ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев

Доказательство.

1. Необходимость. Если f(x) =с при всех x (a, b), то f (x) существует и равна нулю , т.е. f (x)=0.

2. Достаточность. Пусть для функции f(x) на (a, b) существует производная всюду равная нулю. Выберем на этом

интервале произвольно точку х0 и применим формулу Лагранжа для отрезка [x0, x], x (a, b): f(x)-f(x0)=f ( )(x-x0), (x0, x).

В силу того, что f ( )=0 , получим f(x)=f(x0) для любой точки x (a, b). Значит f(x)=const для всех точек (a, b).

Следствие. Если на промежутке (a, b) имеет место f (x)=q (x), то эти функции отличаются друг от друга на постоянную, т.е. f(x)=q(x)+c.

Теорема. Для того чтобы дифференцируемая на (a, b) функция у=f(x) не убывала (не возрастала) необходимо и достаточно выполнение неравенства

f (x) 0, x (a, b) (f (x) 0, x (a, b)).

Доказательство.

1. Необходимость. Пусть f(x) не убывающая функция на интервале (a, b), т.е. для любых x2>x1 из (a, b) имеет место f(x2) f(x1). Тогда в силу формулы Лагранжа имеем : f(x2)-f(x1)= f ( )(x2-x1), а тогда f ( ) 0, т.к. x1 и x2 любые из (a, b), то любая точка (a, b).

2. Достаточность. Если f (x) 0, x (a, b), то для любых точек x2, x1 (a, b) имеем формулу Лагранжа: f(x2)-f(x1)=f

( )(x2-x1) (f ( ) 0);

поэтому f(x2) f(x1) при x2>x1.

Последнее означает, что f(x) монотонно не убывающая.

Замечание. Пункт «необходимость» можно доказать методом от противного.

5.Обобщенная формула конечных приращений.

Теорема (Коши). Если каждая из двух функций f(x) и q(x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на

Доказательство.

1) Очевидно, что q(b)-q(a) 0. От противного: если бы q(a)=q(b), то существовала бы точка (a, b), что q ( )=0 (теорема Ролля), но этого не может быть по условию q (x) 0.

f (b) f (a)

2) Рассмотрим далее функцию F(x)=f(x)-f(a) - q(b) q(a) [q(x)-q(a)]

Функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, поэтому

6. Некоторые примеры.

1. Доказать, что |sin x1-sin x2| |x1-х2|.

Доказательство. Так как sin x1-sin x2=cos ( x1-х2) (формула Лагранжа), то

|sin x1-sin x2|=|cos | |x1-х2|| |x1-х2|.

2. Доказать, что |arctg x1-arctg х2| |x1-х2|.

2

Доказательство. Рассмотрим функцию f(x)=sin2x+1/2 cos2x; x R.

При этом f (x)=2sin x cos x-sin2x 0, т.е. sin2x+1/2 cos2x=c. Остается найти с.

Выбирая х=0 : 0+1/2=с, т.е. с=+1/2.

Итак f(x) sin2x+1/2 cos2x=+1/2, значит sin2x=1/2(1-cos2x).

5. Удовлетворяет ли условиям теоремы Ролля функция f(x)=1-|x| на отрезке

[-1, 1]?

Решение. 1) f(x)=1-|x| непрерывна на [-1, 1];

2) f(x)=1-|x| не является дифференцируемой в точке х=0;

3) f(-1)=f(1), т.к. 1-|1|=1-|1|=0.

Условие теоремы не выполняется.

6. Удовлетворяет ли функция f(x)=3x2-5 условиям теоремы Лагранжа на отрезке [-2, 0]? Решение.

1) f(x) непрерывна;

2) f(x) - дифференцируема, можно найти точку отрезка [-2, 0], фигурирующую в теореме Лагранжа. f

значит =-1.

7. Доказать, что уравнение 3х5+15х-8=0 имеет единственный действительный корень. Доказательство. Так как многочлен в левой части нечетной степени, то обязательно существует хотя бы один корень. Доказательство единственности проведем от противного. Положим, что исходное уравнение имеет два корня

х1 и х2 , т.е. f(x2)=f(x1)=0. По теореме Ролля существует (х1, х2) такая, что f ( )=0. Однако f ‘(x)=15x4+15 и обращаться в нуль не может ни в одной точке. Значит уравнение 3х5+15х-8=0 имеет один корень, так как функция

у=3х5+15х-8 всюду монотонно возрастает.

8. Известно, что (ех) =ex. Существует ли другие функции совпадающие со своими производными?

Таким образом функции (не тривиальные) производная которых совпадает с самой функцией имеют вид f(x)=c1 ex, где с1 - постоянная величина.

Лекция 16 ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ.

Понятие производной оказывается полезным при вычислении пределов. В частности далее докажем

теорему о «раскрытии» неопределенности типа 0 . А так как другие неопределенности ( / , 1 , 00, 0, - ; 0 )

0

можно свести к 0/0, то эта теорема позволяет применить ее к раскрытию любой неопределенности. Теорема. Пусть функции f(x), q(x) дифференцируемы в проколотой окрестности точки х0 (т.е. х0-

f '(x0) и q'(x0), то А= f '(x0 ) .

q'(x0 )

Замечание. Раскрытие неопределенности по этой теореме называется правилом Лопиталя. Теорема справедлива и при том, если предельная точка х0 лежит в бесконечности, т.е. при х и х.

f (x)

Доказательство. Так как предел отношения при х х0 не зависит от значений f(x) и q(x) в точке

q(x)

х0, то мы доопределим эти функции до непрерывности их пределами в точке х0 : f(x0)=0 и q(x0)=0. Таким образом функции f(x) и q(x) становятся непрерывными в окрестности точки х0 и удовлетворяют в ней теореме Коши для отрезка [x0, x] или [x, x0]. Здесь х не выходит из указанной окрестности.

Доказательство для левой полуокрестности проводится аналогично приведенному.

Замечание. Если производные f '(x) и q (x) удовлетворяют тем же условиям, что и функции f(x) и q(x), то правило Лопиталя можно применять повторно, т.е.

Лекция 17 ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЯМ ФУНКЦИЙ.

1. Некоторые теоремы.

Теорема. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки х0.

Тогда:

1) функция f(x) достигает в точке х0 максимума, если f '(x)>0 при x<x0 и f '(x)<0 при х>x0, т.е. производная данной функции меняет знак с плюса на минус при переходе аргумента через точку х0;

2) функция f(x) достигает в точке х0 минимума, если f '(x)<0 при x<x0 и f '(x)>0 при х>x0, т.е. производная данной функции меняет знак с минуса на плюс при переходе аргумента через точку х0.

Доказательство. Докажем пункт 1.

Возьмем произвольную точку х из окрестности точки х0, т.е. х0- <x<x0+ и покажем что f(x)<f(x0).

Так как f(x) дифференцируема, то для отрезка [x, x0] или [x0, x] применим теорему Лагранжа: f(x0)-f(x)=f '( )(x0-x). Тогда получим:

1) при x0>x, т.к. f '( )>0 имеем f(x0)>f(x);

2) при x0<x, т.к. f '( )<0 имеем f(x0)>f(x).

Что означает, что точка х0 является точкой максимума для у=f(x). Доказательство пункта 2 аналогично предыдущему.

Замечание. Если производная f '(x) функции у=f(x) при переходе аргумента через стационарную точку х0 не меняет знака, то в точке х0 экстремум отсутствует.

Например.

1) у=(х+2)2-1. Тогда y =2(x+2) и стационарная точка х0=-2. При x<-2 f '(x)<0, а при x>-2 f '(x)>0, т.е. производная f '(x) меняет знак с минуса на плюс, а следовательно функция у=(х+2)2-1 имеет в точке х0=-2 экстремум - минимум.

2) у=3х3+8. Так как у =9х2 0, то функция экстремумов не имеет.

Теорема. Пусть функция у=f(x) имеет в стационарной точке х0 конечную вторую производную. Тогда функция f(x) имеет в точке х=х0:

1) локальный максимум, если f ''(x0)<0;

2) локальный минимум, если f ''(x0)>0

3) требуется дальнейшее исследование, если f ''(x0)=0.

Доказательство. Пункт 1. Так как f ''(x0)<0, то функция f '(x) в окрестности стационарной точки х0 убывает, а следовательно меняет в ней знак с плюса на минус . Последнее означает, что точка х0 для функции у=f(x) является точкой максимума.

Пункт 2 доказывается аналогично пункту 1.

Пункт 3. Если же f ''(x0)=0, то в окрестности точки х0 функция f '(x) может как менять знак так и не менять, откуда заключаем, что в стационарной точке х0 f(x) может как иметь экстремум так и не иметь его.

Имеет место более общая теорема.

Теорема. Если функция у=f(x) дифференцируема n раз и в некоторой окрестности точки х=х0 и

выполнено: f '(x0)=f ''(x0)=...=f(n-1)(x0)=0, f(n)(x0) 0. Тогда:

1) если n -нечетное, то функция у=f(x) в точке х0 экстремума не имеет;

2) если n - четное и f(n)(x0)>0, то в точке х0 функция у=f(x) имеет минимум; 3) Если n - четное и f(n)(x0)<0, то в точке х0 функция у=f(x) имеет максимум.

Экстремум не дифференцируемой функции.

Теорема. Пусть непрерывная функция у=f(x) дифференцируема в окрестности точки х=х0 , кроме точки х0. Тогда функция f(x) достигает:

а) минимума , если f '(x) меняет знак с минуса на плюс при переходе х через х0;

б) максимума, если f '(x) меняет знак с плюса на минус при переходе х через точку х0.

в) если же знак f '(x) при переходе х через х0 не меняется, то в точке х0 экстремум отсутствует. Эта теорема является следствием предыдущих.

Например. 1) у=|x+1|; х0=-1; 2) y= 3х2 ; х0=0; 3) y=|sin x|; х0=k , k Z.

2. Выпуклость и вогнутость функции.

Предположим, что функция у=f(x) дифференцируема в любой точке интервала (a, b), геометрически это значит, что в любой точке графика функции существует касательная.

Определение. Будем говорить, что функция у=f(x) непрерывная на интервале (a, b) выпукла вниз (вогнута), если f(х2)-f(х1)>f '(х1)(х2-х1) для любых точек х1, х2 (a, b).

Определение. Будем говорить, что функция у=f(x) непрерывная на интервале (a, b) выпукла вверх

(выпукла) если f(х2)-f(х1)<f '(х1)(х2-х1) для любых точек х1, х2 (a, b). Определить выпуклость - вогнутость функции возможно по другому:

Функция f(x) непрерывная на [a, b] называется выпуклой вверх (вниз), если

f(q1x1+q2x2) q1f(x1)+q2f(x2), где q1,q2 [0; 1], q1+q2=1, x1,x2 [a, b]. (f(q1x1+q2x2) q1f(x1)+q2f(x2), где q1,q2 [0; 1], q1+q2=1, x1,x2 [a, b].)

Замечания.

1. Из первых двух определений следует, что любая касательная к графику функции f(x) на промежутке (a, b) лежит ниже ее графика, если f(x) выпукла вниз и лежит выше ее графика, если f(x) выпукла вверх.

2. Произведение выпуклой функции на положительную постоянную есть выпуклая функция. 3. Сумма двух выпуклых функций есть выпуклая функция.

4. Если f(x) выпукла, то - f(x) вогнута.

Теорема. Если функция у=f(x) выпукла вниз на (a, b) , то на этом промежутке f '(x) возрастающая функция.

Доказательство. Так как график функции выпукл вниз, то

f(x2)-f(x1)>f '(x1)(x2-x1) и f(x1)-f(x2)>f '(x2)(x1-x2)

Складывая эти неравенства, получим:

f '(x2)(x2-x1)>f '(x1)(x2-x1) или f '(x2)>f '(x1) для х2>х1.

Что и доказывает теорему.

Теорема. Если функция у=f(x) выпукла вверх на (a, b), то на этом промежутке f '(x) убывающая функция. Доказательство. аналогично предыдущему.

Теорема (обратная). Если производная функции f '(x) возрастающая (убывающая) функция на (a, b), то сама функция f(x) выпукла вниз (вверх).

Доказательство.( для случая возрастающей f '(x))

Оценим разность: f(x2)-f(x1)-f '(x1)(x2-x1)=f '( )(x2-x1)-f '(x1)(x2-x1)=

=(f '( )-f '(х1))(х2-x1), тогда при х2>х1, >x1 и так как f '(x) возрастает, получим f '( )>f '(x1), т.е. f '( )-f '(x1)>0.

Окончательно имеем:

f(x2)-f(x1)>f '(x1)(x2-x1) , что означает выпуклость вниз функции у=f(x). Таким образом справедливы две теоремы.

Теорема 1. Для того чтобы функция у=f(x) была выпукла вниз (вверх) необходимо и достаточно , чтобы функция f '(x) возрастала (убывала).

Теорема 2. Если на интервале (a, b) вторая производная функции у=f(x) неотрицательная, т.е f ''(x)0 (неположительная, т.е. f ''(x) 0) и нули ее не заполняют целого промежутка, то функция у=f(x) выпукла вниз (выпукла вверх).

Теорема. Если функция у=f(x) имеет непрерывную и положительную (отрицательную) вторую производную в точке х0, то существует некоторая окрестность этой точки х0, в которой функция у=f(x) выпукла вниз (выпукла вверх).

Доказательство. Так как f ''(x) - непрерывна и f ''(х0)>0, то существует окрестность точки х0, в которой f ''(х)>0. Значит первая производная монотонно возрастает, а у=f(x) выпукла вниз в указанной окрестности.

3. Точки перегиба.

Пусть задана функция у=f(x) непрерывная и дифференцируемая на промежутке x (a, b). Определение. Точка (х0, f(х0)) графика функции у=f(x) называется точкой перегиба этого графика, если она отделяет участки выпуклости от участков вогнутости данной функции.

Из определения следует, что график функции переходит с одной стороны касательной, проведенной в точке (х0, f(х0)), на другую при переходе аргумента х через точку х0 (так как меняется характер выпуклости).

Необходимое условие перегиба.

Теорема. Если функция у=f(x) имеет в точке х0 вторую производную и график этой функции имеет перегиб в точке (х0, f(х0)), то f ''(х0)=0.

Доказательство. Пусть в точке (х0, f(х0)) график функции у=f(x) имеет перегиб, т.е. при переходе х через х0 выпуклость меняется (например с выпуклости вверх на выпуклость вниз).

Рассматриваем далее некоторую окрестность точки х0. Тогда левее точки х0 f '(x) -убывающая функция, а правее точки х0 f '(x) - возрастающая функция. Значит в точке х= х0 функция f '(x) достигает минимума и (f '(x))'=0

при х= х0, т.е. f ''(х0)=0

Достаточное условие перегиба.

Теорема. Если функция у=f(x) имеет вторую производную в некоторой точке х= х0 и ее окрестности, причем f ''(x0)=0. Тогда функция у=f(x) имеет перегиб в точке (х0, f(х0)), если при переходе через точку х0 вторая производная меняет знак.

4. Асимптоты графика функции.

Определение. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если хотя бы один

Например функция y=tg x имеет вертикальные асимптоты x= /2+k , k Z.

Определение. Прямая у=kx+b называется наклонной асимптотой функции у=f(x) , если для любого х из

Доказательство.

Необходимость. Пусть пряма y=kx+b является асимптотой графика функции у=f(x), тогда f(x)=kx+b+ (x),

причем lim (х)=0. После деления обеих частей этого равенства на х и перехода к пределу при х имеем

x

что f(x)-kx-b= (x), где (х) бесконечно малая функция при х . Следовательно f(x)=kx+b+ (x) и(х)=0. Последнее означает, что прямая y=kx+b является асимптотой графика функции у=f(x).

5. Построение графика функции.

Приведем некоторый алгоритм построения графика функции.

1. Найти область определения функции и исследовать поведение функции на границе области определения. 2. Выяснить четность - нечетность и периодичность функции.

3. Найти точки разрыва функции и промежутки непрерывности.

4. Определить нули функции и промежутки постоянства знака.

5. Найти уравнения асимптот, если они существуют.

6. Определить точки экстремума и промежутки монотонности.

7. Найти точки перегиба, если они существуют, и промежутки выпуклости и вогнутости функции. 8. Отметить какие-либо другие особенности функции.

9. Построить график функции.