ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев

Таким образом из принципа математической индукции следует, что исходное тождество справедливо.

Пример 3. Доказать тождество 1+2+3+...+n2=1 n2n2, n N.

2

Доказательство.

Заметим, что левая часть при n = 1 имеет одно слагаемое, при n=2 - четыре, при n = 3 - девять и т.д., т.е. n2 слагаемых левой части.

Итак, при n = 1 имеем: 1 =1 1 1 - истинно.

2

Пусть это равенство имеет место при n = k, т.е.

Здесь мы воспользовались формулой суммы арифметической прогрессии

(k2+1)+(k2+2)+...+(k+1)2= (k2 1) (k 1)2 (2k+1).

2

Продолжая равенство, получаем

Что и требовалось доказать.

Значит, из принципа математической индукции следует истинность указанного равенства.

Б. Задачи на делимость.

Пример 1. Доказать делимость 3 52n+1+23n+1 на 17 при n 0. Схема доказательства.

1.При n = 0: 15+2=17 - делится на 17.

2.Пусть при n=k имеет место

352k+1+23k+1= 17p.

3.Докажем при n=k+1: 3 52(k+1)+1+23(k+1)+1=17q.

Действительно,

3 52(k+1)+1+23(k+1)+1=25 3 52k+1+8 23k+1=17 3 52k+1+8(3 23k+1)= =17 3 52k+1+8 17p=17(3 52k+1+8p)=17q, при q=3 52k+1+8p.

Пример 2. Доказать делимость n3+20n на 48, если n четно и n2. Доказательство.

1.При n = 2: 8+202 = 48 - делится на 48.

2.Пусть n = 2k 2 и (2k)3+ 20(2k)= 48p.

Докажем наше утверждение для следующего значения n, т.е. n=2k+2.

(2k+2)3+20(2k+2)=(2k)3+20(2k)+48+6(2k)2+24k= =48p+48+24(k2+k)=48p+48+24(k+1)k=48p+48+24 2l=

а т.к. (k+1)k=2l , имеем продолжение равенства

=48(p+1+l)=48q.

Таким образом, выполнены все условия принципа математической индукции, а следовательно, утверждение справедливо для всех четных n, больших 2.

Пример 3. Доказать делимость n5-n на 30 при n0.

Доказательство этого утверждения можно легко провести методом математической индукции, но мы

приведем другое доказательство. Очевидно: n5-n=n(n4-1)=(n-1)n(n+1)(n2+1). Заметим, что (n-1)n(n+1) есть произведение трех последовательных натуральных чисел при n 1, т.е. произведение

(n-1)n(n+1) делится на 6. Остается доказать делимость на 5 выражения

(n-1)n(n+1)(n2+1).

Представим значения n по модулю 5, т.е. число n можно записать только в пяти видах: n=5k; n=5k+1; n=5k+2; n=5k+3; n=5k+4.

При n=5k на 5 делится n; при n=5k+1 на 5 делится n-1; при n=5k+4 на 5 делится n+1.

Предлагается самостоятельно проверить делимость заданного выражения на 5 при n=5k+2 и n=5k+3, а

именно, делимость множителя n2+1.

Замечание, о решении задач на делимость с остатком.

Задачи типа "Доказать делимость f(n) на 11 с остатком 3" решаются аналогично вышеуказанным в такой

Доказательство. Применим метод математической индукции.

Преобразуем левую часть последнего неравенства

Имеем k(k 1) +1>k+1 или k(k 1) >k, что эквивалентно k(k+1)>k2. Последнее неравенство является

истинным при всех k, то есть оба пункта принципа математической индукции имеют место, а посему справедливо исходное неравенство.

Пример 2. Доказать неравенство

3 5 3 5 ... 35 2

n корней

Доказательство.

При n = 1 : 35 <2 истинно, т.к. 5<8.

Замечаем, что при n 4 можно предположить об истинности неравенства. Проведем доказательство методом математической индукции.

Если n=4, то 24>16-1 (верно).

Предположим, что при n=k 4 имеет место неравенство 2k>k2-1 и покажем истинность 2k+1>(k+1)2-1 или

2k+1>k2+2k. Действительно,

2k+1=2k2>2(k2-1)=2k2-2=k2+2k+k2-2k+1-3=k2+2k+(k-1)2-3>k2+2k, так как (k-1)2-3>0 при k 4.

Таким образом из доказательства и принципа математической индукции получаем, что неравенство 2n>n2- 1 справедливо при всех n 4, n N.

Доказательство.

Заметим, что левая часть имеет 2n-1 слагаемых, т.е. при n=1 - одно слагаемое, при n=2 - три слагаемых, при n=3 - семь и т.д.

1

Для этого оценим левую часть неравенства:

А. Арифметическая прогрессия.

Определение. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d, называемым разностью, называется арифметической прогрессией, т.е. ak+1=ak+d, k N.

Если d>0, то прогрессия возрастающая, если d<0, то прогрессия убывающая. Формула общего члена арифметической прогрессии:

ak=a1+(k-1)d.

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Эти формулы можно доказать методом математической индукции.

в. ak+an-k+1=а1+an=c, где с - постоянная.

Б. Геометрическая прогрессия.

Определение. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q, отличное от нуля, и называемое знаменателем геометрической прогрессии, т.е. uk=uk-1q, k N, k 2.

Если u1>0 и q>1, то прогрессия монотонно возрастающая, а при u1>0 и 0<q<1 прогрессия монотонно убывающая.

Формула суммы всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии, т.е. 0< q <1:

Эти формулы могут быть доказаны методом математической индукции. Основные свойства:

в. un-(k-1)uk=u1un.

Примеры.

1. Доказать, что любой член прогрессии 1, 3, 9,..., 3n-1 на единицу больше удвоенной суммы предшествующих членов.

Доказательство.

ak-1=2(a1+a2+...+ak-1), 3k-1-1=2(1+3+...+3k-2)=2 (3k 1 1) =3k-1-1.

3 1

Некоторые примеры.

1.Доказать делимость при всех натуральных значениях n: a. n2(n4-1) на 60;

б. n2(n2-1)(2n2+1) на 36;

в. n3+5n+2 на 6 с остатком 2.

2.Доказать, что при a>-1 справедливо неравенство (1+а)n 1+na при n N.

3.Пользуясь тем, что ln(1+x)<x, доказать неравенство

4.Доказать, что после любого числа рукопожатий число людей, сделавших нечетное число рукопожатий, четно.

5.Доказать, что каждое четное натуральное число n, большее двух, но меньшее 40, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

6. Докажите, что при любом n N имеет место неравенство (1+ n1 )n 2.

7. Докажите формулу общего члена арифметической прогрессии: an=a1+(n-1)d.

8. Докажите формулу общего члена геометрической прогрессии: bn=b1qn-1.

9. Докажите формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии:

a1 a n

Sn= 2 n.

10. Докажите формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:

b1(q n 1)

Sn= q 1 .

11.Найти арифметическую прогрессию, сумма n первых членов которой выражается формулой Sn=5n2+6n.

12.Доказать: 12 22 n2 16 n(n 1)(2n 1) .

13.Доказать: 13 23 n3 (1 2 n)2 .

Лекция 4. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И БИНОМ НЬЮТОНА.

1. Перестановки Далее всюду будем полагать, что нам задано конечное множество некоторых элементов. Элементами

этого множества могут быть: люди, предметы, книги, молекулы и т.д.

Определение. Некоторая группа элементов заданного конечного множества называется соединением элементов данного множества.

Определение. Соединения из n элементов называются перестановками, если они содержат n элементов и отличаются друг от друга только их порядком.

Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn или n!. Пример. Перестановки из трех элементов 1, 2, 3 имеют вид:

(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1).

Теорема. Число перестановок из n элементов равно n(n-1)(n-2)...3·2·1 ,т.е. Pn n!=n(n-1)(n-2)...3·2·1 .

Доказательство.

Пусть задано конечное множество из n элементов. Требуется выяснить: сколько будет упорядоченных соединений из данного множества , каждое из которых содержит n элементов ?

Очевидно, первый элемент соединения можно выбрать n способами, т.к. элементов множества всего n. Второй элемент можно выбрать уже (n - 1) способами, т.к. их осталось (n - 1) после выбора первого элемента. Процесс выбора продолжаем дальше.

Последний n-й элемент можно выбрать лишь одним способом, т.к. он остался один.

Таким образом, из множества, содержащего n элементов, можно составить n(n - 1)(n - 2). . .3·2·1 упорядоченных соединений из n элементов, т.е. перестановок.

Следовательно, Pn=n(n-1)(n-2)...3·2·1 .

Пример. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1; 2; 3; 4; 0?

Решение. Р5-Р4=120-24=96

Так как цифра 0 не может стоять на первом месте в десятичной записи числа.

2. Размещения

Определение. Соединения, в каждое из которых входит m элементов, взятых из n элементов и отличающихся друг от друга либо порядком элементов, либо хотя бы одним элементом, называются размещениями из n элементов по m элементов.

m

Теорема. Число размещений из n элементов по m элементов (обозначается символом A n ) равно n(n- 1)(n-2)...(n-(m-1)),

m

т.е. A n =n(n-1)( )(n-m+1)

Доказательство. Чтобы выбрать m элементов из n элементов, реализуем следующую возможность: первый элемент выбирается n способами,

второй - (n-1) способами и т.д. Последний m-й можно выбрать n-(m-1) способами. Следовательно, всего размещений из n элементов по m элементов будет n(n-1)...(n-(m-1)), т.е.

m

A n =n(n-1)(n-2)...(n-(m-1)).

Пример. Сколько можно составить четырехзначных чисел из цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7, причем делящихся на 25 ? Повторения цифр в числах нет.

2

Решение. Четырехзначных чисел, оканчивающихся на 25 будет: A 4 =12.

2

Четырехзначных чисел, оканчивающихся на 75 будет: A 4 =12. Окончательно имеем: 24 числа.

3. Сочетания

Определение. Соединения из n элементов по m элементов называются сочетаниями, если в каждом из них m элементов, взятых из n элементов и отличающихся друг от друга хотя бы одним элементом.

Замечание. Соединения abc и acb считаются одним сочетанием.

Доказательство.

Возьмем все соединения из n элементов по m элементов, т.е. все размещения из n элементов по m элементов. Их будет

m

A n =n(n-1)(n-2)...(n-(m-1)).

Из этих соединений «убираем» все те, которые состоят из одних и тех же элементов и различаются только порядком элементов.

Формула Ньютона может быть записана в виде

(x+a)n= n k n k k .

Cn x a

k 0

Имеет место формула l-го члена разложения бинома Ньютона:

T1= C ln-1 xn-l+1al-1.

Следствие 1. Полагая x=a=1, получим: сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2n . Следствие 2. Полагая x=1, a=-1, получим: сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных

местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, т.е.

C0n C2n ... C2nl C1n C3n ... C2nl-1.

5.Некоторые примеры

1.Написать разложение: 4х 1 3х 1 5

2.Сколько чисел можно составить из цифр 2, 3, 4, если известно, что числа трехзначные? Найти сумму этих чисел.

3.Сколько существует различных семизначных телефонных номеров ?

4.Сколько существует различных телефонных номеров, если считать, что каждый номер содержит не более семи цифр ? Телефонный номер может начинаться с нуля.

5.Сколько существует различных семизначных телефонных номеров, если в каждом номере нет повторения цифр?

6.В некотором государстве нет двух жителей с одинаковым набором зубов. Какова может быть наибольшая численность населения государства, если число зубов считать равным 32 ?

Лекция 5. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРЕДЕЛОВ.

1. Бесконечная последовательность.

Определение . Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве N натуральных чисел.

Задание бесконечной числовой последовательности эквивалентно заданию отображения множества N в множество R, т.е. каждому числу n N ставится в соответствие число xn=f(n) из R, называемое n-ым или общим

членом последовательности; числа х1, х2, ..., хn, ... называются членами бесконечной числовой последовательности которую обозначают символом {xn}. Говорят, что последовательность {хn} задана формулой общего члена последовательности если задана формула xn=f(n) для n N. Для краткости словосочетание

«бесконечная числовая последовательность» иногда заменяют на «последовательность» Последовательность {xn} может быть также задана в виде :

1. Набора чисел х1, х2, ..., хn, ... , причем из этого задания виден закон построения члена последовательности с любым номером.

2. Рекуррентной формулы xn+p=F(xn, xn+1, ...,xn+p-1), p N, при известных

д. Последовательность чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... задается рекуррентной формулой Zn+2=Zn+Zn+1,

Z1=Z2=1

Замечание. Бесконечные прогрессии (арифметическая и геометрическая являются числовыми последовательностями.