ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев

Задача. Исследовать функции и построить их графики а. у= 3х 3х 1, б. у=х2е1/х.

a. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси и всюду отрицательна, так как 3х 3х 1 .

иобращается в нуль в точке х=-1/2, обращается в бесконечность при х-1

ипри х0.

Вторая производная

в нуль не обращается и бесконечна в точка х=-1 и х=0. Составим таблицу

Следовательно прямая х=0 является вертикальной асимптотой графика функции. Определим экстремумы функции. для этого находим первую производную y =2xe1/x-e1/x=2(x-1/2)e1/x.

Отсюда находим критические точки из условия f '(x)=0; такая точка одна х=1/2. Так как при х0 y =2e1/x- 2/x e1/x+1/x2 у1.ч=1/x2e1/x(2x2-2x+1)>0 функция выпукла всюду, а в точке х=1/2 имеет минимум у(1/2)=1/4 е2.

По результатам исследования строим график функции (рис. б.).

7. Некоторые примеры

Исследовать функции и построить графики.

1. у=x+1/x;

2. y=sin x+cos x;

3. y=x2+3x+4.

Лекция 18 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ.

§1. Комплексные числа.

1.Введение.

Вмножестве вещественных или действительных чисел достигается возможность выполнения операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня из положительного числа.

Тем не менее, в области вещественных чисел не все операции осуществимы. Так, например, в множестве R невозможно извлечение корня четной степени из отрицательного числа. Например, если уравнение x2+1=0 решать в области вещественных чисел, то оно не имеет ни одного решения. Такое положение может быть устранено введением нового типа чисел - комплексных чисел. При этом оказывается возможным не только приписать смысл корню квадратному из отрицательного числа, но и достичь положения, когда бы любое алгебраическое уравнение имело решение в области комплексных чисел.

2. Мнимая единица.

Для определения комплексных чисел введем символ i, который будем называть мнимой единицей. По определению будем считать, что этот символ удовлетворяет уравнению x2+1=0, то есть i2+1=0 или i2=-1. Очевидно также, что имеет место: i1=i; i2=-1; i3=-i; i4=1.

Теперь рассмотрим множество всех биномов вида a + ib, где a и b - произвольные вещественные числа, а i - мнимая единица.

Определение.

Если в множестве биномов a+ib введены операции равенства, сложения

иумножения по правилам:

1.Биномы a+ib и с+id считаются равными только тогда, когда а=с b=d.

2.Суммой двух биномов a+ib и с+id является бином (a+c)+i(b+d).

3.Произведением биномов a+ib и с+id является бином (ac-bd)+i(bc+ad),

то указанное множество биномов называется множеством комплексных чисел, обозначаемое K или C. Каждый бином a+ib множества К называется комплексным числом и обозначается буквой z. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z=a+ib и обозначается

символом Rez, а выражение ib называется мнимой частью этого числа z и обозначается символом iJmz; число b будем называть коэффициентом мнимой части числа z, т.е. b=Jmz.

Если Rez1=Rez2 и Jmz1=-Jmz2, то комплексные числа z1 и z2 называются комплексно сопряженными. Комплексно сопряженное к числу z комплексное число обозначается в виде z , т.е. если z=a+ib, то z =a-ib.

Если Rez1=0, то комплексное число z=ib называется числом мнимым, а при Jmz=0 число z=a является действительным. Следовательно, множество R является подмножеством K.

3. Свойства операций. Модуль

Пусть z1, z2, z3 - любые комплексные числа. Свойства суммы.

1.z1+ z2= z2+ z1

2.(z1+z2) + z3= z1+ (z2+ z3)

3.z1+ 0=z1 - существование нулевого элемента.

4. Для всякого z K существует единственный элемент z* K, называемый противоположным z, такой, что z+z*=

0.

Свойства произведения.

1.z1 z2= z2 z1

2.(z1 z2)z3=z1(z2 z3)

3.z1(z2+z3)=z1 z2+z1 z3

4.1 z1=z1 - существование единичного элемента.

5.Для любых z1и z2 из K, причем z2 0, существует частное z=z1/z2, принадлежащее множеству комплексных чисел.

Определение. Модулем |z| комплексного числа z=a+ib будем называть число a2 b2 из R, т.е.

|z|= a2 b2 .

Замечание. Модуль комплексного числа z равен нулю тогда и только тогда, когда z=0 , т.е. |z|=0 эквивалентно z=0 или a=0, b=0.

Нетрудно заметить, что:

1.|z1 z2|=|z1| |z2|

2.|z1/z2|=|z1|/|z2|

3.|z|n=|zn| при любых n N.

Замечание. Из определения модуля |z| следует, что |z|=| z |.

4. Геометрическая интерпретация

Каждому комплексному числу z=a+ib можно поставить в соответствие упорядоченную пару действительных чисел (a; b) , причем единственным образом. Очевидно и обратное: каждой упорядоченной паре вещественных чисел (a; b) можно единственным образом поставить в соответствие комплексное число z = a + ib.

То есть между множеством упорядоченных пар вещественных чисел и множеством комплексных чисел K можно установить взаимно однозначное соответствие.

В силу ранее установленного взаимно однозначного соответствия между точками координатной плоскости и множеством упорядоченных пар действительных чисел получим: возможно установить взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел и точками координатной плоскости.

Для этого на плоскости введем декартову систему координат следующим образом: по горизонтальной оси Ox будем откладывать значения действительной части комплексного числа, а по вертикальной оси Oy - коэффициент мнимой части комплексного числа.

Тогда каждому комплексному числу a + ib ставится в соответствие точка плоскости Oxy с координатами

Mx=a, My=b.

5. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Определение. Аргументом комплексного числа z=x+iy, z 0 называется угол между действительной осью OX и вектором OM (M(x, y)), отсчитываемый от положительного направления действительной оси.

Заметим, что величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если по часовой стрелке.

Аргумент числа. z = a + ib обозначается символом arg z , т.е. если является аргументом z, то это записывается так: = arg z.

Замечание. 1. Для числа z = 0 аргумент не определяется, т.е. аргумент этого числа можно брать произвольным.

2. Аргумент числа z имеет бесконечное множество значений arg z = +2 k, k Z.

Очевидно, справедливы следующие соотношения:

Пример. Найти argz = , если z=1-i.

Решение. Так как Rez=1, Imz = -1, то точка z лежит в IV четверти, т.е. 2 k+3/2 <argz<2(k + 1) .

2

Находим далее cos = 2 , =7 /4+2 k, k Z.

Необходимо отметить, что при определении аргумента комплексного числа сначала нужно определить четверть координатной плоскости, в которой находится заданное число, а затем уже определять аргумент по значению тригонометрических функций.

называется тригонометрической формой комплексного числа z.

Замечание. Два комплексных числа z1 и z2 равны между собой в том и только в том случае, если

|z1|=|z2|, argz1= argz2+ 2k .

Относительно комплексных чисел в тригонометрической форме справедливы утверждения: если 1=argz1 , 2= argz2 , тогда:

1.arg(z1 z2 )= argz1+ argz2 .

2.arg(z1 /z2 )= argz1 - argz2 .

3.zn=rn (cos n +i sin n ), |z|=r, = argz.

Последнее равенство называется формулой Муавра.

5. z=r (cos +i sin ), z =r (cos -i sin ).

Таким образом, формула Муавра позволяет достаточно просто определить операции возведения в степень и извлечения корня в множестве комплексных чисел.

§2. Замечания о многочленах.

1. Основные понятия.

Определение. Функция Pn(x)=A0xn+A1xn-1+...+An-1x+An, где n - натуральное число, Ai R (или Ai K),

x R (или x K) называется многочленом nой степени переменного х.

Определение. Число х0 (действительное или комплексное) называется корнем многочлена Pn(x), если

Pn(x0)=0.

Определение. Многочлен Pn(x) называется тождественно равным нулю, если в любой точке х значение многочлена равно нулю, т.е Pn(x) 0.

Определение. Два многочлена называются тождественно равными, если в любой точке х их значения совпадают, т.е. Pn(x)=Qn(x).

Теорема (Безу). При делении многочлена Pn(x) на двучлен (х-а) получается остаток равный Pn(а). Следствие. Если х0 корень многочлена Pn(x) (Pn(x0)=0), то многочлен Pn(x) делится на (х-х0) без

остатка, то есть имеет место разложение Pn(x)=(х-х0)Q(x), где Q(x) многочлен порядка n-1.

2. Основная теорема алгебры и ее следствия.

Оказывается не всякое уравнение даже в множестве комплексных чисел имеет решение.

Например, уравнение ех=0. Заметим, что при условии x K, т.е. x=a+ib ex=ea(cos b+i sin b). Поэтому

еа 0 и cos b+i sin b 0, т.к. cos2b+sin2b=1 и |cosb+i sinb| 0.

Однако, относительно уравнения Pn(x)=0 имеет место основная теорема алгебры.

Теорема (основная теорема алгебры).

Всякое уравнение Pn(x)=0 имеет по крайней мере один корень действительный или комплексный.

Замечание. Доказательство этой теоремы можно найти в учебниках по высшей алгебре. Из основной теоремы имеем несколько следствий:

1. Всякий многочлен n ой степени можно разложить в произведение n линейных множителей вида (х-а), где а К, то есть

Pn(x)=(х-а1)(х-а2)...(x-an)A0.

2. Если многочлен Pn(x) обращается в нуль более чем в n точках, то этот многочлен тождественно равен нулю.

3. Многочлен Pn(x) отличный от тождественно равного нулю имеет ровно n корней, действительных или комплексных.

4. Если многочлен тождественно равен нулю, т.е. Pn(x) 0, то все его коэффициенты равны нулю (А0=0, А1=0, ..., An=0).

5. Если значения двух многочленов Pn(x) и Qn(x) совпадают более чем в n точках, то такие многочлены тождественно равны (Pn(x) Qn(x)).

6. Если многочлены Pn(x) и Qn(x) тождественно равны, то их коэффициенты равны.

Пример. При каких условиях многочлены P3(x)=ах3+bx2+cx+1, Q3(x)=x3-5x2+d тождественно равны?

Решение. Если P3(x) Q3(x), то а=1:b=-5; c=0; d=1.

3. Кратные корни многочлена.

Известно, что всякий многочлен Pn(x) порядка n имеет ровно n корней действительных или комплексных. Возможно среди этих n корней имеются и равные. В этом случае говорят, что многочлен Pn(x)

имеет кратные корни.

Тогда разложение многочлена Pn(x) имеет вид

имеет этот корень х1 кратности (k-1).

Доказательство. Действительно, если Pn(x)=А0(х-х1)k (x), то

P n(x)=kА0(х-х1)k-1 (x)+ А0(х-х1)k (x)=(х-х1)k-1[kА0 (x)+А0(x-x1) (x)].

Что и доказывает теорему.

4. О разложении многочлена с действительными коэффициентами.

Теорема. Если комплексное число является корнем многочлена Pn(x) с действительными коэффициентами, т.е. Pn( ) 0, то сопряженное числу

= u+i·v число = u-i·v также является корнем многочлена Pn(x), т.е. Pn( ) 0. Замечание: кратности и совпадают.

Доказательство. Сначала докажем, что ( z )n = (zn ) . В самом деле, пусть z= (cos +i sin ), тогда z

= [cos(- )+i sin(- )]= (cos -i sin ), и zn n (cos n sin n ) , z n= n(cos n -i sin n ), а ( z )n= n[cos(- n )+i sin(-n )]= n(cos n -i sin n ).

Отсюда следует, что (zn ) =( z )n.

Тогда, если Pn( )=a0 n+a1 n-1+...+an-1 +аn, то

Pn( )=a0( )n+a1( )n-1+...+an-1 +an=a0( n)+a1( n-1)+...+an-1 +an= Pn( ). Т.к. Pn( )=M(u, v)+i N(u, v), то Pn( )=Pn( )=M(u, v)-i N(u, v).

Необходимым и достаточным условием равенства нулю комплексного числа является равенство нулю вещественных и мнимых его частей. Поэтому из равенства Pn( )=0 следует M(u, v)=0, N(u, v)=0, откуда сразу

следует, что Pn( )=0. Последнее означает, что сопряженное к число является корнем многочлена Pn(х)=0.

О разложении многочлена.

Таким образом, если многочлен Pn(х) имеет корни =u+iv и =u-iv, то мы имеем разложение Pn(х):

Pn(х)=А0(x-u-iv)(x-u+iv) 1(x)=A0(x2+px+q) 1(x), где q=u2+v2, p=-2u.

Если корни и кратности к, то это разложение примет вид

Pn(х)=А0(x2+px+q)k 2(x).

Наконец, мы приходим к окончательному виду разложения многочлена Pn(х) на множители.

Если многочлен Pn(х) имеет: действительные корни: а1 - кратности к1, а2- кратности к2, ..., ap - кратности kp; и комплексные корни: u1+iv1 - кратности l1, us+ivs - кратности ls, то многочлен Pn раскладывается на

множители в виде:

Pn(х)=А0(х-а1)к1(х-а2)к2...(х-ар)кр(х2+р1х+q1)l1...(x2+psx+qs)ls,

Лекция 19 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

1. Основные понятия.

Известно, что одной из важнейших задач механики является задача определения закона движения механической системы (в частности точки) по заданной ее скорости.

Эта задача приводит к проблеме отыскания функции по заданной производной этой функции. Определение. Функция F(х) называется первообразной функцией на промежутке ХR для функции f(x),