ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев

3. Наибольшее и наименьшее значение функции на множестве.

Наибольшее и наименьшее значения функции на множестве D называется глобальным максимумом и

Если функция f(x, y) определена и непрерывна в некоторой ограниченной замкнутой области D , то она достигает на D своего наибольшего и наименьшего значения.

Чтобы найти max f(x, y), min f(x, y) достаточно:

DD

1.Найти стационарные точки f(x, y) в открытом множестве D;

М1(0, 0); М2(6, 3) - критические точки

М1=(0, 0): А=0, В=0, С=0.

D=0 - точка М1(0, 0) требует дополнительного исследования.

Имеем z(x, 0)=-x3>0 при x<0 z(0, y)=-y4<0 ; z(0, 0)=0

Итак, в любой окрестности М1(0, 0) функция z(x, y) может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Экстремума нет.

М2(6, 3): А=-18<0, B=36, C=-108, D=648>0

М2 - точка локального максимума: zmax=z(M2)=35

1) Найдем стационарные точки: 2х-у=0, 2у-х=0 Стационарной будет точка О(0, 0): f(0, 0)=0. Рассмотрим функцию на отдельных частях границы:

а) у=x+1, x [-1, 0] : f(x, y)=x2+x+1. б) y=x-1, x [0, 1]: f(x, y)=x2-x+1.

в) y=-x+1, x [0, 1]: f(x, y)=3x2-3x+1. г) y=-x-1, x [-1, 0]: f(x,y)=3x2+3x+1.

Найдем наибольшее и наименьшее значения на первом участке:

Стационарная точка fx =2x+1, x=-1/2, f(-1/2)=3/4. На границе: f(0)=f(-1)=1

На границе у=х-1 наибольшее и наименьшее значение будут такими же . На третьем и четвертом участках границы аналогично находим:

fmax=1, fmin=1/4

Таким образом, на границе D функция f(x, y) имеет наибольшее значение, равное 1, наименьшее - 1/4.

Сравнивая эти значения со значением в стационарной точке, окончательно

получим: max f(x, y)=1 достигается в точках (0, 1); (0,-1); (1, 0); (-1, 0),

D

min f(x, y)=0 достигается в точке (0, 0)

D

4. Условный экстремум.

Рассмотрим функцию z=f(x, y) , определенную на множестве G E2. При условии, что ее аргументы являются связанными соотношением

Уравнение (1) называют условием связи. Множество всех точек М(х, у) из G, координаты которых х, у удовлетворяют условию связи (1) обозначим через D: D G E2.

Определение. Точка М0(х0, у0) называется точкой условного экстремума функции f(x, y) относительно (или при выполнении) условия связи (1) если она является точкой обычного экстремума этой функции, рассматриваемой только на множестве D.

Иначе говоря, условный экстремум - это экстремальное значение функции в точке М0 по отношению не ко всем точкам из некоторой окрестности М0, а только к тем из них, координаты которых связаны между собой условием связи (1).

Пример. Требуется найти экстремум функции z=x2+y2 при условии, что аргументы этой функции удовлетворяют условию связи х+у-1=0. Таким образом, экстремумы функции z=x2+y2 ищутся не на всей плоскости Оху, а лишь на прямой х+у-1=0.

Для решения поставленной задачи применим метод исключения переменных.

5. Метод исключения переменных.

Подставим в функцию z=x2+y2 значение у определяемое из условий связи х+у-1=0. Таким путем мы сведем поставленную задачу к задаче об отыскании безусловного экстремума функции

z=2x2-2х+1.

Последний экстремум можно найти следующим образом: поскольку z =4(x-1/2), z =4, то функция z=2x2-2х+1 имеет минимум z=1/2 при x=1/2.

Таким образом функция z=x2+y2 с условием связи имеет условный минимум z=1/2 в точке (1/2, 1/2). Отметим, что безусловный минимум функции z=x2+y2 достигается в точке

О(0, 0) и равен z=0. Впрочем, даже из наглядных соображений очевидно, что минимум функции z=x2+y2 (графиком которой служит параболоид вращения) на всей плоскости Оху не совпадает с ее минимумом на прямой х+у-1=0

По этой причине при суммировании бесконечного числа слагаемых мы не можем пользоваться привычными законами действий как - то переместительный или сочетательный. Более того применение этих правил может привести к неверным результатам.

Не забудем, что указанные законы безусловно применимы к суммам конечного числа слагаемых.

Счем же можно сравнить ряд ?

1.По своей структуре ряд можно сравнить с определенным интегралом, так как в определенном интеграле суммируется бесконечное число слагаемых.

2.Отметим также, что суммирование бесконечного числа слагаемых уже встречалось при нахождении суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии.

Замечание. Само выражение (2) или un никакого смысла не имеет, т.к. действие сложения n 1

производится с бесконечным числом слагаемых.

Далее мы попытаемся дать некоторое толкование указанной бесконечной суммы или ряда.

3. Сходящиеся числовые ряды.

Определение. Сумма n первых членов ряда (2) Sn=u1+u2+...+un называется nой частичной суммой числового ряда (2).

Откуда очевидно, что S1=u1, S2=u1+u2, Sn+1=Sn+un+1; а частичные суммы S1, S2, ..., Sn, ... образуют

бесконечную последовательность частичных сумм.

Определение. Ряд un называется сходящимся, если последовательность Sn его частичных сумм n 1

имеет конечный предел, т.е. lim Sn=S, причем число S называется суммой этого ряда.

n

Определение. Ряд un называется расходящимся, если последовательность Sn его частичных сумм n 1

не имеет конечного предела, то есть расходится.

Замечание. Теория рядов состоит из двух основных задач 1) установление сходимости или расходимости рядов и

2) вычисление их сумм, если они существуют, что само по себе является сложной задачей.

Следует помнить, что сходимость ряда un эквивалентна сходимости последовательности частичных

n 1

сумм Sn этого ряда (по определению).

Рассмотрим несколько простых примеров.

этого ряда равна 1.

n 1

Доказательство (из принципа сходимости Коши): Пусть Sn=1+1/2+1/3+...+1/n, тогда

n 1