследовательностей n(T, k). Значит					lim	(S-s)=0.
	n	d 0						n
	d 0	n						(d 0)
2. Достаточность. Пусть		lim	(S-s)=0.				(*)
		n
		(d 0)
Так как mk f( k) Mk, mk xk f( k) xk Mk xk,
n	n			n
mk	xk f ( k ) xk			M k	xk , то:
1	1			1
		n
1) последовательность sn= mk xk					является ограниченной сверху и монотонно неубывающей, а
		1

следовательно сходящейся к J0, т.е. lim sn=J0.

n
2) последовательность Sn= M k xk	является ограниченной снизу и монотонно не возрастающей, т.е.
1
имеет предел J00.
Из условия lim (S-s)=0 следует, что J0=J00, а поэтому lim		n(T, k)=J0,	так как	sn n Sn.
n	n
	(d 0)
8. Классы интегрируемых по Риману функций.
				b
А. Непрерывная на [a, b] функция f(x) интегрируема на [a, b] по Риману, т.е существует				f (x)dx .
				a
Доказательство. Возьмем произвольное >0.
Т.к. f(x) непрерывна на [a, b] , то для >0	( )>0 такое, что при любых		и из [a, b] при выполнении
условия \| - \|< имеет место

|f( )-f( )|< /(b-a) (определение равномерно непрерывной функции). Возьмем теперь разбиение Т [a, b] такое, что d< , а следовательно будем иметь для любого >0 и для всех , [a, b] и удовлетворяющих | - |< ,

|f( )-f( )|< /(b-a) , а также

sup f (

) inf f (

)

или |M -m |<

. Наконец составим S-

b a

k k

b a

s= (M

) x

(b-a)= . Сказанное означает, что

lim (S-s)=0. Следовательно f(x)

b a

интегрируема по Риману.

Б. Если ограниченная функция f(x) на промежутке [a, b] имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на [a, b] по Риману.

В. Монотонная на [a, b] функция f(x) интегрируема на [a, b] по Риману.

Замечание. Существуют интегрируемые по Риману функции, имеющие бесконечно много точек разрыва на

[a, b].

Например f(x)=sqn sin(1/x), x [0; 1]. f(0)=|A|<+

9. Свойства интегрируемых функций.

1. Если функция f(x) интегрируема на [a, b], то функции |f(x)| и k |f(x)| интегрируемы на [a, b] . 2. Если f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b], то f(x) g(x) и f(x) g(x) интегрируемы на [a, b] .

3. Если f(x) интегрируема на [a, b], то f(x) интегрируема на любом [ , ] [a, b].

4. Если изменить значение интегрируемой на [a, b] функции в конечном числе точек, то f (x)dx не изменит

своего значения.

5. Из интегрируемости на [a, b] функции |f(x)| не следует интегрируемости f(x)

	1,	х рационально;
Например.	f(x)=
	1,	х иррационально.
	10. Свойства определенного интеграла.
b	a
1. f (x)dx =- f (x)dx , если эти интегралы существуют.
a	b
Доказательство.: Выбирая Т [a, b] и Т [b, а] одинаковыми, получим
[a, b](T, k)=- [b, a](T, k), т.к. ( хk)[a,b]=-( xk)[b, a]. Что и требовалось доказать.
		b	с	b

2. Если f(x)	интегрируема на [a, b] , то f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx , при a c b. (возможно
		a	a	с
сформулировать это свойство для произвольных a, b, c.).
Доказательство. (Для случая, когда узел разбиения совпадает с точкой «с»
так как интеграл не зависит от Т [a, b] , то это всегда можно достичь)
	n	m		n
В равенстве n= f ( i ) xi f ( i ) xi				f ( i ) xi
	i 1	i 1	i m 1
переходим к пределу		n , d 0. Тогда по определению интеграла Римана получим
		(m)
b	с	b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx .
a	a	с
b		b

3. k0f (x)dx =k0 f (x)dx .

a	a
		n	n
Доказательство. Так как n= k0f ( k ) xk k0 f ( k ) xk , то при переходе к пределу в этом
		1	1
		b		b
равенстве при n , (d 0)		получим k0f (x)dx =k0		f (x)dx .
		a		a
b		b	b
4. (f (x) g(x))dx = f (x)dx g(x)dx .
a		a	a
Доказательство.
	n		n	n
Так как n(f+g)= (f (xk ) g(xk )) xk f (xk ) xk f (gk ) xk , то после
	1		1	1
			b	b	b
перехода к пределу при n , (d 0)			получим (f (x) g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx

	b
5. Если f(x) 0 и интегрируема на [a, b], то	f (x)dx 0.
	a

6.Если f(x) g(x), x [a, b] , то f (x)dx g(x)dx (Следствие 4, 5)

7. Если f(x) 0 и непрерывна на [a, b] и существует точка х0 [a, b] где f(x0) >0, то

f (x)dx 0>0; 0 -

некоторое число.

Доказательство. Пусть f(x0)= >0, тогда существует окрестность (х0- , х0+ )

точки х0

в которой f(x) /2.

dx +

Поэтому

f (x)dx =

f (x)dx +

f (x)dx

f (x)dx +

f (x)dx

( /2)2 0= 0>0, так как

f (x)dx 0,

f (x)dx 0.

Заметим, что 0= 0.

8. Если f(x) интегрируема на [a, b], то

f (x)dx

|f (x)|dx .

Доказательство. -|f(x)| f(x) |f(x)|,

f ( k )

xk f ( k ) xk

f ( k )

f (x)

dx f (x)dx |f (x)|dx или

f (x)dx

|f (x)|dx .

11. Избранные задачи.

2 dx

1. Вычислить нижнюю и верхнюю суммы Дарбу S 5

и s 5

для интеграла

, разбив отрезок [1; 2] на пять

равных частей. Сравнить с точным значением интеграла.

		5		5
Решение, Известно, что s 5= mi xi ,				S	5= Mi xi .
		1		1
Дальнейшие вычисления сведем в таблицу:
i	xi		xi			mi	Mi	mi xi	Mi xi
0	1
1	1.2		0.2			5/6	1	0.166	0.200
2	1.4		0.2			5/7	5/6	0.143	0.166
3	1.6		0.2			5/8	5/7	0.125	0.143
4	1.8		0.2			5/9	5/8	0.111	0.126
5	2.0		0.2			1/2	5/9	0.1	0.111

5	5
Тогда, s 5= mi xi =0.645,	S	5= Mi xi =0.745
1	1

2 dx
2 dx		2
	=ln\|x\|	1	=ln2 0.693.
	=ln\|x\|	1	=ln2 0.693.
1 х			1		n
1 х

2. Вычислить по определению xdx				lim	mi xi .
			0	max xi 0	1
				n

Решение.

Составим таблицу значений подобно задаче №1 при разбиении отрезка на n равных частей

mi xi

1/n

2/n

1/n

1/n2

3/n

2/n

1/n

2/n2

. . .

Тогда

mi xi

k/n

(k-1)/n

1/n

(k-1)/n2

i 1

. . .

1 2 3 ... (n 1)

n 1

(n-1)/n

1/n

(n-1)/n

n 1

Поэтому

xdx

lim

3. Показать, что

x dx =0.

Решение. Имея ввиду геометрический смысл интеграла и рассматривая рисунок, получим: x3dx =-s2,

								1
1				1
x3dx =s1, причем s1=s2. Тогда				x3dx =s1-s2=0.
0				1
		а					а	а
Имеют место равенства		f (x)dx =0			если f(x) - нечетная функция, и f (x)dx 2 f (x)dx - -если f(x) -
		а					а	0
четная функция.

3		dx
4. Вычислить J=		dx	.

	1	х2
1	1	х2
Решение.
					b	b
					b
Применим формулу Ньютона-Лейбница					f (x)dx F(x)		, где F(x)=arctg x
					a	a
					a

непрерывная первообразная для

1 х2

arctg 3

arctg1

= arctgx

1 1 х

2 / 4

5. Вычислить интеграл

sin

xdx .

Решение. После подстановки

x =t, x=t2

получим

2 / 4

/ 2

sin

xdx 2 t sin tdt .

Последний интеграл вычисляется по частям: t=u, sin t=v , u =1, v=-cos t, тогда

/2		/2	/2		/2
		/2			/2

2 t sin tdt 2 t cost			costdt	2sin t	2 .
0		0	0		0
0			0

	1
6. Вычислить интеграл J=	\|x\|dx .
	2

Решение. По свойству интеграла имеем

1	0	1	0		1	x	2	0

\|x\|dx	\|x\|dx \|x\|dx			xdx xdx
						2
2	2	0	2		0			2

8x2 1

7.Оценить интеграл J= x 3 dx .0

Решение. Находим inf f(x) и sup f(x) на отрезке [0; 8] функции f(x)=

inf f(x)=	1	, sup f(x)=	63	.

	3		11

	x2	1 2	1	5	.


2		0	2	2

x2 1 x 3 :

	1	8 x2		1		63	, значит J [	8		63
Значит имеет место оценка: +8(		)			dx 8				; 8		].
	3		x	3		11		3		11
		0

Лекция 23 ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.

1. Теорема о среднем.

Лемма. Если f(x) интегрируема на [a, b] и m f(x) M при х[a, b] , то

m(b-a) f (x)dx M(b-a).

Доказательство. Составляем интегральные суммы на отрезке [a, b] для функций m, M, f(x), которые в силу условия m≤mk f(x) Mk, M≤x [xk-1, xk] удовлетворяют

n	n	n
неравенствам m xk f ( k ) xk M xk , тогда
1	1	1

m(b-a) f (x)dx M(b-a).

Теорема. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b], причем g(x) 0, M=sup f(x), m=inf f(x), тогда найдется число [m, M] такое, что имеет место равенство

	b	b
(*)	f (x)g(x)dx g(x)dx .
	a	a

Если f(x) непрерывна на [a, b], то найдется точка [a, b], такая, что имеет место

b	b
f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dx .
a	a

Доказательство.

Имеем m f(x) M, тогда т.к. g(x) 0 получим m g(x) f(x)g(x) M g(x). В силу интегрируемости m g(x),f(x)g(x), M g(x) получим

			b		b	b
(**)			m g(x)dx g(x)f (x)dx M g(x)dx
			a		a	a
(Здесь предполагается интегрируемость g(x)f(x))
	Рассмотрим два случая.
1) g(x) 0, тогда равенство (*) имеет место для любого						.
	b
2) g(x) 0 и g(x)dx >0, то из (**)				в этом случае имеем
	a
	b		b
	f (x)g(x)dx		f (x)g(x)dx
m	a	М, т.е.	a		= [m, M], откуда следует (*).
	a
	b		b
	b		b
	g(x)dx		g(x)dx
	a		a

Если f(x) непрерывна на [a, b], то существует точка [a, b], такая, что f( )= , а тогда

b	b
f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dx .
a	a
		b	b
	Следствие. Если g(x) 1, то	f (x)dx = (b-a) или	f (x)dx =f( )(b-a), если f(x) непрерывная на [a, b].
		a	a

Определение. Число - называется средним значением функции f(x) на промежутке [a, b].

Геометрическая интерпретация.

														b
														f (x)dx
Обычно среднее значение обозначают M[f] и M[f(x)]=														a	.
Обычно среднее значение обозначают M[f] и M[f(x)]=														b a	.
														b a
	Примеры.
1.	M[sin x][0, 2 ]=0.

			sin xdx		cosx							2
			sin xdx
2.	M[sin x][0, ]=		0						0				.
			0						0


	1
		x2dx		1		x3	1			1
		x2dx					1
3.	M[x2][-1, 1]=	1									.
3.	M[x2][-1, 1]=										.
	2			2		3	1	3
						3	1

2. Определенный интеграл как функция верхнего предела.

Пусть функция у=f(x) задана и интегрируема на промежутке [a, b] . Тогда f(x) интегрируема на любом промежутке [ , ] [a, b], а следовательно f(x) интегрируема на [a, х] , где a x b.

	х					х
Очевидно, интеграл f (x)dx			есть функция верхнего предела х, то есть f (x)dx =F(x), х[a, b].
	a					a
			х	х
Определение. Интеграл			f (x)dx f (s)ds=F(x)			называется интегралом с переменным верхним
			a	a
пределом.
				х
Докажем некоторые свойства				f (s)ds:
				a
				х
а). Если f(x) интегрируема на [a, b], то F(x)= f (s)ds непрерывна на [a, b].
				a
Доказательство.
Найдем приращение F(x):						F=F(x+ x)-F(x)
x x	x	x x				х х
= f (t)dt f (t)dt			f (t)dt ∆x. Интеграл			f (t)dt не превосходит площади
a	a	x				x
						x
							х х
прямоугольника с основанием х и высотой равной					sup f(x). Следовательно, F(x)=		f (t)dt 0 при х0.

Последнее означает, что функция F(x) непрерывна в любой точке отрезка [a, b].

б). Если f(x) непрерывна на [a, b], то F(x)= f (s)ds

				a
Доказательство.
			x x
	F		f (s)ds
F (x)= lim	F	lim	x	lim
F (x)= lim	x	lim	x	lim
x 0	x	x 0	x	x 0

дифференцируема на этом промежутке.

x f ( )

= lim f ( ) f (x) , так как ( [x, x+ x]).
x 0
( x)
Значит функция F(x) имеет производную равную f(x), а следовательно дифференцируема.
	х
Следствие. Интеграл с переменным верхним пределом f (s)ds является одной из первообразных
	a
х	'
функции f(x), т.е. f (s)ds =f(x).
a	x

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.20151.1 Mб126Лекции-История и методология языкознания.doc
#
03.05.2015366.08 Кб155Лекции-ст.doc
#
13.08.201973.73 Кб8Лекции.doc
#
09.11.20184.19 Mб47лекции.doc
#
27.03.2015223.47 Кб36Лекции.docx
#
27.03.20154.74 Mб73ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев.pdf
#
27.03.2015274.94 Кб7Лекции_по_ИЭ_2.doc
#
11.03.20162.17 Mб28Лекции_тервер.pdf
#
27.03.20153.81 Mб123ЛекцииМО.doc
#
27.03.2015473.6 Кб10Лекционный курс для подготовки (студентам).doc
#
27.03.2015222.15 Кб17Лекция 02 Кинематика криволинейного движения..pdf