ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Далее составим частное

. При переходе к пределу при у0 (очевидно х0), получим

Далее составим частное

. При переходе к пределу при у0 (очевидно х0), получим

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

4.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2611 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

11. y=ctg x,	y'=	1		.

		sin2 x

y=ctg(x+ x)-ctg x=				sin x
						;
			sin xsin(x x)
y'= lim	у =	lim			sin x		=

х 0	х	х 0			х sin xsin x(x x)

В дальнейшем будут доказаны формулы:

sin2 x

12. (arcsin x)'=	1			;


		1 х2
13. (arccos x)'=-	1				;


			1 х2

14.	(arctg x)'=			1	;

			1 х2
15.	(arcctg x)'= -			1		;

				1 х2
16.	(sh x)'=ch x;
17.	(ch x)'=sh x,
здесь sh x=		ех е х				, ch x=	ех е х
здесь sh x=				2		, ch x=	2
				2			2

Замечание. Все производные существуют на соответствующих множествах.

5. Дифференцируемость функции.

Определение. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке х, если приращение у функции f(x) в точке х, отвечающее приращению аргумента х, может быть представлено в виде у=А х+ ( х) х, где А - постоянное число (для точки х), не зависящее от х; ( х) - бесконечно малая функция х, т.е.

lim ( х)=0.

х 0

Иначе говоря, приращение у имеет вид у=А х+о( х). Далее покажем дифференцируемость некоторых функций.

1. у=х2+2. у=(х+ х)2+2-х2-2=2х х+ х2. А=2х; ( х)= х.

2. у=ln x. y=ln(x+ x)-ln x=ln(1+ x/x)= x/x+о( x) 3. у=sin x. y=sin(x+ x)-sin x=2sin( x/2)cos( x/2+x)= =2( x/2+о( x))[cos x+(cos(x+ x/2)-cos x)]=

=[ x+2 о( x)]cos x-[ x+2o( x)]sin(x+ x/4)sin x/2=

=[ x+2 о( x)]cos x-[ x+2 о( x)][ x/2+о( x)]sin(x+ x/4)= =cos x x+2cos x о( x)-( x)2 (f( x, x))=cos x x+о( x).

Теорема. Для того чтобы функция f(x) была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно чтобы f(x) имела в этой точке производную.

Доказательство.
1. Необходимость. Пусть y=f(x) в т. х дифференцируема, тогда у=А х+о(х). Разделим								у на х и
вычислим предел частного	у	при х0 :	lim	у	= lim (А+	о( х)	)=А.

	х			х		х
	х		х 0	х	х 0	х

С другой стороны lim =f '(x). Значит f '(x) существует и равна А.

х 0 х

2. Достаточность. Пусть функция y=f(x) имеет производную, т.е.			lim	у =у'(x), тогда разность функции
		х 0 х
у				у
х	и предела y'(x) есть величина бесконечно малая при х0, т.е.			х -y'(x)= (х); (х) 0 при х0,
у=y'(x) x+ ( x) x. Пусть y'(x)=A для точки х, тогда у=А х+ (х)х.
Теорема доказана.
	Теорема. Дифференцируемая в точке х функция y=f(x) непрерывна в этой точке.
	Доказательство. Так как у=А х+о(х)	- условие дифференцируемости, то при х0			получаем у0.
Последнее означает непрерывность функции f(x)		в точке х.
	Замечание. Дифференцируемая в точке х=х0 функция у=f(x) имеет в точке (х0; f(x0))				касательную
прямую.

6. Односторонние производные.

Определение. Правой (левой) производной функции y=f(x) в данной точке х называется правый (левый)

пределы lim	f	f (x 0) (f '(x-0)).
пределы lim	x	f (x 0) (f '(x-0)).
x 0	x
( x 0)

Здесь f '(x-0) - производная слева,

f '(x+0) - производная справа.

Тогда tg =f '(x-0), tg =f '(x+0),

lл и lп - правая и левая касательные к кривой в точке (х, f(x)).

Замечание. Необходимым и достаточным условием существования производной функции f(x) в точке х является равенство односторонних производных, т.е. f '(x-0)=f '(x+0). В этом случае левая и правая касательные совпадают.

Замечание. В случае если f '(x+0) f '(x-0) то говорят, что функция в точке х не дифференцируема.

Пример. Функция у=|x| не является дифференцируемой в точке х=0.

7. Правила дифференцирования.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, то есть (c u(x))'=c u'(x), если u'(x) существует. Доказательство. Так как приращение функции сu(x) имеет вид у=сu, то

у	u	и после перехода к пределу при х0, получим y'(x)=c u'(x).
х =c	х	и после перехода к пределу при х0, получим y'(x)=c u'(x).

2. Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных

слагаемых, т.е. (u(x) v(x))'=u'(x) v'(x).

у u v

Доказательство. Для суммы u(x)+v(x) имеем у= u+ v, тогда х = х + х

и после перехода к пределу при х0, получим (u+v)'=u'+v'. Аналогично доказывается утверждение для разности функций.

3. Производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой функции на производную другой,

то есть (u(x) v(x))'=u'(x) v(x)+u(x) v'(x), если u'(x) и v'(x) существуют.

Доказательство. Приращение функции y=u(x)v(x) равно

у v u v

у=u(x+ x)v(x+ x)-u(x)v(x)=u v+v u+ u v, откуда х =u х +v х + u х и после перехода к пределу при х0 получим (u(x)v(x))'=u'(x) v(x)+u(x) v'(x).

u(x)

u'(x)v(x) u(x)v'(x)

Производная

находится по формуле

, если u'(x) и v'(x)

v(x)

v2 (x)

существуют и v(x) 0.

u(x)

у=

v u u v

Доказательство. Приращение функции y(x)=

равно

v(x)

v(v v)

Тогда после деления последнего равенства на х и перехода в нем к пределу

u(x)

u'(x)v(x) u(x)v'(x)

при х0, получим

v2 (x)

v(x)

8. Некоторые примеры.

1. y= х5 .

y'= x52 =5/2 x5/2-1=5/2 x3/2.

2. y=2x-log2x.

y'=(2x)'-(log2x)'=2xln2-	1		.

	x ln 2
	x ln 2
3. y=ctg x ln x
y'=(ctg x)'ln x+ctg x (ln x)'=			1	ln x+ctg x	1	.

		sin2 x			х

Лекция 13 ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ, НЕЯВНОЙ И СЛОЖНОЙ ФУНКЦИЙ. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.

1. Производная обратной функции.

Напомним условия существования обратной функции.

Теорема. Если функция f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [a, b] , то существует однозначная, строго монотонная и непрерывная функция x= (y) обратная функции у=f(x) на промежутке

[f(a), f(b)].

Замечание. Чтобы по данной функции у=f(x) построить обратную функцию, надо разрешить уравнение y=f(х) относительно х (если это удается), т.е. выразить х через у : х= (у).

Например.	y=cos x	и	x=arccos y;
	y=ax	и	x=log у.
			a

Теорема. Пусть на отрезке [a, b] задана строго монотонная, непрерывная функция y=f(x), тогда, если в точке х* функция y=f(x) имеет конечную производную f'(x*)0, то производная обратной функции х= (у) в точке у* (у*=f(x*)) существует и находится из равенства

(y*)= f '(x*) .

Доказательство. Дадим приращение у переменной у в точке у*, тогда обратная функция х= (у) получит соответствующее приращение х= (у*). Заметим, что приращения х и у отличны от нуля, так как функции (у) и f(x) строго монотонны.

x (y*)=	lim	х	1				1	. Следовательно (y)\|		1
			=			=			=		.
		у	=		y	=			=		.
y	y 0	у		lim	y		,	y=y*		f '(х*)
				lim	x		ух (х*)
				x 0	x

Замечание. Между производными прямой и обратной функций существует важная зависимость , определенная предыдущей формулой.

2. Геометрический смысл производной обратной функции.

Так как tg =f '(x*),
x '=	1	1	1	=
x '=				=
y	,	tg	tg( / 2 )
	,	tg	tg( / 2 )
	уx

= 1 tg ctg

В силу этого имеем : производная '(y) обратной функции х= (у) в точке у*=f(x*) численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой у=f(x) в точке (x*, f(x*)), который она составляет с положительным направлением оси Оу.

3. Производная обратных тригонометрических функций.

1. (arcsin x)'=	1	, х (-1, +1)


	1 х2

Доказательство. Если у=arcsin x, то обратная функция x=sin y. Причем у (- /2; /2), а тогда cos y>0. В силу предыдущей теоремы имеем.

(arcsin x)'

sin' y

cosy

1 sin2 y

1 x2

2. (arccos x)'= -

, х (-1,

+1).

1 х2

Доказательство. у=arccos x; x=cos y, y (0, ) , sin y>0. Тогда

(arccosx)'

cos' y

sin y

1 cos2 y

1 x2

3. (arctg x)'=			1			.

	1 х2
Доказательство. y=arctg x; x=tg y. Поэтому имеем
(arctgx)'			1		cos2 y				1			1			1

															x2
		tg' y							sec2 y 1 tg2 y					1	x2
4. (arcсtg x)'=					1			.

				1 х2
Доказательство. y=arcсtg x; x=сtg y. Поэтому имеем
(arcсtgx)'			1				sin2 y				1			1

										cosec2y
			ctg' y							cosec2y		1	ctg2 y

1 x2 .

4. Производная сложной функции.

Теорема. Пусть нам задана сложная функция y=f( (x)), причем

1. Функция u= (x) имеет в точке х* производную u'= '(x*);

2. функция y=f(u) имеет в точке u*= (x*) производную y'=f'(u*),

тогда сложная функция y=f( (x)) в точке х* также имеет производную, которая выражается формулой

[f( (x))]'=f '( (x*)) x'(x*), или [f( (x))]x'=f ' x'.

Доказательство. Найдем приращение f в точке х*, которое соответствует приращению аргумента х:

Т.к. = х' x+ ( x) x, и f=f ' + ( ), то f=f ' ( x' x+ x ( x))+ ( ) .

И lim	f	= lim (f ' x'+f ' ( x)+ ( )		)=f ' x'.
			х
	x
х 0		х 0

Окончательно имеем fx'( (x))=f ' x'.

Некоторые примеры:

1. [sin(x2 x)]' cos(x2 x) (x2 x)' cos(x2 x) (2x

(arcsin a x )'

(a x )'

a x ln a .

1 a2x

(ln(tg

))'

tg(1 / x) cos2

tg(1 / x)

(1 / x) x

tg(1 / x)

2 1x ) .

		1	1

	2			2
cos		(1 / x)	x

5. Бесконечные производные.
Следует отметить, что возможны такие случаи, когда lim	у	- или + .
х 0	x

В этом случае будем говорить, что функция у=f(x) в некоторой точке х0 имеет бесконечную производную, что интерпретируется геометрически следующим образом.

6. Производная функции заданной параметрически.

x (t)

Если функция у=f(x) задана параметрически, т.е. , t [ , ] (здесь функции (t) и (t)

y (t)

полагаем дифференцируемыми), то ее производную вычисляем по определению производной: ух'= lim								у
							х 0	x
(если он существует).
Т.к. у='(t) t+ ( t) t
			~
	x= '(t) t+ ( t) t
lim	у		lim	'(t) t ( t) t	'(t)		'(t)
lim	x	=	lim	~	'(t)	Итак ух'=	.при х=(t).
х 0	x		t 0	'(t) t ( t) t	'(t)		'(t)
t 0

7. Производная неявной функции.

Пусть значения двух переменных х и у связаны между собой уравнением вида F(x, y)=0.

Пример: у+ х =0 , x2+ln y=0.

Определение. Если функция y=f(x), определенная на некотором интервале (a, b) такова, что уравнение F(x, y)=0 при подстановке в него y=f(x) обращается в тождество относительно х, то функция у=f(x) называется неявно заданной уравнением F(x, y)=0.

Частные производные функции z=F(x, y).
Определение. Если существует предел	lim		F(x x, у) F(x, y)		, то он называется частной
				x
	х 0
производной по переменному х функции z=F(x, y) в точке (х, у)				и обозначается символами zx'		или Fx'(x, y).
Определение. Если существует предел	lim	F(x, у у) F(x, y)			, то он называется частной

				у
	у 0
производной по переменному у функции z=F(x, y) в точке (х, у)				и обозначается символами zy'		или Fy'(x, y).

Полное приращение F(x, y)

Пусть имеем функцию двух переменных z=F(x, y), где у=f(x) дифференцируемая функция; т.е. F(x, y) является функцией переменного х как сложная функция z=F(x, f(x)). Если переменная х получает приращениех, то переменная у=f(x) также принимает приращение у в силу непрерывности f(x). Откуда получим:

уF(x, y)

F(x)=F(x+ x, y+ y)-F(x, y)=F(x+ x, y+ y)-F(x, y+ y)+F(x, y+ y)-F(x, y)= =xF(x, y+ y)+yF(x, y). тогда после деления равенства на х и перехода к пределу при х 0 получим:

lim F

х 0 x

lim

х 0 ( у 0)

= lim	x F(x, y y)		+	lim
		x
х 0				х 0
— F(x, y)		у
у		x =Fx'(x, y)+Fy'(x, y)y'(x)

= lim	x F(x, y y)	+
	x
х 0

Итак: для того чтобы вычислить производную функции у=f(x), заданной неявно уравнением F(x, y)=0, нужно приравнять нулю производную левой части как производную сложной функции, считая у функцией х, т.е.

	F
у=f(x). При этом получим равенство Fx'+Fy' yx'=0 или yx'=	x	. Fy' 0.
у=f(x). При этом получим равенство Fx'+Fy' yx'=0 или yx'=	F	. Fy' 0.
	F
	y

Здесь Fx' и Fy' - частные производные F(x, y) по переменным х и у соответственно. Например.

1. х2+у2-а2=0.	2х+2y y'=0, yx'=-x/y; y 0.
2. sin x+yx=0.	cos x+y+y' x=0,	1			1		sin x	). x 0.
		yx'=		(-y-cos x)=		(-cos x+
			х		х		x

8. Логарифмическая производная.

Для вычисления некоторых производных, например производной степенно показательной функции, имеет смысл для упрощения вычислений сначала вычислить логарифм, а затем уже находить производную левой части как производную сложной функции. Этот метод получил название вычисление «логарифмической производной».

Итак, пусть нам задана функция y=f(x)>0. Тогда после вычисления логарифма обеих частей имеем ln y=ln f(x) (возможно, что производную этого выражения легче вычислить).

Затем (ln y)'=(ln f(x))'

yx'=

f (x) ,

y'=

f '(x)

y(x)

f (x)

Замечание. «Логарифмическую производную» можно применять при вычислении функций вида

z=u(x)v(x)w(x)

или z=u(x)v(x).

То есть, если z=u(x)v(x)w(x), то ln z=ln u+ln v+ln w и

или

u v w.

			1	z' v'ln u v	1			v
Если же z=u(x)v(x), то ln z=v(x) ln u(x),						u' ,	z' v'ln u		u' z,
Если же z=u(x)v(x), то ln z=v(x) ln u(x),						u' ,	z' v'ln u		u' z,
			z		u			u
	v
z' v'ln u		u' uv.
z' v'ln u		u' uv.
	u

Например. 1. z=е2х sin x ax.

ln z=2x+ln sin x+x ln a, 2. z=(sin x)x2+x.

1	z' 2	1	cos x ln a , z' (2	cosx	ln a) е2х sin x ax.
	z' 2		cos x ln a , z' (2		ln a) е2х sin x ax.
z		sin x		sin x

ln z=(x2+x)ln sin x,	1	z' (2x 1) ln sin x (x2	x)	1	cosx ,

	z			sin x

	1) lnsin x	(x2 x) cosx	2
z'= (2x			(sin x)x +x.
z'= (2x		sin x	(sin x)x +x.
		sin x

9. Производные высших порядков.

На практике некоторые физические величины (ускорение, кривизна дуги) выражаются через первые производные от производной некоторой функции. Поэтому естественным образом в математике вводится понятие производных высших порядков.

Определение. Первая производная от (n-1)ой производной называется

n -ой производной некоторой функции ; при этом вводится обозначение y(n)=[y(n-1)]'.

Например. (f'(x))'=f''(x) - 2ая производная,
[fIV(x)]'=fV(x) - 5 ая производная.
Очевидны некоторые формулы производной nого порядка.
(x )(n)= ( -1)...( -n+1)x -n;	(xn)(n)=n!;
(xm)(n)=0, (m<n);	(ax)(n)=axlnna;
(ex)(n)=eх;	(sin x)(n)=sin(x+n / );
	2
(cos x)(n)=cos(x+n / );	(ln x)(n)=(1/x)(n-1)=(-1)n-1(n-1)! 1/		n.
2			x
Формула Лейбница (без доказательства)

(u v)(n) u(n) v C1nu(n 1) v' C2nu(n 2) v'' ... C1nu' v(n 1)		u v(n)

Формула Лейбница может быть доказана методом математической индукции.

Производные высших порядков функций, заданные параметрически и неявно.

x (t),

А. Пусть функция y=f(x) задана параметрически в виде

y (t).

'(t)

'' ' ' ''

: '(t)=

Тогда yx'= '(t) , yхх''=

( ')2

( ')3 .

Вычисление производных более высокого порядка производится аналогично.

Б. Если функция у=f(x)

задана неявно уравнением F(x, y)=0.

То мы получим

Fx'+Fy' yx'=0,

yx'=

0 , тогда

и Fxx 2Fxy yx Fyy (yx )

Fy y xx

Fxx 2Fyxyx Fyy (yx )

yxx

Производные более высокого порядка можно вычислить, если продолжить вычислять следующие производные по переменному х, считая левую часть сложной функцией.

Некоторые примеры.

1. Вычислить производную обратной функции х(у) для функции у=хх.

Решение. Обозначим х= (у), тогда '(y)=	1	. Из у=хх имеем ln y=x ln x,

	у
	х
(1/ )y'=ln x+1. Тогда yx'=y(x)(1+ln x)=xx(1+ln x) и '(y)=			1	=	1	.
(1/ )y'=ln x+1. Тогда yx'=y(x)(1+ln x)=xx(1+ln x) и '(y)=				=		.
y			у		y(1 ln (y))
			х

2. Найти производную обратной функции у(х) для функции х= earcsin y.

Решение. Так как ху'= earcsin y

, то ух'=

1 у2

. Выразим ух' через

earcsin y

1 у2

переменную х : т.к. earcsin y=x, arcsin y=ln x, y=sin ln x, то окончательно

1 / x

|cosln x|

имеем y

1 sin2 ln x

1 х2

3. у=arcsin

2х(1 х2 ) (1 х2 )2х

Решение: y'=

(1 х2 )2

х2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2611 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.20151.1 Mб126Лекции-История и методология языкознания.doc
#
03.05.2015366.08 Кб155Лекции-ст.doc
#
13.08.201973.73 Кб8Лекции.doc
#
09.11.20184.19 Mб47лекции.doc
#
27.03.2015223.47 Кб36Лекции.docx
#
27.03.20154.74 Mб73ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев.pdf
#
27.03.2015274.94 Кб7Лекции_по_ИЭ_2.doc
#
11.03.20162.17 Mб28Лекции_тервер.pdf
#
27.03.20153.81 Mб123ЛекцииМО.doc
#
27.03.2015473.6 Кб10Лекционный курс для подготовки (студентам).doc
#
27.03.2015222.15 Кб17Лекция 02 Кинематика криволинейного движения..pdf